【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題4一線三等角模型

解題策略

X__________________Z

在直線AB上有一點P,以A,B,P為頂點的Nl,Z2,N3相等，Zl,N2的一條邊在直線AB上，另一

條邊在AB同側(cè)，N3兩邊所在的直線分別交Nl,N2非公共邊所在的直線于點C,D.

1.當(dāng)點P在線段AB上，且N3兩邊在AB同側(cè)時.

(1)如圖，若N1為直角，則有AACPs^BPD.

(2)如圖，若N1為銳角，則有△ACPs/\BPD.

2.當(dāng)點P在AB或BA的延長線上，且N3兩邊在AB同側(cè)時.

如圖，則有△ACPS^BPD.

3.當(dāng)點P在AB或BA的延長線上，且N3兩邊在AB異側(cè)時.

如圖，則有AACPSABPD.

/------------------\

經(jīng)典例題

\/

【例1】.(2022?全國?八年級課時練習(xí))(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本

圖形.如圖1,已知：在△48C中，Z.BAC=90°,ABAC,直線/經(jīng)過點A,BD1直線/,CE，直線/,

垂足分別為點Q,E.求證：DE=BD+CE.

（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在△力8c

中，AB=AC,D,A,E三點都在直線/上，并且有NBDA=^AEC=4BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請

問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過A4BC的邊AB,

AC向外作正方形ABOE和正方形ACPG,是BC邊上的高.延長交EG于點/.若S-EG=7,貝U

^AAEI=--------------

【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5

【分析】（1）由條件可證明△妾△CAE',可得ZM=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知/BAO+/C4E=18（）o-a,且/Z）BA+NB4O=180O-a,可得NQ54=NCAE,結(jié)合條件可證明

△ABD2ACAE,同（1）可得出結(jié)論；

（3）由條件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明4EMI^^GNI,可得出結(jié)論/是EG的中點.

【詳解】解：（1）證明：如圖1中，直線/,CEJ_直線/,

ZBDA=ZCEA=9Q°,

'：ZBAC=9Q°,

：./54￡>+/CAE=90。，

,/ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在△4。3和4CEA中，

NABD=/.CAE

Z.BDA=Z-CEA,

AB=AC

：.AADB^ACEA（A4S）,

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE.

（2）解：成立.

理由：如圖2中,

ZBDA=ZBAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

NDBA=NCAE,

在△4。5和4CEA中，

2BDA=Z-AEC

Z-DBA=Z-CAE,

、AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：?AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(3)如圖3,過E作EM,印于M,GNJ_H/的延長線于N.

圖3

JZEMI=ZGNI=90°

由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=A"=GN

：.EM=GN

在^EM/和^GNI中,

2GIN=乙EIM

EM=GN,

/GNI=乙EMI

：.AEM/^AGMG4AS）,

：.EI=GI,

?”是EG的中點.

：.SAAEI=-SAAEG=3.5.

故答案為：3.5.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】.(2022?全國?八年級專題練習(xí))在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有48=AC,

且滿足=AAEC=^BAC=a.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0<a<180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說

明理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在△ABC中，NB力C是鈍角，AB=AC,/.BAD<ACAE,ABDA=^AEC=^BAC,直線與

CB的延長線交于點F,若BC=3FB,△力BC的面積是12,求△FBD與△ACE的面積之和.

【答案】⑴DE=BD+CE

(2)DE=BO+CE仍然成立，理由見解析

(3)AFBD與△ACE的面積之和為4

【分析】(1)由/Ba4=NBAC=NAEC=90°得到/BAQ+NEAC=N8AQ+/r>BA=90°,進(jìn)而得到/DBA

=ZEAC,然后結(jié)合A2=AC得證△DBA絲△EAC,最后得到DE=B￡)+CE；

(2)由NBZM=/BAC=NAEC=a得到/朋。+/￡>^=/&4￡)+/￡)84=180°-a,進(jìn)而得到/￡>2A=

ZEAC,然后結(jié)合AB=4C得證△OBAg/XEAC,最后得至I」OE=BO+CE；

(3)由/BADANCAE,NBDA=NAEC=NBAC,得出NCAE=/A3D,由AAS證得得

出S4ABD=S^CE4,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出SAAB尸即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA^ZEAC,

"：AB=AC,

：.(AAS),

J.AD^CE,BD=AE,

???DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

?.?NBDA=ZBAC=ZAEC=af

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD^ZDBA=1SO°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

?：AB=ACf

.,.△DBA^AEAC(AAS),

：.BD=AEfAD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：'：ZBAD<ZCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在AABO和△CAE中，

2ABD=/.CAE

Z.BDA=Z-CEA,

、AB=AC

：.AABD^/\CAE(AAS),

:.S^ABD=S/\CAE9

設(shè)AABC的底邊8C上的高為h,則AAB/的底邊上的高為h,

：.SAABC^-1BC-h^l2,S4ABF=1*F?h,

22

,:BC=3BF,

：.SAABF=4,

■:S△ABF=SABDF+SAABD=SAFBD+SAACE=4,

：.AFBD與AACE的面積之和為4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形的判定與性質(zhì).

