專題01旋轉中的三種全等模型（手拉手、半角、對角互補模型）

本專題重點分析旋轉中的三類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結合各類模型展示旋轉中

的變與不變，并結合經(jīng)典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高

數(shù)學的綜合解題能力。

模型1.手拉手模型

【模型解讀】將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成

手拉手全等，也叫旋轉型全等。其中：公共頂點/記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個

頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。

手拉模型解題思路：&4s型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。

1）雙等邊三角形型

條件：U4BC和口。?！昃鶠榈冗吶切危珻為公共點；連接BE,交于點幾

結論：UUACDUHBCE-,DBE=AD；DDAFM=QBCM=60o；口CF平分口8尸。。

2）雙等腰直角三角形型

條件：口48C和口。。￡均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE,AD交于點M

結論：nnACDUDBCE；DBE=AD；DQANM=DBCM=9QO；\JCN平分UBND。

3）雙等腰三角形型

DD

條件：口48。和口。?！昃鶠榈妊切危珻為公共點；連接BE,交于點「

結論：nnACDUDBCE；DBE=AD；DnACM=DBFM；口3平分□/皿

4）雙正方形形型

條件：△4BCED和ACEFG都是正方形，C為公共點；連接BG,ED交于點、N。

結論：□□HBCGDHDCE；UBG=DE；nQBCM=nDNM=90°；DCN平分口8版

例L（2022秋?福建龍巖?九年級校考階段練習）如圖，在邊長為8的等邊S48c中，點。是的中點，

點E是平面上a45c外一點，且?！?2,連接8E,將線段￡8繞點E順時針旋轉60。得到線段斯，連接/R

CE.（1）判斷as斯的形狀，并說明理由；（2）求證：AF=CE；（3）當點。，E,尸在同一直線上時，請你在備

用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時的長.

備用圖

例2.（2022?吉林?九年級期末）如圖①，在ABC中，ZC=90°,AC=2C=&,點O,E分別在邊AC,

BC上,且CD=CE=B止匕時=成立.

圖①圖②圖③

(1)將△(?￡?繞點C逆時針旋轉90。時，在圖②中補充圖形，并直接寫出班的長度；(2)當△CDE繞

點C逆時針旋轉一周的過程中，AD與BE的數(shù)量關系和位置關系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證

明，若不成立請說明理由；(3)將△CDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，當A,D,E三點在同一條

直線上時，請直接寫出AO的長度.

例3.(2022?黑龍江?虎林市九年級期末)已知RtEL42c中，AC=BC,EL4c3=90。，尸為48邊的中點，且

DF=EF,0Z)FE=90",。是5c上一個動點.如圖1,當。與C重合時，易證：CD2+DB2=2DF2■,

(1)當。不與C、3重合時，如圖2,CD、DB、。廠有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

(2)當。在8c的延長線上時，如圖3,CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的猜想，并加以證明.

例4.(2023?山西大同?九年級期中)綜合與實踐：已知二ABC是等腰三角形，AB=AC.

(1)特殊情形：如圖1,當DE團3C時，DBEC.(填"或"=")；(2)發(fā)現(xiàn)結論：若將圖

1中的ADE■繞點A順時針旋轉。(00<?<180°)到圖2所示的位置，則(1)中的結論還成立嗎？請說明

理由.(3)拓展運用：某學習小組在解答問題：“如圖3,點P是等腰直角二角形ABC內一點，ZBAC=90°,

且3尸=1,AP=2,CP=3,求/次％的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉的知識，將△BAP繞點A順時針

旋轉90。得到VC4E,連接PE,構造新圖形解決問題.請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù).

例5.(2023春?浙江?八年級專題練習)邊長為4的正方形/BCD與邊長為2&的正方形CEFG如圖1擺

放，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉，旋轉角為a,連接8G,DE.

(1)如圖2,求證：勖CGEEDCE；

(2)如圖2,連接。G,BE,判斷。G+8印否為定值.若是，求這個定值若不是，說明理由;

(3)如圖3,當點G恰好落在上時，求a的值.

