專題13三角形與多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)

（時間：60分鐘，滿分120分）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列各組線段的長為邊，能組成三角形的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,5cm

C.2cm,5cm,10cmD.8cm,4cm,4cm

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，得

A、2cm,3cm,4cm滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，能組成三角形，故本選項(xiàng)

正確；

B、2cm+3cm=5cm,不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

C、2cm+5cm<10cm,不能夠組成三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

D、4cm+4cm=8cm,不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯誤.

故選A.

2.要求畫jABC的邊A8上的高.下列畫法中，正確的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可；

【詳解】A中是邊上面的高，故不符合題意；

2中不符合三角形高的作圖，故不符合題意；

C中C。是AB邊上的高，故符合題意；

。中8。是AC邊上的高，故不符合題意；

故選C.

3.一個正多邊形的內(nèi)角和為540。，則這個正多邊形的每一個外角等于（)

A.108°B.90°C.72°D.60°

【答案】C

【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180(n-2)=540,即可求得n=5,再由多邊形的外角和等

于360。，即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，

根據(jù)題意得：180(n-2)=540,

解得：n=5,

,這個正多邊形的每一個外角等于：掾360°=72。.

故選C.

4.如圖，CE是△ABC的外角/AC。的平分線，若/B=35°,ZACE=60°,則乙4=()

A.35°B.95°C.85°D.75°

【答案】C

【分析】根據(jù)CE是△ABC的外角NACD的平分線，ZACE=60°,得出/ACD=120。；再根據(jù)三角形的外角

等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：：CE是△ABC的外角NACD的平分線，ZACE=60°

ZACD=2ZACE=120°

*.?ZACD=ZB+ZA

ZA=ZACD-ZB=120°-35°=85°

故選:C.

5.(2022?安徽?中考真題)兩個矩形的位置如圖所示，若4=a,則N2=()

A.a-90°B.a-45°C.180°-<zD.270°-?

【答案】C

【分析】用三角形外角性質(zhì)得到Z3=Zl-90°=a-90°，用余角的定義得到Z2=90°-Z3=180°-a.

【詳解】解：如圖，Z3=Zl-90°=a-90°,N2=90°-/3=180°-a.故選：C.

6.（2022?浙江杭州?中考真題）如圖，已知AB〃CD,點(diǎn)E在線段上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)。重合），連接

CE.若NC=20°,ZAEC=50°,則/A=（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;

【詳解】解：'：ZC+ZD=ZAEC,：.ZD=ZAEC-ZC=50o-20o=30°,

AB//CD,：.ZA=ZD=30°,故選：C.

7.（2022?浙江湖州?中考真題）如圖，己知在銳角△ABC中，AB^AC,AO是△ABC的角平分線，E是AD

上一點(diǎn)，連結(jié)班，EC.若NEBC=45°,BC=6,則AEBC的面積是（)

B.9C.6D.372

【答案】B

【分析】根據(jù)三線合一可得根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得￡B=EC,進(jìn)而根據(jù)/EBC=45。，可得

△3EC為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。E=gBC=3,然后根據(jù)三角形面積公

式即可求解.

【詳解】解：A3=AC,A￡>是AABC的角平分線，.,.ABLBD.BDnOC,.?.EB=EC,

;NEBC=45。,/ECB=/EBC=45。，，△■BEC為等腰直角三角形，

BC=6,DE=-BC=3,則△EBC的面積是、3x6=9.故選B.

22

8.(2022?湖北恩施)已知直線乙〃4,將含30。角的直角三角板按圖所示擺放.若4=120。，則/2=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=N1=12O。，再由對頂角相等可得/4=/3=120。，然后根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意得：Z5=30°,

?/lA//l2,.?.Z3=Z1=12O°,.*.Z4=Z3=120°,

VZ2=Z4+Z5,；./2=120。+30。=150。.故選：D

9.如圖中三角形的個數(shù)是（）

A

B

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的定義得：圖中三角形有：&ECN,△EBD,△FBA,△FCD,△AFD,△ABD,△ACD,

△AEO共8個.

【詳解】??,圖中三角形有：ZECA,AEBD,AFBA,AFCD,AAF￡>,AABD,AACD,△AED,

，共8個.

故選：C.

10.下列說法中，①三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角；②三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；

③從W邊形的一個頂點(diǎn)可以引（W-3）條對角線，把力邊形分成（W-2）個三角形，因此，〃邊形的內(nèi)角和

是（?-2）-180°；④六邊形的對角線有7條，正確的個數(shù)有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【詳解】①三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角；正確②三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；正確

③從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，把n邊形分成（n-2）個三角形，因此，n邊形的內(nèi)角和是

（n-2）-180°,正確④六邊形的對角線有7條，有18條，故錯誤

故選B

二、填空題（每題4分，共24分）

11.人字梯中間一般會設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的數(shù)學(xué)道理是.