【例3】.(2022?浙江紹興.模擬預(yù)測)如圖，ANBC中N8=NC=30°,乙DEF=30°,且點E為邊BC的中點.將

4DEF繞點、E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段48相交于點P,射線EF與射線C4相交于點Q,連結(jié)PQ.

圖1備用圖

(1汝口圖1,當(dāng)點Q在線段C4上時，

①求證：4BPES&CEQ；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)當(dāng)△4PQ為等腰三角形時，求當(dāng)?shù)闹?

Dr

【答案】(1)①見解析，②B⑶=BPCQ

(2)1或3

【分析】⑴①推導(dǎo)角度關(guān)系可得NCEQ=/BPE,結(jié)合4B=/C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得案=美，

結(jié)合8E=CE即可得出結(jié)論；

(2)。點可能在線段C4上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結(jié)合(1)中的相似三角形即可得

出結(jié)果.

(1)

解：①：/DEF=30。，ZB=30°,

ZBED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

：.ZCEQ=ZBPE,

'：ZB=ZC,

：.4BPES/\CEQ；

②B3=BP.CQ,理由如下：

ABPEsMEQ

.BEBP

9'CQ=CE

:?BECE=BPCQ

???點E為邊3C的中點，

：.BE=CE,

；.B?=BPCQ；

(2)

解：①當(dāng)點。在線段AC上時，

???ZA=180°-ZB-ZC=120°,為鈍角,

???AAP2為等腰三角形時有AP=AQ,

,:/B=/C,

：.AB=AC,

：.BP=CQ,

工1

BP—

②當(dāng)點。在線段CA的延長線上時，如圖：連接尸。

VZBAC=120°,

ZBAQ=60°,

當(dāng)△APQ為等腰三角形時，有AAP。為等邊三角形

設(shè)A5=AC=2〃，則3C=2V5〃，

BE=CE=y[^a,

設(shè)AQ=AP=x,

貝ljCQ=2a+x,BP=2a-x,

由(1)得：BE7=BPCQ

/.(百〃)2=(2〃+x)(2〃-x),

解得：x=a,

:?BP=a,CQ=3a,

.?.絲_3

BP—

綜上器的值為1或3.

Dr

【點睛】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵.

培優(yōu)訓(xùn)練

X.______________________________

一、解答題

1.(2022?全國?八年級課時練習(xí))在△力BC中，^ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且2D1MN于

D,BE1.MN于E.

(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時.

①請說明AADC三△CEB的理由；

②請說明DE=AD+BE的理由；

(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，DE、AD,8E具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證

明.

(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等

量關(guān)系：?

【答案】(1)①理由見解析；②理由見解析

(2)DE=AD-BE,證明見解析

(3)DE=BE-AD

【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個圖形中證明

AD,EB、DE之間的關(guān)系.

(1)

解：①于。，BE工MN于E,

J./.ADC=乙BEC=90°,

V^ACB=90°,

：.^ACD+^BCE=90°,

^ACD+^DAC=90°,

：./-DAC=乙BCE,

在△ADC和△CEB中

AADC=乙BEC

Z-DAC=乙BCE,

、AC=BC

??AA^DC￡△CEB,

?*：LADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

*：DC+CE=DE,

??AD+EB=DE,

(2)

結(jié)論：DE=AD—BE,

?；BE1EC,AD1CE,

C.Z.ADC=乙BEC=90°,

?EBC+乙BCE=90°,

??,乙4cB=90°,

：.AACE+^BCE=90°,

：./-ACD=乙EBC,

??AA^DC=ACEB,

：.AD=EC,CD=BE,

??DE=EC-CD=AD—EB,

(3)

結(jié)論：DE=BE-AD,

LACB=90°,

：.^ACD+^BCE=90°,

■:BE1MN,AD1MN,

：.AADC=乙DEC=90°,

：.^ACD+Z.DAC=90°,

：.Z.DAC=乙BCE,

在△40C和△CEB中

Z.ADC=乙BEC

乙DAC=乙BCE

、AC=BC

??△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=CD-EC=EB-AD.

