專題20四邊形

一、多邊形內(nèi)角與外角

【高頻考點(diǎn)精講】

1、多邊形內(nèi)角和等于(?-2)-180°,其中且〃為整數(shù)。

(1)推導(dǎo)方法：從"邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出(〃-3)條對(duì)角線，將〃邊形分割為(?-2)個(gè)三角形，

則(?-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和就是〃邊形的內(nèi)角和。

(2)思想方法：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形。

2、多邊形外角和等于360°。

(1)多邊形的外角：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則"邊形取〃個(gè)外角。

(2)推導(dǎo)方法：多邊形外角和=180°n-("-2)780°=360°。

(3)思想方法：鄰補(bǔ)角概念以及多邊形內(nèi)角和定理。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.(2022?大連中考)六邊形內(nèi)角和的度數(shù)是()

A.180°B.360°C.540°D.720°

解：六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是(6-2)X1800=720°.

答案:D

2.(2022?煙臺(tái)中考)一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個(gè)正多邊形是()

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

解：?..一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

設(shè)這個(gè)外角是x°,則內(nèi)角是3x°,

根據(jù)題意得：x+3x=180,

解得：X—45,

360°+45°=8(邊),

答案:C.

3.(2022?河北中考)如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△/BC與四邊形2CDE的外角和的度數(shù)分別為a,

0,則正確的是()

A.a-0=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無(wú)法比較a與0的大小

解：??,任意多邊形的外角和為360。

.*.a=P=360°.

.*.a-p=0.

答案

4.（2022?南充中考）如圖，在正五邊形48cDE中，以N3為邊向內(nèi)作正凡則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AE=AFB.ZEAF=ZCBFC./F=NEAFD.ZC=ZE

解：在正五邊形/8CDE中內(nèi)角和：180°X3=540°,

:.NC=ND=NE=NEAB=NABC=54Q°+5=108°,

...o不符合題意；

,/以AB為邊向內(nèi)作正4/8尸，

/.ZFAB=ZABF=ZF=60°,AF=AB=FB,

,JAE^AB,

：.AE=AF,NEAF=NFBC=48°,

：.A.8不符合題意；

NFWNEAF,

符合題意；

答案:C.

2

5.（2022?眉山中考）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的J,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為小

2

根據(jù)題意可得：-x（n—2）x180°=360°,

解得：?=11,

答案:11.

6.（2022?株洲中考）如圖所示，已知NMCW=60°,正五邊形48cDE的頂點(diǎn)/、3在射線。M上，頂點(diǎn)E在射線

ON上,則//￡0=48度.

(5-2)x180°

/E4B=-----------------=108°,

,/NEAB是△4EO的外角，

ZAEO=ZEAB-ZMON=108°-60°=48°,

答案：48.

7.Q022?遂寧中考)如圖，正六邊形4BCDE尸的頂點(diǎn)/、廠分別在正方形的邊比八GH上.若正方形

的邊長(zhǎng)為6,則正六邊形/8CDE上的邊長(zhǎng)為4.

解：TSLAF—X,貝I48=X,AH—6-x,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

ZBAF=120°,

：.ZHAF=60°,

VZAHF=90°,

ZAFH=30°,

：.AF=2AH,

??x=2(6-x),

解得x=4,

：.AB=4,

即正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4,

答案：4.

8.(2022?攀枝花中考)同學(xué)們?cè)谔剿鳌岸噙呅蔚膬?nèi)角和”時(shí)，利用了“三角形的內(nèi)角和”.請(qǐng)你在不直接運(yùn)用結(jié)論

“〃邊形的內(nèi)角和為(〃-2A180?！庇?jì)算的條件下，利用“一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180?！保Y(jié)合圖形說(shuō)明：

五邊形4BCDE的內(nèi)角和為540°.

解：連接AC,

五邊形/2CDE的內(nèi)角和等于AADC,△4BC的內(nèi)角和,

.?.五邊形/8。。后的內(nèi)角和=180°X3=540°.

