第二十四章圓

專題17圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）

言【題型目錄】

題型一圓周角的概念辨析

題型二圓周角定理

題型三同弧或等弧所對的圓周角相等問題

題型四半圓所對的圓周角是直角問題

題型五90°的圓周角所對的弦是直徑問題

題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型七求四邊形外接圓的直徑

題型八圓周角綜合問題

【知識梳理】

知識點(diǎn)一、圓周角

1.頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）

2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等.

圓周角定理及其推理

名稱文字語言幾何語言圖示

一條弧所對的圓周角等于它所NA是里更對的一個圓周角”

定理對的圓心角的一半NBOC是前所對的一個圓心角K--

.,.ZA=|ZBOC\j/

??.NC、ND都是前---所--對--圓--周--角---，-------------，爭

同弧或等弧所對的圓周角相等；

推理

---------------------------------------------------------D

---公康半圓（AB是直徑），=NC=ZD=90°

半圓（或直徑）所對的圓周角是90。；

90。的圓周角所對的弦是直徑.■.ZC=90o或ND=90°,1.AB是。O的直徑'o―TP

3.一個四邊形的4個頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，一個外角等于其內(nèi)對角。

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

幾何語言

???四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形,

.,?ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180"

51經(jīng)典例題一圓周角的概念辨析】

1.（2020秋?浙江寧波?九年級?？计谥校┫铝姓f法：（1）三點(diǎn)確定一個圓；（2）直徑所對的圓周角是直角；

（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；（4）相等的圓心角所對的弧相等；（5）圓內(nèi)接四邊形

的對角互補(bǔ).其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)

E,AC,BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對的圓周角是（)

A.ZADEB.ZAFEC.ZABED.ZABC

3.（2023?湖南婁底??？家荒＃┮阎c(diǎn)A、B、C、。在圓。上，且ED切圓。于點(diǎn)。，OELCD于點(diǎn)E,

對于下列說法：①圓上而是優(yōu)弧；②圓上同是優(yōu)?。虎劬€段是弦；④和乙都是圓周

角；⑤是圓心角，其中正確的說法是.

4.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，直線/經(jīng)過。。的圓心O,且與。。交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)C在。。

上，且//OC=30°,點(diǎn)尸是直線/上的一個動點(diǎn)（與圓心。不重合），直線C尸與。。相交于另一點(diǎn)。，如

果。尸=。。，則/?！?—.

5.（2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）把下面的語句還原成圖形:

（1）?！ǖ陌霃綖?cm,48是。M的一條弦（48不經(jīng)過〃），2AMB、N/C8分別是劣弧令所對應(yīng)的圓

心角和圓周角；

（2）礪是。。中的一條弧，且益=族.

6.（2023秋?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末）（1）【學(xué)習(xí)心得】

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完，圓，，這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問

題變得非常容易.

例如如圖1,在A42C中，4B=AC,ABAC=90。,。是八43。外一點(diǎn)，且4D=/C,求乙BDC的度數(shù).若

以點(diǎn)/為圓心，為半徑作輔助GM，則點(diǎn)C、。必在上，乙B/C是的圓心角，而NADC是圓周角，

從而可容易得到48DC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCZ）中，4BAD=zSCD=90°,乙BDC=27°,求乙B/C的數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,E,尸是正方形A8CO的邊上兩個動點(diǎn)，滿足/足連接C尸交2。于點(diǎn)G,連接交/G

于點(diǎn)若正方形的邊長為4,則線段?！ㄩL度的最小值是.

AEFD

A

A【經(jīng)典例題二圓周角定理】

i.（2023春?福建福州?九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B,C,。在。。上，ZAOC=140°,2是弧/C的中

點(diǎn)，則一。的度數(shù)是（）

C.45°D.70°

2.（2023春?陜西榆林?九年級?？计谥校┤鐖D，。。是的外接圓，且42是。。的直徑，點(diǎn)。在

上，連接BD,且8O=8C,若/8。。=50。，則/48C的度數(shù)為（）

C.30°D.25°

3.2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，48是。。的一條弦，,垂足為點(diǎn)C,交。。

于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在。。上，N4ED=30°,OB=10,貝ij弦4B的長是.

4.（2023秋?九年級課時練習(xí)）如圖，己知C,。是半圓。上的三等分點(diǎn)，連接和。。相

交于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①/C8/=30。；@OD1BC-@OE=^AC-④四邊形N8C是菱形.其中

正確的有（填序號）.

5.（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖1,已知N8為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，CE，AB于E,D為

弧3C的中點(diǎn)，連接2。，分別交CE、C8于點(diǎn)廠和點(diǎn)G.

圖1

（1）求證：CF=CG；

（2）如圖2,若AF=DG,連接。G,求證：0GL/2.

6.（2022秋?江蘇鹽城?九年級校考階段練習(xí)）如圖，N8是。。的一條弦，ODLAB,垂足為點(diǎn)C,交。。

于點(diǎn)。，點(diǎn)E在。。上.