模型2.半角模型

【模型解讀】半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半

思想方法：通過旋轉構造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉化

1）正方形半角模型

條件：四邊形N8CD是正方形，口￡。尸=45。；

結論：□DBCEDDDCG；DUCEFUUCGF；匚EF=BE+DF；④AAEF的周長=2/3；

⑤）CE、CP分別平分乙8M和/瓦曬。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AN8C是等腰直角三角形，口及￡=45。；

結論：LURlDUmCG；U3DAEUUGAE-,?NECG==90。；@DE2^BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：AN8C是等邊三角形，ABAC是等腰三角形，且8D=CD,D5DC=120°,DEDF=60°；

結論：nUBDELDCDG；nnEDFDDGDF；DEF=BE+FC；④ANE/的周長=2/8；

⑤）DE、DF分別平分和NEFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

AA

條件：公/臺。是等邊三角形，口￡40=30。；

結論：,[LUBDAUUCFA-,UUDAEUUFAE-,UIEC尸=120。；?DE2^{-BD+EC）2+{^-BD

212

5）任意角度的半角模型（2e-a型）

條件：^BAC=2a,AB=AC,QDAE=a；

結論：nnBADDOCAF；DUEADUUEAF-,UZECF=1800-2ao

例1.（2023?福建?龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形ABCD中，點E,歹分別是3C,8邊上的動點，且ZE4F=45。，求證：EF=DF+BE.

明發(fā)現(xiàn)，當把ARE繞點A順時針旋轉90。至“AOG,使AB與AD重合時能夠證明，請你給出證明過程.

（2）【類比引申】①如圖2,在正方形ABCD中，如果點E,尸分別是CB,DC延長線上的動點，且ZE4F=45。,

則（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請寫出所，BE,。產(chǎn)之間的數(shù)量關系（不要求證明）

②如圖3,如果點E,尸分別是BC,延長線上的動點，且Z￡XF=45。，則斯，BE,。尸之間的數(shù)量

關系是（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形ABCD的邊長為6,AE=3下,求AF的

長.

圖1圖2圖3

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,D、￡是斜

邊BC上兩點，且/D4E=45。，若BD=3,CE=4,SADE=15,則△ABD與△&￡■（?的面積之和為（）

C.30D.22

例3.（2023秋?湖北武漢?九年級?？茧A段練習）如圖，在a43c中，AB=AC=26.&8/C=120。，點，

￡都在邊8C上，0ZM￡=6O。，若BD=2CE,求?！甑拈L.

BDE

例4.（2023?綿陽市八年級期中）在等邊A/gC的兩邊48、/C所在直線上分別有兩點〃、N,D為"BC

外一點，且0A〃W=6O。，WDC=120°,BD=DC.探究：當M、N分別在直線48、/C上移動時，BM、NC、

之間的數(shù)量關系.⑴如圖1,當點M、N邊AB、/C上，且。初=。"時，BM、NC、之間的數(shù)量關

系是.；⑵如圖2,點“、N在邊AB、AC±,且當DAfeDN時，猜想（1）問的結論還成立嗎？若成

立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由.（3）如圖3,當河、N分別在邊/8、◎的延長線上時，探索

BM、NC、"N之間的數(shù)量關系如何？并給出證明.

D

圖2

例5.(2023?重慶市二模)回答問題(1)【初步探索】如圖1：在四邊形/BCD中，AB=AD,I38=E⑷X?=90。，

E、尸分別是8C、CD上的點，且EF=BE+FD,探究圖中SE4D,0瓦4尸之間的數(shù)量關系.

小王同學探究此問題的方法是：延長ED到點G,使DG=BE.連接NG,先證明△/AEBa4Z)G,再證明

^AEF^AGF,可得出結論，他的結論應是；

(2)【靈活運用】如圖2,若在四邊形/BCD中，AB=AD,05+00=180°.E、尸分別是2C、CD上的點，

且EP=BE+PD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

(3)【拓展延伸】知在四邊形/BCD中，EL45C+EL4￡>C=180°,AB=AD,若點E在C8的延長線上，點尸在

CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請直接寫出四廠與前48的數(shù)量關系.