E

二、平行四邊形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的對(duì)邊相等。

(2)平行四邊形的對(duì)角相等。

(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

(4)平行四邊形的面積

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的乘積。

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等。

2、平行四邊形的判定

(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

【熱點(diǎn)題型精練】

9.(2022?朝陽(yáng)中考)將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，/EFG=9Q°,ZEGF

60°,/AEF=50°,則NEGC的度數(shù)為()

A.100°B.80°C.70°D.60°

解：：四邊形/BCD是平行四邊形，

J.AB//DC,

：.ZAEG=ZEGC,

VZEFG=90°,NEG尸=60°,

:.NGEF=30°,

.\ZGEA=80°,

Z￡GC=80°.

答案:反

10.（2022?河北中考）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）

解：4、80°+110°7^180°,故/選項(xiàng)不符合條件；

8、只有一組對(duì)邊平行不能確定是平行四邊形，故8選項(xiàng)不符合題意；

。、不能判斷出任何一組對(duì)邊是平行的，故。選項(xiàng)不符合題意；

。、有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故。選項(xiàng)符合題意;

答案:D

11.（2022?益陽(yáng)中考）如圖，在口中，45=8,點(diǎn)E是上一點(diǎn)，AE=3,連接過(guò)點(diǎn)。作C5〃。

交45的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則5方的長(zhǎng)為（）

A.5B.4C.3D.2

解：在口45。。中，AB=8,

:?CD=AB=8,AB//CD,

'：AE=3,

：.BE=AB-AE=5,

YCF//DE,

???四邊形DEFC是平行四邊形,

:?DC=EF=8,

：.BF=EF-BE=S-5=3,

答案:C

ED

12.（2022?無(wú)錫中考）如圖，在口48。。中，AD=BD,ZADC=105°，點(diǎn)￡在力。上，ZEBA=60°,則而的值

是（）

DEA

217

A-iB-2

解：如圖，過(guò)點(diǎn)2作28，/。于〃,

設(shè)NADB=x,

?：四邊形ABCD是平行四邊形,

J.BC//AD,ZADC=ZABC^IO50,

:?/CBD=/ADB=x,

；AD=BD,

1800-%

???ZDBA=NDAB=---

180°-x

???x+---=105°,

；.x=30°,

.,.//。2=30°,ZDAB^15°,

■:BH工AD,

：.BD=2BH,DH=4iBH,

VZEBA=60°,ZDAB=15°,

AZAEB=45°,

:.NAEB=/EBH=45°,

：.EH=BH,

：.DE=gBH-BH=(V3-1)BH,

222

"'"AB=y/BH+AH=JsW+QBSBH)2=(V6-V2)BH=CD,

DE短

~CD=~9

答案:D

13.（2022?廣州中考）如圖，在口/BCD中，AD=\Q,對(duì)角線/C與AD相交于點(diǎn)O,AC+BD=22,則△8OC的周

解：?.?四邊形是平行四邊形,

11

：.AO=OC=-ACfBO=OD=-BD,AD=BC=W,

?：4C+BD=22,

：.OC+BO=11,

：./\BOC的周長(zhǎng)=OC+OB+5C=11+10=21.

答案：2L

1

14.（2022?常德中考）如圖，已知/是△NBC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D//BC,FE//AB,若口5。房的面積為2,BD=gBA,

1

BE=~BC,則的面積是12.

q

???四邊形BEFQ為平行四邊形，口5。所的面積為2,

.1_

??S"DE~~^LJBDFE=1，

1

U：BE=~BC,

4

:?S小BDC—4SABDE-4,

1

'：BD=-BAf

S^ABC=3SABDC=12,

答案：12.