（1）若￡）/0。=50°,求NDE8的度數(shù)；

（2）若。。=6,OA=10,求的長.

4【經(jīng)典例題三同弧或等弧所對的圓周角相等問題】

1.（2021春?福建南平?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，A/CD是。。的內(nèi)接三角形，AC=CD,連接/。并延

長交。。于點(diǎn)8,連接8C,若/R4C=32。，則N/CD等于（）

c

B

A.64°B.62°C.60°D.58°

2.（2022?北京西城??？寄M預(yù)測）如圖，△ZOC內(nèi)接于OO,是OO的直徑，若乙4=66。，則N5CD

等于（）

B.34°C.24°D.14°

3.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，05c內(nèi)接于OO,是的直徑，點(diǎn)。是OO上一點(diǎn),

/CDB=55。,則—°,

D

4.（2023?云南德宏?統(tǒng)考一模）已知：如圖，43是OO的直徑，43垂直弦于點(diǎn)￡,則在不添加輔助線

的情況下，圖中與相等的角是—（寫出一個即可）.

5.（2023秋?九年級課時練習(xí)）如圖所示，四邊形43CD內(nèi)接于OO,

/B=50°,ZACD=25。,NBAD=65°.

/)

求證:

⑴4D=CD；

（2）4B是。。的直徑.

6.（2022秋?甘肅定西?九年級統(tǒng)考期末）已知：。。的兩條弦4B,相交于點(diǎn)“，且48=。.

（1）如圖1,連接ND.求證：AM=DM.

（2）如圖2.若/3LCD.在而上取一點(diǎn)E,使防=前，NE交CD于點(diǎn)尸，連接DE.判斷/E與/DFE

是否相等，并說明理由.

_，3【經(jīng)典例題四半圓所對的圓周角是直角問題】

1.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在中，AC=BC,OO是△4BC的外接圓，45是O。的

直徑，點(diǎn)。在上，連接CD交4B于點(diǎn)E,連接8,若/5。。=120。，則N3瓦）的度數(shù)為（）

A.60°B.75°C.100°D.105°

2.（2022?河北衡水?校考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)/,B,。在。。上，BC//OA,連接30并延長，交。。于點(diǎn)

D,連接/C,DC.若ND=40。,下列結(jié)論不正確的是（）

A.4=50。B.直線/。垂直平分C.ZA=-ZBD.ZACB-30°

2

3.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，是。。的直徑,08c是。。的內(nèi)接三角形.若NDAC=NABC,

AC=4,則的直徑40=

4.（2022秋?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知。。的直徑。為。。上一點(diǎn)（不與A、3重

合），連接40、BD.弦DC平分/4D8,交48于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作/尸，CD于點(diǎn)廠，交。。于點(diǎn)G,連

接。G,若DG=AE,則NG的度數(shù)為。.

5.（2023春?浙江杭州?九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)E是邊長為2的正方形/BCD中48邊上一點(diǎn)

（不與/、8重合），以CE為直徑的。。分別交。￡和（7。于點(diǎn)尸、M,DHLCE于點(diǎn)、H.

D

(1)求證：BE=CM

⑵猜想ZE與/龍的大小關(guān)系，并說明理由.

(3)當(dāng)。尸=。"時，求的面積.

6.(2023秋?全國?九年級專題練習(xí))如圖，點(diǎn)8,C為OO上兩定點(diǎn)，點(diǎn)N為。。上一動點(diǎn)，過點(diǎn)8作

BE//AC,交。。于點(diǎn)￡,點(diǎn)。為射線2C上一動點(diǎn)，且NC平分/A4。，連接CE.

(2)連接瓦4,若BC=CD,試判斷四邊形EBC4的形狀，并說明理由.

A【經(jīng)典例題五90°的圓周角所對的弦是直徑問題】

1.(2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，“8C是等邊三角形，AB=2,點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且

NBAP—NCBP=30°,連接“，則CP的最小值為()

A

2.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，正方形48CD中，/8=12,點(diǎn)尸為邊ZM上一個動點(diǎn)，連接

CP,點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且?！?4,在48上截取點(diǎn)。使尸，交CP于點(diǎn)連接則8M的最

小值為（）

A.8B.12C.4710-4D.V83-5

3.（2023?重慶?九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形N3C。是矩形，N8=4,=6,點(diǎn)￡是平面內(nèi)的一個

動點(diǎn)，連接/￡、DE,在運(yùn)動的過程中，/E始終垂直于。E,將/E繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，連接

4.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，ZABC=ABAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點(diǎn)￡在線段3c上運(yùn)動，點(diǎn)廠在線段/￡上，ZADF=ZBAE,則線段B尸的最小值為.

5.(2022秋?福建福州?九年級統(tǒng)考期中)正方形/BCD邊長為4,點(diǎn)￡為平面內(nèi)一點(diǎn)，以CE為腰作等腰直

角ACEF,其中NE(卞=90。，可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,連接BE,DF.