G

圖1圖2圖3

模型3、旋轉中的對角互補模型

【模型解讀】

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：口過頂點做雙垂線，構造全等三角形；口進行旋轉

的構造，構造手拉手全等。

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側型）

結論：①CD=CE,②OD+OE=6OC,③S8CE=SC0E+SC8=L0C2.

結論：①CD=CE,②OE-OD=6OC,③

3）”等邊三角形對120。模型”（1）

條件：如圖，已知N/O8=2/DC￡=：L20°,0c平分

結論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③S-S3=昱。（^.

CC/zJCC/c4

4）”等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知//O8=2NDCE=120°,0c平分//O8,/DC￡的一邊與8。的延長線交于點D,

結論：①CD=CE,②0D_0E=0C,③55,.=3OC、

vC/ZzC-C/Zi

5)“120。等腰三角形對60。模型”

條件：△48C是等腰三角形，且/8/C=120。，NBPC=60°。

結論：①PB+PC=yfjPA；

例L(2023?江蘇?八年級專題練習)在EL43C中，曲C=90。，AB=AC,。為8c的中點.

圖1圖2備用醫(yī)

(1)如圖1,E、尸分別是AB、NC上的點，且BE=AF、求證：毗＞斯是等腰直角三角形

經(jīng)過分析已知條件N2=/C,。為2C的中點.容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質，因此，連結4D(如

圖2）,以下是某同學由已知條件開始，逐步按層次推出結論的流程圖.請幫助該同學補充完整流程圖.補

全流程圖：①=,②血）尸=

（2）如果￡、尸分別為48、C4延長線上的點，仍有BE=4F,其他條件不變，試猜想SDEV是否仍為等腰

直角三角形？請在備用圖中補全圖形、先作出判斷，然后給予證明.

例2.（2023?山東棗莊?中考模擬）在AASC中，ZSAC=90°,AB^AC,ADI3c于點。，（1）如圖1,

點、M,N分別在AD,AB上，且/BMN=90。，當NAAW=30。，AB=2時，求線段AM的長；

（2）如圖2,點E,b分別在A2,AC上，且/ED斤=90。，求證：BE=AF；

（3）如圖3,點/在AD的延長線上，點N在AC上，且/BMN=90。，求證：AB+AN=42AM；

圖1圖2圖3

例3.(2023?浙江?八年級專題練習)如圖1,NACD=90。，AC=DC,MN是過點/的直線，過點。作

于點瓦連接C5過點C作CELCB,與"N交于點E.

⑴連接是/C的倍；⑵直線MTV在圖1所示位置時，可以得到線段2。和的數(shù)量關系是

,80-54與BC之間的數(shù)量關系是,請證明你的結論；

⑶直線繞點/旋轉到圖2的位置，若BD=2,BC=E，則NB的長為(直接寫結果)；

⑷直線"N繞點/旋轉到圖3的位置時，直接寫出線段A4,BC,5。之間的數(shù)量關系.

例4.(2023四川宜賓八年級期末)如圖1,ZAOB=90,OC平分2AO3,以C為頂點作NDCE=90,

交。4于點。，。3于點E.(1)求證：CD=CE；(2)圖1中，若OC=3,求OD+OE的長；

(3)如圖2,NAOB=120°,OC平分/AO3,以C為頂點作ZDCE=60°,交。4于點。，08于點E.若OC=3,

求四邊形OECD的面積.

例5.（2023湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知m。8=120。，在的。8的平分線r上有一點C,將一

個60。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線O/、08相交于點。、E.

