知識框架數(shù)學(xué)運算問題一共分為拾四個模塊，其中一塊是容斥原理問題。在公務(wù)員考試中，根據(jù)集合的個數(shù)，容斥原理問題一般只有兩集合容斥關(guān)系和三集合容斥關(guān)系兩種類型，兩集合容斥關(guān)系一般只要采用公式法就可輕松處理，三集合容斥關(guān)系又可分為原則型、圖示標(biāo)數(shù)型、整體反復(fù)型三類，對應(yīng)解題措施分別是公式法、文氏圖法、方程法。無論集合中的元素怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這兩類型，就能輕松搞定容斥原理問題。要點撥1、題型簡介容斥原理是在不考慮重疊的狀況下，先將所有對象的數(shù)目相加，然後再減去反復(fù)的部分，從而使得計算的成果既無遺漏又無反復(fù)。掌握容斥原理問題，可以協(xié)助同學(xué)們處理多集合元素個數(shù)的問題。2、關(guān)鍵知識（1）兩個集合容斥關(guān)系（2）三個集合容斥關(guān)系A(chǔ)、原則型公式

B、圖示標(biāo)數(shù)型（文氏圖法）畫圖法關(guān)鍵環(huán)節(jié)：1畫圈圖；2數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然後填中間層)；③做計算。C、整體反復(fù)型A、B、C分別代表三個集合（例如“分別滿足三個條件的元素數(shù)量”）；W代表元素總量（例如“至少滿足三個條件之一的元素的總量”）；x代表元素數(shù)量1（例如“滿足一種條件的元素數(shù)量”）；y代表元素數(shù)量2（例如“滿足兩個條件的元素數(shù)量”）；z代表元素數(shù)量3（例如“滿足三個條件的元素數(shù)量”）。3、關(guān)鍵知識使用詳解（1）容斥原理問題要清晰容斥原理公式中各項的實際含義，與題中的數(shù)據(jù)精確對應(yīng)。（2）容斥原理問題的關(guān)鍵在于把文字轉(zhuǎn)化為文氏圖，在圖中應(yīng)準(zhǔn)備反應(yīng)題中集合之間的關(guān)系。（3）容斥問題的難度在于題中集合也許較多，某些集合之間的關(guān)系也許不確定，這需要仔細(xì)的分析，抓住不確定的。扎實基礎(chǔ)1.兩個集合容斥關(guān)系例1：(中央第50題)小明和小強參與同一次考試，假如小明答對的題目占題目總數(shù)的，小強答對了27道題，他們兩人都答對的題目占題目總數(shù)的，那么兩人都沒有答對的題目共有（

）。A.3道

B.4道

C.5道

D.6道【答案】D【解析】[題鑰]由于不懂得這次考試題目的總數(shù)，因此可先設(shè)題目總數(shù)即元素總量為?！靶∶鞔饘Φ念}目占題目總數(shù)的”，相稱于集合A為?！靶姶饘α?7道題”，相稱于集合B為27?！八麄儍扇硕即饘Φ念}目占題目總數(shù)的”，相稱于集合。“兩人都沒有答對的題目”，相稱于求集合。[解析]根據(jù)題意，

確定元素總量W：；

確定集合A：；

確定集合B：27；

確定集合：；

代入兩集合公式：＝＝由于和均為題數(shù)，須均為正整數(shù)，因此必須為12的倍數(shù)，并且由選項知：3≤≤6當(dāng)W＝12時，＝－16，不合題意；當(dāng)W＝24時，＝－5，不合題意；當(dāng)W＝36時，＝6，符合題意。因此，兩人都沒答對的題目為6道。因此，選B。2.三個集合容斥關(guān)系例2：（浙江行測真題）某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三課均未選的有多少人？(

)A.1人

B.2人

C.3人

D.4人【答案】B【解析】[題鑰]“某專業(yè)有學(xué)生50人”，相稱于元素總量W為50。“有40人選修甲課程”，相稱于集合A為40?！?6選修乙課程”，相稱于集合B為36。“30人選修丙課程”，相稱于集合C為30?！凹孢x甲、乙兩門課的有28人”，相稱于集合=28。“兼選甲、丙兩門課的有26人”，相稱于集合=26。“兼選乙、丙門課程的有24人”，相稱于集合=24。“甲、乙、丙三門課程均選的有20人”，相稱于集合=20?！皢柸n均未選的有多少人?”相稱于求集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：50確定集合A：40確定集合B：36確定集合C：30確定集合：28確定集合：26確定集合：24確定集合：20代入三集合原則型公式：＝50-（40+36+30-28-24-26+20）＝2因此，選B。例3：（國家行測真題）某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參與計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參與的有46人，不參與其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？(