【點睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運用“一線三垂直”模型是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?江蘇?八年級課時練習(xí))(1)如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經(jīng)過點A,BD1

直線相，CEL直線加，垂足分別為點。、E.求證：AABD義ACAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有

=NAEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△A3。絲ZkCAE是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(D,A,E三點互不重合)，點廠

為N8AC平分線上的一點，且△A8F和△ACP均為等邊三角形，連接2￡),CE,若NAEC=N54C,

求證：△。跖是等邊三角形.

【分析】(1)根據(jù)8。1直線zn,CE，直線zn得乙8。4=/.CEA=90。，而NB4C=90°,根據(jù)等角的余角相等

得Z,C4E=UBD,然后根據(jù)“A4S”可判斷AAOB=ACEA；

(2)禾！J用NBZM=Z.BAC=a,則N0B4+Z.BAD=4BAD+/.CAE=180°-a,得出NCAE=乙ABD,然后

問題可求證；

(3)由題意易得BF=4F=AB=AC,NABF=NB4F=NF4C=60。，由(1)(2)易證A4DB三ACEA,

則有4E=BD,然后可得NFB。=/.FAE,進(jìn)而可證ADBF=^EAF,最后問題可得證.

【詳解】（1）證明：:BD1直線zn,CE1直線zn,

???Z-BDA=Z.CEA=90°,

???ABAC=90°,

???乙BAD+^CAE=90°,

???/.BAD+乙ABD=90°,

???Z.CAE=乙ABD,

???在AZDB和ACE/中，

2ABD=ACAE

Z-BDA=Z.CEA,

、AB=AC

：.AADB=△CE/(44S)；

解：(2)成立，理由如下：

Z-BDA=Z.BAC=a,

??.匕DBA+乙BAD=/.BAD+Z.CAE=180°-a,

???Z.CAE=乙ABD,

???在A4DB和ACE/中，

2ABD=ACAE

Z-BDA=Z-CEA，

、AB=AC

??.NADB=△CEZQ4AS)；

(3)證明：:△AB尸和△ACb均為等邊三角形，

：.BF=AF=AB=AC,^ABF=^BAF=AFAC=60°,

???ZBDA=ZAEC=ZBAC=120°,

?"DBA+乙BAD=乙BAD+Z.CAE=180°—120°,

：.Z-CAE=乙ABD,

:.'ADB=△CEA(44S),

：.AE=BD,

9：Z-FBD=Z.FBA+iABD/FAE=Z.FAC+NCAE,

:,乙FBD=Z.FAE,

C.LDBF=LEAF(SAS),

：.FD=FE/BFD=^AFE,

：.^BFA=乙BFD+^DFA=AAFE+^DFA=4DFE=60°,

...△QPE是等邊三角形.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定

與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2022.全國.九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：

如圖1,^BAD=/-ACB=^AED=90°,由Z.1+乙2+ABAD=180°,Z2+ZD+^AED=180°,可得=

乙D；又因為2CB==90。，可得△4BCFD4E,進(jìn)而得到繁=.我們把這個模型稱為“一線

三等角”模型.

應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在△力BC中，AB=AC=10,BC=12,

點尸是BC邊上的一個動點（不與3、C重合），點。是AC邊上的一個動點，且乙4PD=NB.

①求證：XABPs^PCD；

②當(dāng)點P為中點時，求CD的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當(dāng)AAPD為等腰三角形時，請直接寫出2尸的長.

【答案】感知：（1）若；應(yīng)用：（2）①見解析；?3.6；拓展：（3）2或斗

DE3

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=/C,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到即可求證；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；

（3）分以=PD、AP=AD,三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】感知：（1）VAABC^ADAE,

.BC_AC

??=，

AEDE

.BC_AE

??=，

ACDE

故答案為：空;

應(yīng)用：(2)?VZAPC=ZB+ZBAPfZAPC=ZAPD+ZCPD,ZAPD=ZBf

：.NBAP=/CPD,

9：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.△ABPsfCD；

②3cM2,點尸為5c中點，

：.BP=PC=6,

VAABP^APCZ）,

即U=&,

PCCD6CD

解得：8=3.6；

拓展：（3）當(dāng)B4=P。時，^ABP"APCD,

：.PC=AB=\O,

：.BP=BC-PC=12-10=2；

當(dāng)AP=AO時，ZADP=ZAPD,

ZAPD=ZB=ZC,

/.ZADP=ZC,不合題意，

：.AP^AD；

當(dāng)D4=￡）尸時，ZDAP=ZAPD=ZBf

vzc=zc,

???ABCA^AACP,

即工=也，

ACCP10CP

解得：CP=g,

2，11

：.BP=BC-CP=12--=—,

33

綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時，BP的長為2或5.

