2.5.2圓與圓的位置關(guān)系人教A版2019選擇性必修第一冊

一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握圓與圓的位置關(guān)系能根據(jù)給定圓的方程,判斷圓與圓的位置關(guān)系,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的?前面我們運(yùn)用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系。日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日。日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時(shí)發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。新課引入思考：類比直線與圓的位置關(guān)系，請同學(xué)們思考：圓與圓有哪幾種位置關(guān)系？兩個(gè)圓之間存在以下三種位置關(guān)系：(1)兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有（0個(gè)）公共點(diǎn)．外切內(nèi)切外離內(nèi)含兩圓相交兩圓相切兩圓相離新課引入新知探究判斷圓與圓位置關(guān)系的方法1.代數(shù)法：聯(lián)立求解.(1)由兩個(gè)圓的方程聯(lián)立兩者方程看解個(gè)數(shù)(2)消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程；(3)求出△；(4)判斷△的符號，得出結(jié)論：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實(shí)根方程兩相等實(shí)根方程無實(shí)數(shù)根兩圓相交兩圓相切兩圓外離或內(nèi)含（外切或內(nèi)切）問題1

類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系?新知探究2.幾何法：判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值的大小關(guān)系.設(shè)圓C1的半徑為r1，圓C2的半徑為r2，圓心距d，則①兩圓外離②

兩圓外切③

兩圓相交④

兩圓內(nèi)切⑤

兩圓內(nèi)含(1)把兩圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求出兩圓的圓心坐標(biāo)及半徑r1,r2；(3)求兩圓的圓心距d；(4)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小關(guān)系，得出結(jié)論：GeoGebra經(jīng)典新知探究思路1圓C1與圓C2的位置關(guān)系由它們有幾個(gè)公共點(diǎn)確定，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又由它們的方程組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定。

例5解法1:（代數(shù)法）將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組①-②，得聯(lián)立①③，消去y，可得∴方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.把x1，x2分別代入方程③，得到y(tǒng)1，y2.

因此圓C1與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)

，這兩個(gè)圓相交.典例解析

例5追問1

畫出圓C1與圓C2以及方程③表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明為什么嗎？當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。①-②，得理由：方程①②的解必定滿足方程③，而方程組有兩組實(shí)數(shù)解，即圓C1圓C2對應(yīng)的公共點(diǎn)A、B，這兩個(gè)公共點(diǎn)必在方程③對應(yīng)的直線上。又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，因此方程③就表示兩圓公共弦所在直線。AB典例解析

例5追問2為什么不需要把圓C1與圓C2的兩個(gè)公共點(diǎn)A、B的具體坐標(biāo)求出來？

典例解析

例5思路2借助圖形，可以依據(jù)連心線的長(圓心距)與兩半經(jīng)的和r1+r2的或兩半徑差的絕對值|r1?r2|的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.yxABC2C1解法2:（幾何法）把圓C1與圓C2的方程分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2相交.新知探究問題2

如果兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的?＝0,它說明什么?你能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)切還是外切嗎?如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切呢?

當(dāng)?<0時(shí)，兩圓是什么位置關(guān)系?還要根據(jù)兩圓的半徑與圓心距作進(jìn)一步判斷.當(dāng)?＝0時(shí),方程組只有一組解,此時(shí)兩圓相切,但不能確定兩圓是內(nèi)切還是外切.若d=r1+r2，則兩圓外切；若d=|r1-r2|

，則兩圓內(nèi)切；當(dāng)?<0時(shí),方程組沒有解,此時(shí)兩圓無公共點(diǎn)，但不能確定兩圓是外離還是內(nèi)含.若d>r1+r2

，則兩圓外離；若0≤d<|r1-r2|

，則兩圓內(nèi)含．代數(shù)法的缺點(diǎn)詳解鞏固練習(xí)詳解鞏固練習(xí)追問：如何求公共弦長？方法總結(jié)求兩相交圓的公共弦長方法總結(jié)：先利用兩圓方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后轉(zhuǎn)化為求直線被圓截的弦長，經(jīng)典直角三角形法.

d1r1新知探究問題3

如果兩圓相切或者兩圓相離時(shí)，兩圓方程相減得到的直線有什么特征呢當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。該直線總與兩圓圓心連線垂直；當(dāng)兩圓相交時(shí)，該直線為兩圓的公共弦；當(dāng)兩圓相切時(shí)，該直線為經(jīng)過兩圓切點(diǎn)的公切線.典例解析例6已知圓O的直徑AB＝4，動點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的倍.試探究點(diǎn)M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.分析：我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得滿足條件的動點(diǎn)M的軌跡方程,從而得到點(diǎn)M的軌跡;?MxyO?AB

通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系。直接法求軌跡方程典例解析例6已知圓O的直徑AB＝4，動點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的倍.試探究點(diǎn)M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.?P?MxyO?AB解:如圖示，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.由AB=4，得A(一2,0)，B(2,

0).所以點(diǎn)M的軌跡是以P(6,0)為圓心，半徑為的一個(gè)圓.新知探究問題4

如果把本例中的“

倍”改為“k(k>0)倍”你能分析并解決這個(gè)問題嗎？求M的軌跡課本P97|AB|＝2，新知探究問題4

如果把本例中的“

倍”改為“k(k>0)倍”你能分析并解決這個(gè)問題嗎？設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由|MA|=k|MB|得

可知點(diǎn)M的軌跡是線段AB的垂直平分線

知識鏈接——“阿波羅尼斯圓”模型ApolloniusofPerga約公元前262～約公元前190年

一般地,平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點(diǎn)P的軌跡是圓,此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”（阿氏圓）。

特殊地,則當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是線段AB的垂直平分線.阿波羅尼斯圓定義課后探究：查閱資料了解阿氏圓的證明（代數(shù)、幾何）、性質(zhì)、應(yīng)用

“阿波羅尼斯圓”模型典型例題公切線的條數(shù)外離3條2條4條1條兩圓位置與公切線條數(shù)【詳解】典型例題兩圓位置與公切線條數(shù)【詳解】典型例題兩圓位置與公切線條數(shù)《學(xué)習(xí)筆記》講評一(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有_____條.4到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點(diǎn)B(3，－1)的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距|AB|＝

＝5.半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條.作業(yè)講評《學(xué)習(xí)筆記》P70跟蹤訓(xùn)練

1兩圓位置與公切線條數(shù)

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學(xué)習(xí)筆記》P70設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得由①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程.解：（1）

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；例

2

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學(xué)習(xí)筆記》P70解：（2）方法一：（待定系數(shù)法）得兩圓的交點(diǎn)A(－1,3)，B(－6，－2).設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因?yàn)閳A心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.即x2＋y2－x＋7y－32＝0.

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學(xué)習(xí)筆記》P70解：（2）方法二：（幾何法確定圓心位置）得兩圓的交點(diǎn)A(－6，－2)，B(－1,3).所求圓圓心在公共弦AB的中垂線上，即在直線C1C2上

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學(xué)習(xí)筆記》P70解：（2）方法三：（圓系方程）AB過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為方法總結(jié)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，注意：此圓系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，特別地，當(dāng)λ＝－1時(shí)，上述方程為一次方程.兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.《學(xué)習(xí)筆記》P76(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.

反思感悟例

3作業(yè)講評圓與圓的綜合性問題《學(xué)習(xí)筆記》P71設(shè)所求圓的方程為(