)A.120

B.144

C.177

D.192【答案】A【解析】[題鑰]觀測題目，屬于三個集合容斥關(guān)系中的標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解。[解析]本題屬于標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參與兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參與三種考試的學(xué)生。計算總?cè)藬?shù)時，黑色部分反復(fù)計算了一次，灰色部分反復(fù)計算了兩次，因此接受調(diào)查的學(xué)生共有：63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。因此，選A。例4：(浙江－20)某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動小組。現(xiàn)已知參與英語小組的有17人，參與語文小組的有30人，參與數(shù)學(xué)小組的有13人。假如有5個學(xué)生三個小組全參與了，問有多少個學(xué)生只參與了一種小組？(

)A.15人

B.16人

C.17人

D.18人【答案】A【解析】[題鑰]“某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動小組”，相稱于元素總量W為35。“參與英語小組的有17人”，相稱于集合A為17?！皡⑴c語文小組的有30人”，相稱于集合B為30。“參與數(shù)學(xué)小組的有13人”，相稱于集合C為13?！凹偃缬?個學(xué)生三個小組全參與了”，相稱于元素數(shù)量3為5。“問有多少個學(xué)生只參與了一種小組？”，此類題目屬于整體反復(fù)型問題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：參與一種小組的人數(shù)為x，即元素數(shù)量1為x；參與兩個小姐的人數(shù)為y，即元素數(shù)量2為y；確定元素總量W：38確定集合A：17確定集合B：30確定集合C：13確定元素數(shù)量3：5代入公式，列方程：因此，選A。進(jìn)階訓(xùn)練1.兩個集合容斥關(guān)系例5：某校學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽的有120名男生，80名女生，參與英語競賽的有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學(xué)生參與競賽，其中75名男生兩科競賽都參與了，那么參與數(shù)學(xué)競賽而沒有參與英語競賽的女生人數(shù)是多少人?(

)A.15

B.20

C.25

D.30【答案】A【解析】[題鑰]假設(shè)260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生，同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為x。對于男生：“m名男生”，相稱于元素總量為m?！皡⑴c數(shù)學(xué)競賽的有120名男生”，相稱于集合為120?！皡⑴c英語競賽的”，“80名男生”，相稱于集合為80?！捌渲?5名男生兩科競賽都參與了”，相稱于集合為75。對于女生：“n名女生”，相稱于元素總量為n。“參與數(shù)學(xué)競賽的”、“80名女生”，相稱于集合為80。“參與英語競賽的有120名女生”，相稱于集合為120。同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)，相稱于集合為x?！耙阎撔？偣灿?60名學(xué)生參與競賽”，可知260名學(xué)生都參與了競賽，沒有“數(shù)學(xué)競賽和英語競賽都沒參與”的狀況。相稱于集合、集合為0。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生；同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為x。對于男生：確定元素總量：m確定集合：120確定集合：80

確定集合：75確定集合：0對于女生：

確定元素總量：n

確定集合：80

確定集合：120

確定集合：x確定集合：0

男女生總數(shù)，即m＋n＝260。

代入兩集合公式，列方程：

則有即同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為65。由于參與數(shù)學(xué)競賽的女生有80名，則參與數(shù)學(xué)競賽而沒有參與英語競賽的女生人數(shù)：80－65＝15名。因此，選A。2.三個集合容斥關(guān)系例6：(廣州－33)如右圖所示，每個圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9，三個圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?(

)A.66

B.68

C.70

D.72【答案】C【解析】[題鑰]“三個圓紙片覆蓋的總面積為88”，相稱于元素總量W為88，集合為0?！懊總€圓紙片的面積都是36”，相稱于集合A、集合B、集合C都為36?！皥A紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相稱于集合為7，集合為6，集合為9。規(guī)定“陰影部分的面積”，可先求出集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：88確定集合A：36確定集合B：36確定集合C：36確定集合：7確定集合：6確定集合：9確定集合：0代入公式：=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）=2“由中間向外圍”進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)識，進(jìn)行簡樸加減運算，如下圖過程所示：據(jù)圖可知，陰影部分的面積為：22＋25＋23＝70。因此，選C。例7：(江蘇A類－19)某調(diào)查企業(yè)就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是(

)。A.69

B.65

C.57

D.46【答案】D【解析】[題鑰]“某調(diào)查企業(yè)就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查”、“20人一部也沒有看過”，相稱于元素總量W為125－20＝105。“有80人看過甲片”，相稱于集合A為89?！坝?7人看過乙片”，相稱于集合B為47?！坝?3人看過丙片”，相稱于集合C為63?！捌渲杏?4人三部電影全看過”，相稱于元素數(shù)量3為24。求解“只看過其中兩部電影的人數(shù)”，此類題目屬于整體反復(fù)型問題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：只看過其中一部電影的人數(shù)為x，即元素數(shù)量1為x；看過其中兩部電影的人數(shù)為y，即元素數(shù)量2為y；確定元素總量W：125－20＝105確定集合A：89

確定集合B：47

確定集合C：63

確定元素數(shù)量3：24

代入公式，列方程：因此，選D。例8：建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問以上四項球類運動都喜歡的至少有幾人？A.20

B.30

C.40

D.50【答案】B【解析】[題鑰]觀測題目，發(fā)現(xiàn)采用公式法，文氏圖