【點睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形

的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?山東煙臺?七年級期末）問題背景：（1）如圖①，已知△力8C中，ABAC=90。，AB=AC,直線相

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在△力8C中，AB^AC,D,A,￡三點都在直線機上，

并且有NBD4=N4EC=NBaC,請求出OE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)實際應(yīng)用：如圖③，在AACB中，乙ACB=90°,AC=BC,點C的坐標(biāo)為(—2,0),點A的坐標(biāo)為(—6,3),

請直接寫出B點的坐標(biāo).

【答案】⑴BD；CE；證明見詳解；(2)DE=BD+CE；證明見詳解；(3)點8的坐標(biāo)為B(l,4).

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到4E=B。，AD=CE,結(jié)合圖形解答即可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明乙48。=NC4E,證明AaB。三AC4E,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到=AD-CE,結(jié)合圖形解答即可；

(3)根據(jù)AZECmACF8,得到CF=4E=3,BF=CE=OE-OC=4,根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)證明：J.CE1m,

：.^ADB=/.CEA=90°,

/.BAC=90°,

ABAD+^CAE=90°,

/.BAD+/.ABD=90°,

：.^CAE=UBD,

在△4。8和4CE4中

2ABD=ACAE

UDB=/.CEA,

?AB=CA

??△ADB=△CEA^j

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案為：BD；CE；

(2)解：數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE,

證明：在△48。中，A.ABD=180°-/.ADB-^BAD,

"：^CAE=180°-4BAC-ABAD,^BDA=乙4EC,

；.UBD=ACAE,

在△48￡)和小C4E中，

f^ABD=^CAE

\^BDA=^AEC

(AB=CA

△ABDSACAE,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如圖，作4E_L無軸于E,8尸1乂軸于尸,

由（1）可知，4AECSACFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=1,

點8的坐標(biāo)為8（1,4）.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?浙江.義烏市繡湖中學(xué)教育集團八年級階段練習(xí)）（1）模型建立，如圖1,等腰直角三角形A8C中，

/ACB=90。，CB=CA,直線EO經(jīng)過點C,過A作A。_L于。，過8作8E_LEC于E.求證：△BE8△CDA；

（2）模型應(yīng)用：

①已知直線尸況+3與y軸交于A點，與x軸交于2點，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC,

4

過點A,C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABCO,。為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8,6）,A,C分別在坐標(biāo)軸上，尸是線段BC上動點,

已知點。在第一象限，且是直線y=2尤-5上的一點，若AAPD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請

直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo).

【答案】(1)見解析；(2)y=-,％+3；(3)(3,1)或(9,13)或(三，y)

【分析】(1)由條件可求得NEBC=乙4。。，利用44s可證明ABEC三△CD4；

(2)由直線解析式可求得4、B的坐標(biāo)，利用模型結(jié)論可得CE=BO,BE=AO,從而可求得C點坐標(biāo)，利

用待定系數(shù)法可求得直線4C的解析式；

(3)分兩種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)N4DP=90。時，AD=PD,設(shè)。點坐標(biāo)為(x,2%-5),利用三角形

全等得到11-2%+x=8,易得。點坐標(biāo);如圖3所示，當(dāng)N4PD=90。時,4P=PD,設(shè)點尸的坐標(biāo)為(8,m),

表示出。點坐標(biāo)為(14-m,m+8),列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標(biāo)；如圖4所示，

當(dāng)NADP=90。時，AD=PD時，同理求出D的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)由題意可得，^ACB=^ADC=Z.BEC=90°,