1

15.（2022?蘇州中考）如圖，在平行四邊形48c。中，ABLAC,AB=3,AC=4,分別以4,。為圓心，大于pC

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,過(guò)〃，N兩點(diǎn)作直線，與BC交于點(diǎn)E,與4。交于點(diǎn)R連接4E,

CF,則四邊形4ECF的周長(zhǎng)為」

M

AED

B/EC

解：-：ABLAC,AB=3,4C=4,

:?BC=yjAB2+AC2=5,

由作圖可知，MN是線段ZC的垂直平分線，

：.EC=EA,AF=CF,

：./EAC=NACE,

*.?/B+/ACB=/BAE+/CAE=90°,

ZB=ZBAE,

：.AE=BE,

1

:.AE=CE=~BC=2.5,

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD=BC=5,CD=AB=3,ZACD=ZBAC=90°,

同理證得/尸=CF=2.5,

四邊形AECF的周長(zhǎng)=EC+E4+4F+CF=10,

答案：10.

16.（2022?無(wú)錫中考）如圖，在口48co中，點(diǎn)。為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，成過(guò)點(diǎn)。且分別交/8、DC于點(diǎn)、E、F,

連接DE、BF.

求證：（1）ADOFmABOE；

（2）DE=BF.

證明：（1）??,點(diǎn)。為對(duì)角線8。的中點(diǎn),

：.OD=OB,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

C.DF//EB,

：.ZDFE=ZBEF,

在尸和△BOE中，

(Z.DFO=Z.BEO

\^DOF=^BOE,

WO=BO

:.△DOFQXBOE(AAS).

(2)?；△DOF/ABOE,

:?DF=EB,

,:DFIIEB,

四邊形DFBE是平行四邊形，

:.DE=BF.

17.(2022?畢節(jié)中考)如圖1,在四邊形/8CO中，/C和8。相交于點(diǎn)。，AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求證：四邊形/BCD是平行四邊形；

(2)如圖2,E,F,G分別是80,CO,的中點(diǎn)，連接￡尸，GE,GF,若BD=2AB,8c=15,AC=16,求

4EFG的周長(zhǎng).

(1)證明：,:/BCA=NCAD,

J.AD//BC,

在△/OD與△COB中，

(/-BCA=Z.CAD

\A0=CO,

3。。=乙COB

:.AAOD<△COB(ASA),

：.AD=BC,

四邊形/BCD是平行四邊形；

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

1

：.AD=BC=\5,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,OA=OC^-4C=8,

?：BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO=DC,

:點(diǎn)尸是oc的中點(diǎn)，

1

：.OF^~OC=4,DF±OC,

J.AF^OA+OF^U,

在RtAAFD中，。/=>JAD2-AF2=V152-122=9,

點(diǎn)G是/。的中點(diǎn)，ZAFD=90°,

1

.".DG=FG=~AD=1.5,

:點(diǎn)、E,點(diǎn)尸分別是03,0c的中點(diǎn)，

E尸是△02C的中位線，

1

:.EF=]BC=75,EF//BC,

:.EF=DG,EF//AD,

四邊形GEFD是平行四邊形，

：.GE=DF=9,

：.AEFG的周長(zhǎng)=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

ZkEFG的周長(zhǎng)為24.

三、菱形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、菱形的性質(zhì)

(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

(2)菱形的四條邊都相等。

(3)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

(4)菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式。

②菱形面積=工而(a、6是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度)

2

2、菱形的判定

(1)四條邊都相等的四邊形是菱形。

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

(3)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

（4）對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形。

【熱點(diǎn)題型精練】

18.（2022?自貢中考）如圖，菱形/BCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)、4（-2,5）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

解：?.?四邊形/BCD是菱形,

：.OA=OC,即點(diǎn)/與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

:點(diǎn)/(-2,5),

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,-5）.