①求證：ABCE”ADCF；

②判斷BE與。尸的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)設(shè)直線BE,。尸交于點(diǎn)尸，連接近，求/尸的最大值.

6.(2023?北京?統(tǒng)考中考真題)如圖，圓內(nèi)接四邊形/BCD的對角線/C,BD交于點(diǎn)、E,BD平分N4BC,

I

(1)求證。8平分N/OC,并求2氏4。的大小；

(2)過點(diǎn)C作CR〃/。交48的延長線于點(diǎn)尸.若/C=4。，BF=2,求此圓半徑的長.

J【經(jīng)典例題六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】

【例6】（2023?湖北黃岡??？级＃┤鐖D，四邊形N8CD內(nèi)接于。。，連接08,OD,BD,若

NBCD=120°,則（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

W【變式訓(xùn)練】

1.（2023?陜西榆林?校考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于0O,48=/C,點(diǎn)。是荔上一點(diǎn)，連接

AD,BD,若/。1C=1O。，則/。的度數(shù)為（）

A.110°B.140°C.120°D.130°

2.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，E為正方形的邊CD上一點(diǎn)（不與C、。重合），將ABCE沿

直線BE翻折到△AFE,延長E尸交4D于點(diǎn)G,點(diǎn)。是過5、E、G三點(diǎn)的圓劣弧EG上一點(diǎn)，貝U

3.（2023?江蘇南京?校考三模）如圖，四邊形48co內(nèi)接于。。，它的3個外角NE4B,NFBC,/GCD的度

數(shù)之比為1：2：4,貝?。?￡>=

G

D

4.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在O3C中，點(diǎn)。為8C邊上的一個動點(diǎn)，以為直徑的。。交4D

于點(diǎn)￡,過點(diǎn)C作CF〃4B,交。。于點(diǎn)尸.連接CE、EF,若/C是。。的切線.

(1)求證：NB4C=NCEF；

(2)若48=10,AC=6,CE=EF,求直徑CD的長.

5.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形"BCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，延長4B到點(diǎn)E,使

得BE=AD,連結(jié)/C,CE.

⑴求證：AC-CE.

(2)若/。=46，48=6百，Z5CD=120°,求8c的長

【經(jīng)典例題七求四邊形外接圓的直徑】

【例7】.（2021?廣西賀州?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形/2C。內(nèi)接于。。，NABC:NADC=2:1,AB=2,點(diǎn)C

為筋的中點(diǎn)，延長/8、0c交于點(diǎn)E,且NE=60°,則。。的面積是（）

A.兀B.2?C.3乃D.47r

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?四川德陽?統(tǒng)考一模）如圖，。。半徑為百，正方形/8CZ）內(nèi)接于。。，點(diǎn)E在封上運(yùn)動，連

接8瓦作/尸，8E,垂足為尸，連接CF.則CF長的最小值為（）

D,也

C.V2-1

2

2.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？既＃┰诹庑蝂3CD中，AD=2ND=60。，/胡廠的兩邊分別交

邊DC、CB于點(diǎn)、E、F,且N&4尸=60。，記△/所的外心為點(diǎn)尸，則尸、C兩點(diǎn)間的最小距離

3.（2022秋?廣東廣州?九年級校考期末）如圖，線段3C的兩個端點(diǎn)分別在x軸和直線/上滑動（均不與原

點(diǎn)。重合），/a=60。，BC=2,作軸，CP11,交點(diǎn)為尸，設(shè)P的坐標(biāo)為（P，4）,則

2,2

p+q

4.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考一模）已知菱形/BCD中，NBAD=120°,點(diǎn)￡、尸分別在N8,2C上,

BE=CF,AF與CE交于點(diǎn)、P.

⑴求證：NAPE=60°；

（2）當(dāng)PC=1,P/=5時，求PD的長?

⑶當(dāng)N8=2仃時，求尸。的最大值？

5.（2023秋?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）定義能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆

蓋圓.

⑴如圖①，線段/3=3,則線段的最小覆蓋圓的半徑為；

（2）如圖②，Rt/X/BC中，ZA=90°,AB=y/l,AC=3日請用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓

（保留作圖痕跡，不寫作法）.此最小覆蓋圓的半徑為

（3）如圖③，矩形N5CD中，AB=3,BC=5,則矩形23CD的最小覆蓋圓的半徑為；若用兩個等

圓完全覆蓋該矩形/BCD，那么這兩個等圓的最小半徑為

4【經(jīng)典例題八圓周角綜合問題】

【例8】（2023春?重慶開州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形/8C的斜邊為邊在三角形43C的同

側(cè)作正方形正方形的對角線BE相交于點(diǎn)O,連接C。，如果/C=l,CO=2?，則正方形

C.24D.26

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，正方形N8CD中，AB=\2,點(diǎn)尸為邊1上一個動點(diǎn)，連接

CP,點(diǎn)、E為CD_L一點(diǎn)、,且?！?4,在48上截取點(diǎn)。使