乙EBC+/-BCE=/.BCE+/.ACD=90°,

:.乙EBC=^ACD,

在△BEC和A中

2EBC=/.ACD

Z-E=Z-D,

BC=AC

：.△BEC=△CDA(AAS)；

(2)過點C作CD1x軸于點D,如圖2,

y

在y=-%+3中，令y=0可求得第=—4,令％=0可求得y=3,

4

/.OA=3,OB=4

同(1)可證得ACDB任BOA,

=8。=4,8。=4。=3,

J.OD=4+3=7,

."(—7,4)且4(0,3),

設(shè)直線AC解析式為：)/=/d+3,把C點坐標(biāo)代入可得-7k+3=4,解得k=一點

二直線AC解析式為y=-｝久+3；

過點。作DE1。力于E,過點D作DF1BC于F,

同理可得：4AED任DFP

設(shè)D點坐標(biāo)為(居2%-5),則AE=DF=6-(2x-5)=ll-2x,

"：DE+DF=EF=BC,即ll-2x+x=8,解得x=3,

可得。點坐標(biāo)(3,1)；

如圖3,當(dāng)N4PD=90。時，AP=PD,

過點P作PE1。4于E,過點D作OF1PE于F,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,巾)，同理可得：△APE三△PDF,

PF=AE=6—m,DF=PE=8,

。點坐標(biāo)為(14-m,m+8),

Am+8=2(14—m)—5,得m=5,

點坐標(biāo)(9,13);

如圖4,當(dāng)乙4。尸=90。時，4D=P。時，同理可得△4DE三△DPF,

設(shè)。(弭2n一5),則OE=PF=n,OE=2n-5,AE=DF

則DF=AE=2n-5-6=2n-ll,

U：DE+DF=EF=OC=S

?**Yt+2n—11=8,解得幾=~f2zi-5=三~

???D點坐標(biāo)（￡，y）,

圖4

綜上可知滿足條件的點。的坐標(biāo)分別為(3,1)或(9,13)或(蔡，仲).

【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)、分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

6.(2022?江蘇?八年級專題練習(xí))(1)課本習(xí)題回放：“如圖①，乙4cB=90°,AC=BC,AD1CE,BE1CE,

垂足分別為D,E,AD=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為.

(2)探索證明：如圖②，點B,C在NM4V的邊AM、AN上，力點E,F在NM力N內(nèi)部的射線AD上，

5.ABED=/.CFD=Z.BAC.求證：\ABE=\CAF.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.點。在邊BC上，CD=2BD,點、E、F在線段力D

上，4BED=MFD=ABAC.若2L4BC的面積為15,貝必4CF與ABDE的面積之和為.(直接填寫結(jié)

果，不需要寫解答過程)

【答案】⑴0.8cm；(2)見解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理證明△根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可;

(2)由條件可得/4=NABE,根據(jù)A4S可證明△ABE四△CAB；

(3)先證明△ABE名△CAR得到A4CF與ABDE的面積之和為△A3。的面積，再根據(jù)C。=280故可求解.

【詳解】解：(1)VBE1CE,ADLCE,

-ZA￡)C=90°,

：.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC=ZDCA.

ZE=乙40c

在^CEB和aADC中，｛乙EBC=ADCA

BC=AC

:,△CEB/XADC(44S),

:?BE=DC,CE=AD=2.5cm.

'：DC=CE-DE,DE=1.7cmf

，00=2.5-1.7=0.85,

BE—G.?)cm

故答案為：0.85；

(2)證明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=ZABE+Z3,Z3+Z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,ZABE=Z4fAB=AC,

：.AABE^/\CAF(A4S).

(3)?:(BED=乙CFD=^BAC

ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.NABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

又4B=AC

△ABE4△CAP,

,?S—BE=S^CAF

.?.△ACF與ABDE的面積之和等于AABE與ABDE的面積之和，即為△ABD的面積,

"：CD=2BD,△A3。與△AC。的高相同

則SMBD二三SAABC=5

故A4CF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?全國?八年級課時練習(xí))通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

(1)如圖1,ZBAD=90°,AB=AD,過點B作BC_LAC于點C,過點。作。E_LAC于點E.由21+/2

=/2+/。=90。,得Nl=ND.又NACB=NAED=90。,可以推理得到△ABC會△D4E.進(jìn)而得到AC=

BC=AE.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

(2)如圖2,ZBAD^ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接8C,DE,且8C_LAE于點憶與直線

AF交于點G.求證：點G是。E的中點；

(深入探究)

(3)如圖，已知四邊形和。EGF為正方形，△AFD的面積為S/,AOCE的面積為則有S/S2

（填“>、=、<”）

【答案】（1）DE：（2）見解析；（3）=

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；

（2）分別過點。和點E作尸G于點EQLBG于點。進(jìn)而可得/544然后可證

AABF^^DAH,則有AF=OH,進(jìn)而可得O〃=EQ,通過證明△OHGgzXEQG可求解問題；

（3）過點D作DOLAF交AF于。，過點E作EN±OD交0D延長線于N,過點C作CM±OD交0D延長

線于M,由題意易得NA￡>C=/90。，AD=DC,DF=DE,然后可得則有△AODg/VM/C,

△FOD^/\DNE,進(jìn)而可得0￡>=NE,通過證明△ENPZ△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題.