答案：￡

19.（2022?襄陽(yáng)中考）如圖，口48。。的對(duì)角線/C和2。相交于點(diǎn)。，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若OB—OD,則口/2。。是菱形

B.若AC=BD,則U74BCD是菱形

C.若OA=OD,則口/BCD是菱形

D.若/C_L8D,則口/BCD是菱形

解：4、：四邊形/BCD是平行四邊形,

'.OB—OD,故選項(xiàng)/不符合題意;

8、：四邊形48C。是平行四邊形，AC=BD,

二LJABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、：四邊形N8C。是平行四邊形,

11

.9?OA=OC=~ACfOB=OD=—BD,

'：OA=OD,

：.AC=BD,

.,.□A8CD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意;

D、?.,四邊形ABCD是平行四邊形，ACLBD,

...口/BCD是菱形，故選項(xiàng)。符合題意；

答案:D

20.（2022?淄博中考）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形/BCD中，￡為/。邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線8。于點(diǎn)E若/

DEF=NDFE,則這個(gè)菱形的面積為（）

A.16B.6V7C.12V7D.30

解：連接/C交AD于O,如圖，

A_____E________

W

BC

???四邊形Z8CQ為菱形，

：.AD//BC,CB=CD=AD=4,ACLBD.BO=OD,OC=AO,

YE為邊的中點(diǎn)，

:?DE=2,

?I/DEF=/DFE,

：.DF=DE=2,

*：DE//BC,

：.ZDEF=/BCF,

ZDFE=/BFC,

：.ZBCF=ZBFC,

:.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=4+2=6,

:?OB=OD=3,

在RtZXBOC中，OC=742-32=77,

；?AC=2OC=25

1I--

???菱形ABCD的面積=5AC?BD=萬(wàn)x26x6=6近.

答案:反

21.（2022?湘西州中考）如圖，菱形/BCD的對(duì)角線NC、8D相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)“，連接。〃,

OH=4,若菱形48CD的面積為32百，則C。的長(zhǎng)為（）

B

4口）

D

A.4B.4V3C.8D.8百

解：-：DHLAB,

：.ZBHD=90°,

:四邊形/BCD是菱形，

1

：.OB=OD,OC=OA=~AC,ACLBD,

1

：.OH^OB=OD=~BD（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），

.?.0。=4,BD=8,

1「

由于153￡）=32百得，

1「

萬(wàn)x8?4C=32百，

；./。=8百，

1L

OC=2^=4百，

CD=VOC2+OD2=8,

答案：C.

22.（2022?德州中考）如圖，線段45,CD端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/（-b2）,B（3,-1）,C（3,2）,￡>（-1,

5）,且將CD平移至第一象限內(nèi)，得到C'D'（U,。'均在格點(diǎn)上）.若四邊形/2C'D'是菱

形，則所有滿足條件的點(diǎn)。'的坐標(biāo)為（3,5）或（2,6）.

解：如圖,

y八

?—18---?--1—?--1—?—?—?—

?????????

'：A(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

:.AB〃CD,AB=CD=5,

..?四邊形D'是菱形，

".AD'=AB=5,

當(dāng)點(diǎn)。向右平移4個(gè)單位，即》(3,5)時(shí)，AD'=5,

當(dāng)點(diǎn)。向右平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，即。'(2,6)時(shí)，AD'=5,

答案：(3,5)或(2,6).

23.(2022?遼寧中考)如圖，CD是△/2C的角平分線，過(guò)點(diǎn)。分別作/C,3c的平行線，交BC于點(diǎn)、E,交/C

于點(diǎn)尸.若N4C5=60°,CD=A0,則四邊形C瓦m的周長(zhǎng)是16.

???四邊形廠是平行四邊形,

,:CD是△45。的角平分線，

/FCD=/ECD,

9：DE//AC,

：./FCD=/CDE,

ZECD=ZCDE,

：.CE=DE,

四邊形CED尸是菱形，

1

C.CDLEF,ZECD=~ZACB=30°,OC=~CD=2^>

在RtZ\COE中，

四邊形CED廠的周長(zhǎng)是4CE=4X4=16,

答案：16.