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【詳解】解：人字梯中間一般會設(shè)計(jì)一“拉桿”，為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性,

12.已知.A5C的兩條邊長分別為3和5,則第三邊c的取值范是

【答案】2<c<8

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得5-3<c<5+3,即2<cV8,問題可求.

【詳解】解：由題意，可得5-3<c<5+3,

即2<c<8,

故答案為：2Vc<8.

13.如圖，將一副直角三角板，按如圖所示的方式擺放，則Na的度數(shù)是.

【答案】75。

【分析】根據(jù)直角三角板的已知角度以及三角形外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，Za=ZDCB+ZABC=300+45°=75°

故答案為：75°

14.如圖，點(diǎn)。、E、F分別是邊8C、AC、0c的中點(diǎn)，AEFC面積為5,則△ABC的面積為

【答案】40

【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：；點(diǎn)。、E、尸分別是邊BC、AC,DC的中點(diǎn)，

?c=J_q=Lq=，q

_DEC

??2CFE2_4uADC_8uABC，

△EPC面積為5,

??.△ABC的面積為40,

故答案為：40.

15.如圖，AABC中，ZC=75°,若沿圖中虛線截去NC,則Nl+N2=.

B

A

【答案】255°

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出N4+N3的度數(shù)，再利用四邊形的內(nèi)角和求出N1+N2的度數(shù)即可.

【詳解】VZC=75°

ZA+ZB=1800-ZC=180°-75°=105°

ZA+ZB+Z1+Z2=360°

Zl+Z2=360°-(ZA+ZB)=360°-105°=255°

故答案為：255°.

16.在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，若/B=50。，ZC=70°,則/DAE=

【解答】解：：NB=50。，ZC=70°,

ZBAC=180°-ZB-ZC=60°.

VAD是角平分線，

.".ZDAC=-ZBAC=30°.

2

：AE是高，ZC=70°,

/EAC=20°,

ZDAE=ZDAC-ZEAC=30°-20°=10°.

J

17.(7分)如圖所示，已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，試說明PA+PB+PC>[(AB+BC+AC).

【答案】見解析

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于三角形的第三邊，任意兩邊之差小于三

角形第三邊證明即可.

【詳解】在小APB中,AP+BP>AB,

同理BP+PC>BC,PC+AP>AC,

三式相加得2(AP+BP+PC)>AB+AC+BC,

AP+BP+CP>1(AB+AC+BC).

18.(7分)如圖，五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等，且/1=N2,Z3=Z4.求NCAD的度數(shù).

【答案】36°.

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和的性質(zhì)可得出/E=/2=/BAE=108。,再通過三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解.

【詳解】解：：五邊形的內(nèi)角和是540。，

每個內(nèi)角為540。+5=108°,

:.NE=NB=NBAE=108°,

又=Z3=Z4,由三角形內(nèi)角和定理可知，

Nl=N2=/3=/4=(180°-108°)+2=36°,

ZCAD=ZBAE-N1—N3=108°—36°-36°=36°.

19.（8分）尺規(guī)作圖：如圖，在A46C中，

（1）作/C的角平分線CP交AB于P點(diǎn).

（2）若NA=50。，4=60。，求NCR4的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）95。

【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；

（2）由三角形內(nèi)角和得到NACB,根據(jù)角平分線定義得到/ACP,再利用三角形內(nèi)角和得到結(jié)果.

【詳解】解：（1）如圖，CP即為所作；

ZACB=180o-50°-60o=70°,

VCPWZACB,

/.ZACP=ZBCP=35°,

ZCPA=1800-ZACP-ZA=95°.

20.(12分)如圖，AD為4ABC的中線，BE為JAABD的中線.

(1)ZABE=15°,ZBED=55°,求NBAD的度數(shù);

(2)作乙BED的邊BD邊上的高；

（3）若小ABC的面積為20,BD=2.5,求4BDE中BD邊上的高.

【答案】（l）/BAD=40。；（2）詳見解析；（3）BD=2.5.

【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)高線的定義，過點(diǎn)E作BD的垂線即可得解；

（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分成的兩個三角形面積相等，先求出ABDE的面積，再根據(jù)三角形的面積

公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）在AABE中，VZABE=15°,ZBAD=40°,

ZBED=ZABE+ZBAD=15°+40°=55°；

（2）如圖，EF為BD邊上的高；

(3)：AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，

.111

??SAABD=KSAABC,SABDE=kSAABD,SABDE=一

N/4

SAABCf

AABC的面積為20,BD=2.5,

ASABDE=|BD?EF=1X5-EF=-X20,解得EF=2.

2，4

21.(12分)四邊形ABCD中，ZA=140°,ZD=80°.

(1)如圖①，若NB=NC,試求出NC的度數(shù)；

(2)如圖②，若NABC的角平分線交DC于點(diǎn)E,且BE〃AD,試求出/C的度數(shù);

(3)如圖③，若NABC和/BCD的角平分線交于點(diǎn)E