【詳解】解：(1)9：LABC=LDAE,：.AC=DE；

(2)分別過點。和點E作。G于點H,尸G于點。如圖所示:

cE

：.^LDAH+AADH=90°,

9：^BAD=90°,

：.^LBAF+^DAH=90°,

：.^BAF=乙40”，

9：BCVAF,

C.Z.BFA=乙AHD=90°,

"：AB=DA,

△ABFdDAH,

：.AF=DH,

同理可知A斤EQ,

：.DH=EQ,

V￡)H±FG,EQLFG,

:.乙DHG=Z.EQG=90°,

■:乙DGH=Z.EGQ

：./\DHG^/\EQG,

：.DG=EG,即點G是OE的中點；

(3)S1=S2,理由如下：如圖所示，過點。作。OLA廠交A尸于O,過點E作EAU。。交。。延長線于N,

過點C作CM±OD交OD延長線于M

,/四邊形A8C。與四邊形OEGF都是正方形

AZADC=Z90°,AD=DC,DF=DE

"：DO.LAF,CMLOD,

：.ZAOD=ZCMD=90°,ZOAD+ZODA=90°,ZCDM+ZDCM=90°,

又ZODA+ZCDM=90°,

：.ZADO=ZDCM,

：./\AOD^/\DMC,

??S^AOD=SHDMC，OD=MC,

同理可以證明△FOD沿ADNE,

,,SAFOD=SADNE，OD=NE,

：.MC=NE,

■:ENLOD,CMLOD,ZEPN=ZCMP,

：.AENP沿△CMP,

,S&4DF=SAAOD+SAFOD'S^DCE=S&DCM~S^CMP+^hDEN+S4ENP，

,?SADCE-S^DCM+S&DEN-SA40D+S^FOD，

??SADCE=SAADF即Si=S2■

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三

角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?北京.東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,

直線/經(jīng)過頂點C,過A、B兩點分別作/的垂線AE、BF,E、尸為垂足.

（1）當(dāng)直線/不與底邊A8相交時，

①求證：ZEAC=ZBCF.

②猜想ERAE、的數(shù)量關(guān)系并證明.

（2）將直線/繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使/與底邊48交于點不與AB點重合），請你探究直線I,EF、AE,

之間的關(guān)系.（直接寫出）

【答案】（1）①證明見解析，?EF=AE+BF；證明見解析；（2）AE=BF+EF或BF=AE+EF.

【分析】（1）①根據(jù)NAEC=NBfC=90°,利用同角的余角相等證明/以。=/月。2即可；②根據(jù)AAS

證△EAC四△/CB,推出CE=2尸，AE=b即可；

（2）類比（1）證得對應(yīng)的兩個三角形全等，求出線段之間的關(guān)系即可.

【詳解】（1）證明：①BF±EF,ZACB=90°,

：.ZAEC=ZBFC=ZACB=90°,

AZEAC+ZECA=90°,ZECA+ZFCB=90°,

NEAC=ZFCB,

②EF=AE+BF；

證明：在△￡AC和△尸CB中,

^LAEC=乙CFB

{^EAC=乙FCB,

AC=BC

AAEAC^AFCB(A4S),

:?CE=BF,AE=CF,

：.EF=CE+CF=AE+BFf

即EF=AE+BF；

(2)①當(dāng)時，如圖①，

VZACB=90°,AE_U直線，

同理可證N3CT=NC4￡(同為NAC。的余角)，

又??,AC=BC,3F_L/直線

即N8M?=NAEC=90°,

AAACE^ACBF(A45),

；?CF=AE,CE=BF,

CF=CE+EF=BF+EF,

：.AE=BF+EF；

②當(dāng)時，如圖②，

VZACB=90°,即LL/直線，

同理可證NC5F=NACE(同為N3c。的余角)，

又???AC=3C,3E_U直線，即NAEC=N3尸C=90°.

AAACE^ACBF(AAS),

；?CF=AE,BF=CE,

CE=CF+EF=AE+EF,

:?BF=AE+EF.

【點睛】本題考查了三角形綜合題，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明△ACEgZXCB尸

(AAS),利用全等三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系.