24.（2022?哈爾濱中考）如圖，菱形/8CO的對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在08上，連接4E,點(diǎn)尸為CD

的中點(diǎn)，連接。?若AE=BE,OE=3,。4=4,則線段的長(zhǎng)為2后.

C.ACLBD,AO=CO=4,BO=DO,

■'-AE=Vi4O2+E02=V9+16=5,

：.BE=AE=5,

.?.20=8,

:.BC=JBO2+CO2=.64+16=4心

:點(diǎn)尸為8的中點(diǎn)，BO=DO,

1一

：.OF=*=2近,

答案：24.

25.（2022?溫州中考）如圖，在菱形/BCD中，AB=1,ZBAD=60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形4EW

和菱形CGMF,使點(diǎn)E,F,G,〃分別在邊48,BC,CD,ZX4上，點(diǎn)”，N在對(duì)角線NC上.若AE=3BE,

則MN的長(zhǎng)為—亨—?

D

HG

C

解：連接。5交4C于點(diǎn)。，作于點(diǎn)/,作交45的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,如圖1所示,

：.AB=BC=CD=DA=\,NA4c=30°,ACLBD,

是等邊三角形，

1

：.OD=-,

'-AO=yjAD2-DO2=Jl2-(|-)2=苧,

.\AC=2AO=V3?

■:AE=3BE,

31

'.AE=~,BE=~,

44

,?,菱形4E7VH和菱形CGMF大小相同,

1

：.BE=BF=-,NFBJ=60°,

4,

.,.K/=BF?sin60°=；*號(hào)=坐,

428

?\MI=FJ=—,

8

MI年近

s譏30。一丁一甲

2

同理可得，CN=~,

4

:.MN=AC-AM-CN=V3-

442

答案李

26.（2022?廣元中考）如圖，在四邊形A8CD中，AB//CD,/C平分/D48,AB=2CD,E為49中點(diǎn)，連結(jié)

CE.

(1)求證：四邊形/EC。為菱形;

；?AB=2AE=2BE,

?：AB=2CD,

；?CD=AE,

又,：AE//CD,

???四邊形/EC。是平行四邊形，

??ZC平分NZM5,

/DAC=/EAC,

'：AB//CD.

：.NDCA=/CAB,

：./DCA=/DAC,

；?AD=CD,

???平行四邊形是菱形；

(2)???四邊形4EC。是菱形，ZD=120°,

：.AD=CD=CE=AE=2,ZD=120°=/AEC,

：.AE=CE=BE,NCEB=6G°,

：.ZCAE=30°=/ACE,仍是等邊三角形，

：.BE=BC=EC=2,ZB=60°,

AZACB=90°,

???/。=聞。=2百，

1111

???SAABC=-X^CX5C=-X2X2V3=2V3.

27.(2022?聊城中考)如圖，中，點(diǎn)。是45上一點(diǎn)，點(diǎn)E是4C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF〃45,交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：AD=CF；

(2)連接/RCD,如果點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，那么當(dāng)4C與5C滿足什么條件時(shí)，四邊形ZQC尸是菱形，證明你

的結(jié)論.

A

(1)證明：-：CF//AB,

：.ZADF=ZCFD,NDAC=NFCA,

丁點(diǎn)E是NC的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

:AADE%ACFE(AAS),

:.AD=CF；

(2)解：當(dāng)/C，3c時(shí)，四邊形4DCF是菱形，證明如下：

由(1)知，AD=CF,

?：AD//CF,

四邊形是平行四邊形，

'JACLBC,

...△A8C是直角三角形，

；點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，

1

：.CD=~AB=AD,

四邊形NOCF是菱形.

28.(2022?濱州中考)如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為10,ZABC=60°,對(duì)角線NC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在對(duì)角

線20上，連接作//斯=120°且邊所與直線。C相交于點(diǎn)尸.

(1)求菱形488的面積；

(2)求證：AE=EF.