（1）當前CE繞點C旋轉到CD與。/垂直時（如圖1）,請猜想OE+。。與OC的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）當SDCE繞點C旋轉到CD與。N不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；

（3）當配（CE繞點C旋轉到CD與。/的反向延長線相交時，上述結論是否成立？若成立，請給于證明；

若不成立，線段與OC之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

課后專項訓練

1.（2023?江蘇?八年級專題練習）如圖，。為正酎2c內一點，04=3,08=4,0c=5,將線段2。以點2

為旋轉中心逆時針旋轉60。得到線段2。，下列結論：

①△30'A可由SB0C繞點3逆時針旋轉60。得到；②點。與。，的距離為4；③的。2=150。；④S四邊形N。8。，

=6+2/；⑤SAOC-SAOB=^43,其中正確的是（）

A.①②③B.①②③⑤C.①②③④D.①②③④⑤

2.（2022?成都市?八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線/C,2。交于點。，E在BD

上，連接CE,作EE3CE交于點尸，交NC于點G,連接CF交BD于點、H,延長CE交/。于點連

接松，則下列結論：①點E到48,8C的距離相等；②MCE=45。；③配MC=MMC；④若DM=2,

3

則所“正確的有（）個.

AMD

a

BC

A.1B.2C.3D.4

3.（2022春?山東煙臺?八年級?？计谥校┤鐖D，正方形45CQ的邊長為6,點耳廠分別在邊45,5C上，

若尸是5。的中點，且血甲=45。，則的長為.

B

4.(2022?廣東深圳?八年級期末)如圖，0Age中，05^C=12O°,AB=AC,點、D為BC邊k一點、.點、E為

線段CD上一點，且CE=2,AB=皿E=60。，則DE的長為.

5.(2023?吉林松原?九年級統(tǒng)考期中)如圖，點O是等邊三角形/3C內的一點，NBOC=a,將A30C繞

點C順時針旋轉60。得A/DC,連接OD(1)當a=100。時，ZODA=°；(2)當。=120。時，ZODA=°；

⑶若a=150。，OB=8,OC=4,則。4的長為.

6.(2022.成都市八年級期中)在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,4。，3。于點。，

(1)如圖1,點V，N分別在AZ),AB上，且NBACV=90°,當NAM7V=3O°,AB=2時，求線段

40的長；(2)如圖2,點、E，尸分別在AB，AC上，且/EZ?=90°,求證：BE=AF；

(3)如圖3,點V在A。的延長線上，點N在AC上，且N8AW=90°,求證：AB+AN=^2AM；

圖1圖2圖3

7.如圖1,在RtZkABC中，ZABC=90°,BA=BC,直線MN是過點A的直線CD_LMN于點D,連接BD.

(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關系.經(jīng)過觀察思考，小明出

一種思路：如圖1,過點B作BE_LBD,交MN于點E,進而得出：DC+AD=BD.(2)探究證明：將直

線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段DC,AD,BD之間的數(shù)量關系，并證明；

8.如圖，已知［ZOCE與二/。8,OC平分口/。8.(1)如圖1,口。?！昱c口幺。的兩邊分別相交于點。、E,

口/。8=」。?！?90。，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關系，并說明理由.

以下是小宇同學給出如下正確的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如圖1,過點C作CFUOC,交0B于點F,則UOC尸=90。，…

請根據(jù)小宇同學的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程.

(3)若□/。8=120。，DDCE^60°.

口如圖3,口。?！昱c口/08的兩邊分別相交于點。、￡時，(1)中的結論成立嗎？為什么？線段。。、OE、

0c有什么數(shù)量關系？說明理由.U如圖4,口。。￡的一邊與NO的延長線相交時，請回答(1)中的結論是

否成立，并請直接寫出線段O。、OE、OC有什么數(shù)量關系；如圖5,ODCE的一邊與80的延長線相交時，

請回答(1)中的結論是否成立，并請直接寫出線段OE、0c有什么數(shù)量關系.

9.（河南省南陽市方城縣2021-2022學年八年級上學期期末數(shù)學試題）提出問題:如圖L已知OC平分助。8,

思路梳理：（1）請根據(jù)思路梳理的過程填空.

證法1：由。C平分酎。2,SODC=U\OEC,OC=OC,可得0,貝I]CD=CE.