(1)如圖1,在等腰直角三角形4BC中，UCB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過4作2D1ED于點D,

過B作BE1ED于點E.求證：BE=CD；

模型應(yīng)用：

(2)已知直線k：y=2x+4與坐標(biāo)軸交于點4、B,將直線k繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)90。至直線6，如圖2,求直

線"的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖3,已知點4、B在直線y=2x+4上，且48=4位.若直線與y軸的交點為M,M為4B中點.試

判斷在x軸上是否存在一點C,使得△4BC是以4B為斜邊的等腰直角三角形.

【答案】(1)見解析；(2)y=-|x-l；(3)不存在這樣的點C

【分析】(1)證明△力CD三△CBEQ44S),即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)點B繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。到點C,過點C作CO1*軸于點。，根據(jù)(1)求出C的坐標(biāo)，將A、C的坐

標(biāo)代入解析式即可求出答案；

(3)先求出點M(0,4),得到。M=4,假設(shè)存在這樣的點C,利用反證法根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到MC=

14B=2V2<4,由此得到假設(shè)不成立進(jìn)行論證.

【詳解】(1)證明："-'ADLED,BE1ED,

:.乙D=NE=90°,

"：^ACB=90°,

：.AACD+乙BCE=180°-90°=90°,

又'."EBC+NBCE=90。，

：./LACD=乙EBC,

'z￡>=Z.E

在與ACBE中，\AACD=^EBC,

、CA=CB

△24coq△CBE^AAS),

：.CD=BE；

(2)設(shè)點8繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。到點C,過點C作CD1%軸于點D,

由(1)可知：LACD^LBAO,

：.CD=A0,AD=OB,

Vl1.y=2%+4,

當(dāng)x=0時，y=4,??,點8(0,4),

當(dāng)y=0時，2%+4=0,%=-2,???點Z(—2,0),

：.CD=A0=2,AD=0B=4,

0D=OA+AD=6,

."(一6,2),

設(shè)G的解析式為y=kx+b，把力、c兩點坐標(biāo)代入，得

二%的解析式：y=-—1；

(3)不存在.

理由：當(dāng)％=0時，y=4,

.?.點M(0,4),

：.OM=4,

假設(shè)存在這樣的點C,

：△ABC是以為斜邊的等腰直角三角形，

.?.點C在力B的垂直平分線與％軸的交點處，NACB=90°

又?：MA=MB,

：.MC=!71B=2V2<4(與“垂線段最短”矛盾)

，假設(shè)不成立，即不存在這樣的點c.

【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，

反證法，熟記全等三角形的判定定理及反證法的論證方法是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，線段AB=6,射線BGLAB,P為射線BG上一點，以AP為邊做正

方形APC。，且點C、。與點8在AP兩側(cè)，在線段。尸上取一點E,使得直線CE與線段

相交于點尸（點尸與點A、8不重合），

（1）求證：4AEP義LCEP；

（2）判斷C尸與A8的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）AAE尸的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）CFLAB,理由見解析；（3）是，為16.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到。P平分NAPC,PC=PA,求得/APD=NCPD=45°,根據(jù)全等三角形

的判定定理得到△AEP四（SAS）；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NE4P=/ECP,求得根據(jù)垂直的定義得到CfUAB；

（3）過點C作CNLPB.根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCPN=NPCP=NEAP=NR1B,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

至"CN=PB=BF,PN=AB,推出AE=CE,于是得到△的周長.

【詳解】解：（1）證明：??,四邊形APCD正方形，

.?.￡）尸平分NAPC,PC=PA,ZAPC=90°,

ZAPE=ZCPE=45°,

在△4￡尸與八CEP中，

-AP=CP

/.APE=4CPE,

.PE=PE

.?.△AEP絲LCEP（SAS）；

(2)CF±AB,理由如下:

AAEP^ACEP,

NEAP=NECP,

???ZEAP=ZBAP,

：.ZBAP=ZFCP,

ZAPC=90°,

???ZFCP+ZCMP=90°,

???ZAMF=ZCMPf

：.ZAMF+ZB4B=90°,

ZAFM=90°,

：.CF±AB；

(3)過點。作CN_LPB.

VCF±AB,BGLAB,

:?/PNC=/B=9U。,FC//BN,

：.ZCPN=ZPCF=ZEAP=ZPABf

又AP=CP,

:?△PCNQ^APB(A4S),

:?CN=PB=BF,PN=AB,

:AAEP^ACEP,

：.AE=CE,

：.AAEF的周長=AE+EF+A尸

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB-^-BF+AF

=2AB

=16.

故△A所的周長是否為定值，為16.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，其中(3)中證明APCN絲△APB(A4S)

是本題的關(guān)鍵.