(1)解：作NGL3C交8C于點(diǎn)G,如圖所示,

:四邊形/2CO是菱形，邊長(zhǎng)為10,ZABC=60°,

：.BC=W,AG=AB?sineO0=10X孚=5百，

二菱形/8C。的面積是：5CMG=10X5V3=50V3-

即菱形4BCD的面積是50V3;

(2)證明：連接EC,

:四邊形/8CZ)是菱形，ZABC=60°,

；.￡。垂直平分/。，Z5Cn=120°,

：.EA=EC,ZDCA^60°,

AZEAC=ZECA,ZACF=120°,

VZAEF=120°,

ZEAC+ZEFC^360°-NAEF-NACF=360°-120°-120°=120°

VZECA+ZECF^120°,

：.ZEFC=ZECF,

：.EC=EF,

；.AE=EF.

四、矩形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、矩形的性質(zhì)

(1)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

(2)矩形的四個(gè)角都是直角。

(3)矩形的鄰邊垂直。

(4)矩形的對(duì)角線相等。

2、矩形的判定

(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

(2)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；

(3)有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形；

（4）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

【熱點(diǎn)題型精練】

29.（2022?日照中考）如圖，矩形/BCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底

面8C與水平面的夾角為27°時(shí)，//ED的大小為（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

解：如圖，

"JAE//BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四邊形/BCD是矩形，

J.AB//CD,NABC=90°,

:.NABF+27。=90°,

ZABF=63°,

:./EAB=63°,

'JAB//CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

答案:D.

30.（2022?恩施州中考）如圖，在四邊形/BCD中，ZA=ZB=90°,AD=10cm,8c=8c〃?，點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā),

以lcm/s的速度向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)3同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)f=4s時(shí)，四邊形/瓦呼為矩形

B.當(dāng)t=5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當(dāng)。=尸河時(shí)，t=4s

D.當(dāng)CD=P河時(shí)，f=4s或6s

解：根據(jù)題意，可得。尸=/。機(jī)，BM=tcm,

=1Ocm,BC=8cm,

：.AP=(10-Z)cm,CM=(8-/)cm,

當(dāng)四邊形/BMP為矩形時(shí)，AP=BM,

即10-t=t,

解得t—5,

故/選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，DP=CM,

即f=8-t,

解得t=4,

故B選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，分兩種情況：

①四邊形CDPM是平行四邊形，

此時(shí)CM=PD,

即8-t=t,

解得/=4,

②四邊形CDPM是等腰梯形，

過(guò)點(diǎn)刊作于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作C7/L4。于點(diǎn)”，如圖所示:

則NMGP=NC/ffl=90°,

,:PM=CD,GM=HC,

：./\MGP^/\CHD(HL),

：.GP=HD,

；/G=/P+GP=10-t+

2

又■:BM=t,

.*.10-t+=t,

2

解得t=6,

綜上，當(dāng)CD=PA/時(shí)，t=4s或6s,

故C選項(xiàng)不符合題意，。選項(xiàng)符合題意，

答案:D

31.（2022?泰安中考）如圖，四邊形ABC。為矩形，48=3,BC=4,點(diǎn)尸是線段8C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)”為線段4P

上一點(diǎn)，ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

解：如圖，取4D的中點(diǎn)O,連接。2,OM.

,、

/，、\

t\

??,四邊形45CD是矩形，

AZBAD=90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM=90°,

ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM=90°,

AZAMD=90°,

'：AO=OD=29

1

：.OM=~AD=2,

???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心,2為半徑的OO.

OB=dAB2+AO2=V32+22=V13.

：.BM^OB-OM=y/i3-2,

.?.8M的最小值為m-2.

