重要公式

代數(shù)部分

一.數(shù)與式

1.-\l~a~=|a|2.(Vtz)2=CL{CL>0)3.V?=a

4.a-p=—(a^0,p為正整數(shù))，特殊地，aT=L(awO)

apa

5.a°=l(aw0)6.(-1)"=—1(〃為奇數(shù))

2.分母有理化

3.非負數(shù)的算術(shù)平方根

例：聲的算術(shù)平方根是百

4.（1）①分式有意義，分母不為0,例如：要使空口有意義，則xw±l；

%--1

②假如分子分母中有開平方，則分子根號下的式子必需20,分母根號下

的式子必需>0,

例如：要使對有意義，則3X+12H解得x>2

2x-4>0

（2）要使分式值為0,必需保證分子為0的同時分母不為0.

例如：廠—2.x—3的值為0,貝IJ必須使丁―2x-3=0同時x+lwO,解得x=3

x+1

二.一元二次方程

1.一■元二次方程ax?+bx+c{a*0）求根公式：

2.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）：

若一元二次方程以2

+Z?x+c（〃w0）的兩根分別為0X2,則

3.△的作用

△一元二次方程二次函數(shù)

>0有兩個不同的實數(shù)與X軸有兩個不同的交

根點

=0有兩個相等的實數(shù)與X軸只有一個不同的

根交占八、、

<0無實數(shù)根X軸無交點

三.函數(shù)

1.一次函數(shù)的圖像和性質(zhì):

名稱K、b的符號圖像經(jīng)過象限增減性

3

b>0卜

、--、-二

7

隨x的增

yy

k>0b<0

一、三、四大而增大

一次函數(shù)b>04

v-

y=kx+b(k一、二、四

W0,bW0)y隨x的增

y

k<0b<0T

大而減小

_______)x

二、三、四

y隨x的增

k>0

正比例函大而增大

k

反比例函y=—（左。0）

X

數(shù)

k的符號k>0k<0

4Ly

J

圖像

|_LX________V

°L

①X的取值范圍是XH0,①X的取值范圍是XH0,

性質(zhì)

y的取值范圍是ywO；y的取值范圍是yw0；

②當k>0時，函數(shù)圖象的兩個②當k〈0時，函數(shù)圖象的兩個分支

分支分別在第一、三象限。在分別在其次、四象限。在每個象限

每個象限內(nèi)，y隨x的增大而內(nèi)，y隨x的增大而增大.

減小.

①>=，k/0）的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為y=-x（左>0）或

y=X（kV0）

對稱性②y=A（左WO）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0,0）;

③y=K和y=—K（AW。）在同一坐標系中的圖象關(guān)于X軸對稱，也關(guān)

于y軸對稱.

（2）反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

①過雙曲線y=A（?WO）上隨意一點作x軸、y軸的垂線段，所得矩形（如

X

圖）面積為1.

②過雙曲線>=幺（4W0）上隨意一點作任一坐標軸的垂線段，連接該點和

X

原點，所得三角形（如圖）的面積為，.

③雙曲線y=K（后為）同一支上隨意兩點K、P,與原點組成的三角形（如

X

圖）的面積=直角梯形PF2。?。］的面積.

（3）正比例函數(shù)假如與反比例函數(shù)相交，交點坐標關(guān)于原點對稱.（即：

若正比例函數(shù)y=Kx與反比例函數(shù)y=^相交于A（xj%）,B（x2,y2）

兩點，則點A與點B關(guān)于原點對稱.

3.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

⑴頂點式丁=。。-丸）2+4（"0）的圖像和性質(zhì)

a的符號圖像特征函數(shù)性質(zhì)

y?>0開口向上，圖像有最低點（頂當x=h時，函數(shù)有最小

點），頂點（h,k）；值k.

對稱軸是.x=h；

是軸對稱圖形；

在對稱軸的左邊，圖像從左至當x<h時，y隨x增大

右呈下降趨勢；而減??；

在對稱軸的右邊，圖像從左至當x>h時，y隨x增大

右呈上升趨勢；而增大；

va<0開口向下，圖像有最高點（頂當x=h時，函數(shù)有最大

點），頂點（h,k）；值k.

是軸對稱圖形；對稱軸是

在對稱軸的左邊，圖像從左至當x<h時，y隨x增大

右呈上升趨勢；而增大；

在對稱軸的右邊，圖像從左至當x>h時，y隨x增大

右呈下降趨勢；而減小.

可知拋物線y=a（x-療+左（awO）【/2>0,左>0］可由y=/向右平移力個單

位，再向上平移左個單位得到.平移規(guī)律：左加右減，上加下減.

（2）一般式嚴/+以+式口^^的圖像和性質(zhì)

a的符號圖像特征函數(shù)性質(zhì)

當*=-匕時，函數(shù)有最

a>0開口向上，圖像有最低

y、2a

點（頂點），頂點r/士4acb2

小值一:——.

4a

」,慢也）；

2a4a

是軸對稱圖形；對稱軸是直線x=-2；

2a

在對稱軸的左邊，圖像當x<-匕時，y隨x增

2a

從左至右呈下降趨勢；大而減??；

在對稱軸的右邊，圖像當x>-3■時，y隨x增

2a

從左至右呈上升趨勢；大而增大；.