11.(2022?全國?八年級課時練習(xí))如圖，在AABC中，A8=AC=2,/8=40。，點O在線段8c上運動(D

不與8,C重合)，連接A。，作/4。￡=40。，交線段AC于E.

(1)當(dāng)/2?！?115。時，/BAD=。，點。從3向C運動時，NBA。逐漸變(填“大”或

“小”)；

(2)當(dāng)。C等于多少時，4ABD咨ADCE,請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，AAOE的形狀也在改變，判斷當(dāng)NBA。等于多少時，是等腰三角形.

【答案】(1)65°,大；(2)DC=2；(3)30?；?0。.

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和計算即可求出NBA。，由點的運動方式即可得出/血。逐漸變大;

(2)先求出N4DB=NDEC,再由NB=NC,AB=DC=2,即可得出△力BDDCE(ASA)；

(3)分兩種情況AD=DE或4E=DE討論即可.

【詳解】解：(1)???Z.BDE=115°,ZADE=40°,

???/.BDA=乙BDE-/.ADE=115°-40°=75°,

???/.BAD=180°-ZB-乙BDA=180°-75°-40°=65°,

當(dāng)點。從2向C運動時，NBA。逐漸變大.

故答案為：65°,大；

(2)當(dāng)DC=2時，AABD絲ADCE,

理由如下：

*：AB=AC=2fZB=40°

???Z.C—Z-B=40°,

???乙ADE=40°,

又??.乙B+乙BAD=AADC=^ADE+乙EDC,

???乙BAD=乙EDC,

在△48。和△DCE中，

\LBAD=乙EDC

AB=DC,

、Z-B—Z-C

?e?△ABD=△DCE(ASA)；

(3)當(dāng)444。得度數(shù)為30?；?0。時，△4DE是等腰三角形.

理由如下：

?:乙C=(B=40°,

：.￡.BAC=180°-(ZC+(B)=100°,

???/.ADE=ZC=40°,Z.AED>zC,

??.△ZDE為等腰三角形時，只能是/O=DE^AE=DE,

當(dāng)4。=DE時，￡.DAE=/.DEA=|(180°-40°)=70°,

ABAD=ABAC-^DAC=100°-70°=30°,

當(dāng)E4=E。時，/.ADE=Z.DAE=40°,

???^AED=180°-40°-40°=100°,

???/BAD=ABAC-^DAC=100°-40°=60°,

綜上所述，當(dāng)/BAO得度數(shù)為30。或60。時，AADE是等腰三角形.

【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，

此題涉及到的知識點較多，綜合性較強.

12.(2022?重慶江北?八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知力(a,0)、B(0,6)分別在坐標(biāo)軸的正半

軸上.

(1)如圖1,若a、b滿足(a-4)2+后忑=0,以8為直角頂點，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角

AABC,則點C的坐標(biāo)是()；

(2)如圖2,若a=b,點。是。力的延長線上一點，以。為直角頂點，BD為直角邊在第一象限作等腰直角

ABDE,連接求證：N2BD=Z71ED；

(3)如圖3,設(shè)4B=c,N4B。的平分線過點。(2,-2),直接寫出a—6+c的值.

【答案】(1)點C的坐標(biāo)是(3,7)；(2)見解析；(3)a-b+c=4

【分析】(1)根據(jù)偶次幕的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性得出a,6的值，過點C作CD_Ly軸于點D,然后

證明ACMB三ADBC,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)過點E作EMlx軸于點根據(jù)題意證明△OBO三△MDEQL4S),在AABN和ADNE中，根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理可得結(jié)論；

(3)作。0Ly軸于H,軸于"OK_LBA交BA的延長線于K,先證明△FBD三△KBDQ44S)可得

BK=BF=b+2,然后證明烏汝△D4K可得BK=c+a-2,進(jìn)一步可得結(jié)果.

2

【詳解】解：⑴V(a-4)+VF^3=0，

??a=4,b--3,

AOA=4,OB=3,

???△為等腰直角三角形，

：.BA=BC,/.ABC=90°,

:?乙CBD+乙ABO=90°,

u：Z.ABO+/-BAO=90°,

"CBD=乙BAO,

在△84。和△CBQ中，

(乙CBD=/.BAO

)乙CDB=乙BOA，

IBC=AB

：.△BAO=ACBD(AAS),

：.OA=DB=4,CD=BO=3,

：.OD=OB+BD=3+4=7,

?,?點。的坐標(biāo)是