答案:D

32.（2022?十堰中考）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡NR

4G分別架在墻體的點(diǎn)5,。處，且45=4。，側(cè)面四邊形皮為矩形.若測(cè)得/必。=55°,則N4=

110

解：???四邊形5OEC為矩形，

ZDBC=9Q°,

■:/FBD=55°,

AZ^C=180°-ZDBC-ZFBD=35°，

'：AB=AC,

：./ABC=/ACB=35°,

???N4=180°-ZABC-ZACB=110°，

答案:11O

33.（2022?吉林中考）如圖，在矩形4BCD中，對(duì)角線4C,5。相交于點(diǎn)。點(diǎn)E是邊4。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在對(duì)角線

15

"上，且連接若/C=l。，則跖=_]

1

U：AF=~AC,

4

1

.\AF=—AO,

...點(diǎn)二為4。中點(diǎn),

又,：點(diǎn)、E為邊AD的中點(diǎn)，

:.EF為L(zhǎng)AOD的中位線，

115

：.EF^-OD=~BD=~.

Z4-Z

5

答案:于

34.（2022?宜昌中考）如圖，在矩形/3CD中，E是邊/。上一點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BE,CE的中點(diǎn)，連接/凡DG,

FG,若/尸=3,DG=4,FG=5,矩形4BCD的面積為48.

AZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

,:F,G分別是5E,C￡的中點(diǎn)，AF=3,0G=4,FG=5,

：.BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,

:?B#+CG=Be,

???△BCE是直角三角形，NBEC=90°,

11

SABCE=萬(wàn),BECE=-x6x8=24,

■:AD〃BC,

1?S矩形力BCD=2&BC￡；=2X24=48，

答案：48.

35.(2022?鄂州中考)如圖，在矩形/BCD中，對(duì)角線ZC、8。相交于點(diǎn)O,&ZCDF=ZBDC,ZDCF=Z

ACD.

(1)求證：DF=CF；

(2)若/CDF=60°,DF=6,求矩形48cD的面積.

(1)證明：??,四邊形45CD是矩形，

11

OC=-ACfOD=-BD,AC=BD,

：.OC=OD,

：./ACD=NBDC,

VZCDF=ZBDC,ZDCF=ZACD,

：.ZCDF=/DCF,

:?DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

*：ZCDF=60°,

???△CD尸是等邊三角形，

:?CD=DF=6,

,:NCDF=NBDC=60°,OC=OD,

...△OCD是等邊三角形，

.\OC=OD=6,

:.BD=2OD=12,

:四邊形/BCD是矩形，

:.NBCD=90°,

BC=YJBD2-CD2=7122-62=6V3，

?'?S矩彩4BCD=BC"CD=6^^x6=36V§\

36.（2022?云南中考）如圖，在平行四邊形/BCD中，連接2D,E為線段4D的中點(diǎn)，延長(zhǎng)2E與8的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)尸，連接4F,NBDF=90°.

（1）求證：四邊形/AD尸是矩形；

（2）若/力=5,DF=3,求四邊形尸的面積S.

(1)證明：:四邊形48co是平行四邊形,

C.BA//CD,

NBAE=ZFDE,

;點(diǎn)￡是/。的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

在ABEA和△尸中，

(Z.BAE=Z.FDE

\AE=DE,

V^BEA=乙FED

:.ABEA經(jīng)AFED(ASA)f

:?EF=EB,

又?：AE=DE,

四邊形ABDF是平行四邊形，

:/BDF=9Q°.

...四邊形尸是矩形;

(2)解：由(1)得四邊形N5D歹是矩形，

AZAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

：.AF=JAD2-DF2=V52-32=4,

?,?$矩形力8。尸=0尸,//=3><4=12，BD=AF=4,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

:?CD=AB=3,

11

:,SABCD=CD=《X4X3=6,

四邊形ABCF的面積S=S矩形12+6=18,

答：四邊形/8C尸的面積S為18.