證法2：由。C平分EL4O8,^ODC=SOEC=90°,則CD=CE,其理論依據(jù)是.

類比探究：（2）如圖2,已知OC平分的。2,點。、E分別在CM,02上.若回OOC+團OEC=180。，求證：

CD=CE.

拓展遷移：⑶如圖3,已知OC平分陰。2,點。在的反向延長線上，點E在上，且回。DC=回OEC,

若0c=4,CE=5,點C到的距離是3,則。。+?！甑闹凳?（直接寫出結果，不說明理由）

10.（2023春,江蘇?八年級期中）請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

點。、￡分別為線段上兩動點，若NDAE=45。.探究線段加、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系.小

明的思路是：把AAEC繞點/順時針旋轉90。，得到△ABE,連接使問題得到解決.請你參考小明

的思路探究并解決下列問題：

圖⑴圖⑵圖（3）

⑴猜想皮>、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關系式，直接寫出你的猜想；

（2）當動點E在線段上，動點。運動在線段CB延長線上時，如圖（2）,其它條件不變，（1）中探究的

結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3）,等邊三角形A3C中，點。、E在邊

上，且N￡>CE=30。，請你找出一個條件，使線段。區(qū)AD.EB能構成一個等腰三角形，并求出此時等

腰三角形頂角的度數(shù).

11.（2022秋?陜西延安?八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB^AD,

ZB=ZD=9O°,E、尸分別是邊BC、CD上的點，且=求證：EF=BE+FD；

【問題探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、/分別是邊BC、CD延

長線上的點，且（1）中的結論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它

們之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖①圖②

12.（2023春?四川達州,八年級校考階段練習）倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳

出題海，提高學習能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.

（1）【問題背景】已知：如圖1,點E、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZE4F=45°,連接昉，貝|

EF、BE、。戶之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？

（分析：我們把△AZ）/繞點/順時針旋轉90。至ABG,點G、B、C在一條直線上.）

于是易證得：和一三右4￡尸，所以EF=_.

直接應用：正方形ABCD的邊長為6,CF=4,則所的值為一.

⑵【變式練習】已知：如圖2,在Rt^ABC中，AB^AC,D、E是斜邊3C上兩點，且/Z）AE=45。，請

寫出BDDE,CE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

⑶【拓展延伸】在（2）的條件下，當NZME繞著點/逆時針一定角度后，點。落在線段3c上，點E落在

線段3c的延長線上，如圖3,此時（2）的結論是否仍然成立，并證明你的結論.

13.（2023?河南洛陽?八年級校考階段練習）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,ABC和VADE均為等邊三角形,

點8,D,￡在同一直線上，連接CE,容易發(fā)現(xiàn)：①N3EC的度數(shù)為」②線段80、CE之間的數(shù)量關系

為_；

【類比探究】（2）如圖2,ABC和VADE均為等腰直角三角形，ABAC=ADAE=90°,^B,D,￡在同

一直線上，連接CE,試判斷/3EC的度數(shù)以及線段BE、CE、/定之間的數(shù)量關系，并說明理由；

【問題解決】（3）如圖3,NAO3=NACB=90。，OA=4,03=8,AC=BC,則OC?的值為

圖1圖2圖3

14.（2023?重慶市九年級階段練習）【問題背景】如圖1,尸是等邊三角形N8C外一點，&4P3=30。，則

PA2+PB2^PC2.小明為了證明這個結論，將哂5繞點/逆時針旋轉60。，請根據(jù)此思路完成其證明.

【遷移應用】如圖2,在等腰直角三角形48c中，BA=BC,a48c=90。，點P在西3c外部，且回8PC=45。，

若EL4PC的面積為5.5,求PC.

15.（2023春廣東揭陽?九年級校考期中）己知R32C中，的C8=90。，CA=CB=4,另有一塊等腰直角

三角板的直角頂點放在C處，CP=CQ=2,將三角板CP。繞點C旋轉（保持點尸在a43c內部），連接/尸、

BP、BQ.（1）如圖1求證："=%；（2）如圖2當三角板CP。繞點