五、正方形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、正方形的性質(zhì)

(1)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

(2)正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

(3)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

2、正方形的判定

(1)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

(2)鄰邊相等且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形。

(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

(4)有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形。

(5)對(duì)角線相等的菱形是正方形。

(6)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

【熱點(diǎn)題型精練】

37.(2022?黃石中考)如圖，正方形O48C的邊長(zhǎng)為友,將正方形ON8C繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則點(diǎn)8的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)B\的坐標(biāo)為()

yA

B|---------C

A0

A.(一五，0)B.(VL0)C.(0,V2)D.(0,2)

解：如圖，連接08,

y>\

咨

,/正方形O4BC的邊長(zhǎng)為VL

：.OC=BC=?NBCO=90°,NBOC=45°，

JOB=V0C2+BC2=J(V2)2+(V2)2=2,

:將正方形OABC繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BX的位置,

,當(dāng)在y軸正半軸上，且0叢=。8=2,

.?.點(diǎn)團(tuán)的坐標(biāo)為（0,2）,

答案:D

38.（2022?泰州中考）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,￡為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn),以?！隇橐贿呑髡叫?/p>

DEFG.設(shè)DE=di，點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為為、由，則山+42+公的最小值為（）

C.2V2D.4

AD

R

1/四邊形DEFG是正方形,

：.ZEDG=90°,EF=DE=DG,

:四邊形/BCD是正方形,

:.AD=CD,ZADC^90°,

ZADE=ZCDG,

：./\ADE^/\CDG(SAS),

：.AE=CG,

山+為+慮=EF+CF+AE,

???點(diǎn)4E,F,。在同一條線上時(shí)，EF+CF+AE^,即必+4+為最小，

連接/c,

水+刈+心最小值為4C,

在RtZUBC中，AC=gB=2即

'-di+dy^di,最小=/C=2A/^,

答案:C.

39.（2022?重慶中考）如圖，在正方形/BCD中，4E平分NB4C交BC于點(diǎn)、E,點(diǎn)尸是邊上一點(diǎn)，連接。巴

)

C.67.5°D.77.5°

解：:四邊形48co是正方形,

；.4D=BA,NDAF=/ABE=90°,

在△。/尸和△N8E中,

AD=BA

Z.DAF=/-ABE,

AF=BE

△DAF經(jīng)LABE(&4S),

ZADF=/BAE,

:AE平分/BAC,四邊形/8C。是正方形,

1

ZBAE=~ZBAC=22.50,ZADC=90°,

ZADF=22.5°,

:.NCDF=/ADC-NADF=90°-22.5°=67.5°,

答案:C

40.（2022?江西中考）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖所

示），則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為—而

解：根據(jù)圖形可知:長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是正方形的對(duì)角線為2,

長(zhǎng)方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1,

則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)=Vl2+22=V5.

答案:V?.

41.（2022?海南中考）如圖，正方形N2CD中，點(diǎn)、E、廠分別在邊3C、CD上,AE=AF,NE4F=30°,貝！|//班

=60°；若△/斯的面積等于1,則48的值是一百

解：?.?四邊形48co是正方形，

；.AB=AD,NBAD=NB=/D=90°.

在RtAABE和RtA^DF中，

(AB=AD

kAE=AF'

：.R.t^ABE^RtAADF(HL).

/BAE=ZDAF.

1

ZBAE=-(ZBAD-/EAF)

1

=5(90°-30°)

=30°.

AZAEB=60°.

答案：60.

過(guò)點(diǎn)尸作FGL/E,垂足為G.

?：sinZEAF=—,

：.FG=sinZEAFXAF.

11

■:S^AEF=萬(wàn)xAEXFG=_xAEXAFXsinZEAF=1,

1.

XAE1Xsin30°=1.

1、1

即5xAE1x-=1.

：.AE=2.

在RtZUBEt中，

AB

VcosZ^=—,

.\AB=cos30°XAE

等2

=V3.

答案:西.

1

42.（2022?益陽(yáng)中考）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形N3CD沿其對(duì)角線/C平移，使/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足44'=~

AC,則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是4.

解：：正方形/8CD的邊長(zhǎng)為3,

:.AC=3瓜

1