當*=-匕時，函數(shù)有最

a<0開口向下，圖像有最高

y,2a

\、

、\x

/°\

b

2a

點（頂點），頂點大值金丫.

4a

（上,金丫）;

2a4a

b

是軸對稱圖形；對稱軸是直線X~~2a；

在對稱軸的左邊，圖像當x<-上■時，y隨x增

2a

從左至右呈上升趨勢；大而增大；.

在對稱軸的右邊，圖像當x>-上■時，y隨x增

2a

從左至右呈下降趨勢.大而減小.

二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系

（1）二次項系數(shù)a

①當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小,

開口越大；

②當a<0時，拋物線開口向下，。的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大,

開口越大.

即1a|越大，拋物線開口越?。?a|越小，拋物線開口越大.

【注：拋物線形態(tài)相同，指的是⑶相同】

（2）一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)°確定的前提下，b確定了拋物線的對稱軸.（左同右異b

為0對稱軸為y軸）

留意：當對稱軸在y軸左側(cè)時，a與b同號（即ab>0）；當對稱軸在y

軸右側(cè)時，a與b異號（即ab<0）.

（3）常數(shù)項c

①當c>0時，拋物線與y軸的交點在無軸上方，即拋物線與y軸交點的縱

坐標為正；

②當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱

坐標為0;

③當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱

坐標為負.

總結(jié)起來，c確定了拋物線與y軸交點的位置.

四.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

一元二次方程ax2+bx+c=O是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當函數(shù)值y=0時的特殊

狀況.

當時，圖象與x軸沒有交點.

①當a>0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y>0；

②當a<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y<0.

函數(shù)的平移(平移對一次函數(shù)來說不變更一次項系數(shù)k,對二次函數(shù)來說

不變更二次項系數(shù)a)

1.圖像的平移和圖像上點的平移(一樣)：左減右加，上加下減.

2.解析式的平移：左加右減，上加下減.

①一般式的平移：如將二次函數(shù)丁=。必+以+。向右平移m(m>0)個單位，

再向下平移n(n>0)個單位，得到

②頂點式的平移：如將二次函數(shù)y=a(x-02+左向右平移m(m>0)個單位，

再向下平移n(n>0)個單位，得至Uy=a(x-/z-加丁+左-〃

五.二次函數(shù)圖像的三大變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn))

拋物線解析式常見的三種形式

名稱解析式運用范圍

一般y=ax2+bx+c(aWO)已知隨意三點

式

頂點y=u^x—/z)2+k(aWO)已知頂點(h,k)與另一點

式

交點y=a(x—玉)(九一九2)(aW已知與x軸的兩個交點(q0)、(x2,0)

式0)與另一個點

2.二次函數(shù)拋物線簡潔的圖形變換

(1)頂點式[y^a(x-h)2+k(aWO)]

名稱a頂點(h,k)

平移a(h,k)

左加右減上加下

減

對關(guān)于X軸對稱-a(h,-k)

稱關(guān)于y軸對稱a(-h,k)

關(guān)于原點對稱-a(-h,-k)

旋轉(zhuǎn)(繞頂點旋轉(zhuǎn)-a(h,k)

180°)

(2)一般式［y—a.x~+bx+c(a-7-0)】

①平移：如將二次函數(shù)丁=以2+法+。向右平移m(m>0)個單位，再向下平

移n(n>0)個單位，得到

②對稱

名稱a、b、c的變更

關(guān)于X軸對稱a一一a;b——b;c——c

關(guān)于y軸對稱a—不變；b--b；c-不

變

關(guān)于原點對稱a-—a；b一不變；c-—c

注：無論是平移、軸對稱還是旋轉(zhuǎn)，最好先把二次函數(shù)化成頂點式，然后

再依據(jù)須要進行求解.

五.兩點間距離公式

A（和力）,B（%、為）是平面直角坐標系中的兩點，那么A、B兩點的距離

為：

IABI=——）2+（%-%）2

六.兩點關(guān)于一條直線對稱：即這兩點的連線被該直線垂直平分.

已知點A和A'關(guān)于直線/對稱，則AA'被直線/垂直平分.

七.已知直線111yl=k]X+4（左1工0）和直線l2：y2=k2x+b2Ck2豐0）,

若/」2，則左￡=-1

八.三點共線，且中間的點是中點，則中間點的橫坐標

=兩個端點橫坐標相加,中間點的縱坐標=兩個端點縱坐標相加【圖形旋轉(zhuǎn)

22,

180°后求點的坐標常用到】

若A（和％）,B（x2,y2）,M（m,〃）共線，且M為線段AB的終點，則有

十.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

平均數(shù)

(1)算術(shù)平均數(shù)：一般地，對于n個數(shù)天,乙,馬…%，那么

__%+/+%+???+1〃

n

(2)加權(quán)平均數(shù)：x=-(xf+xf+...+xf),其中九%…，人分別表示

nl120kk

Xi，%,出現(xiàn)的次數(shù)，fx+f2+...+fk.

中位數(shù)：將n個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的依次排列，假如n是奇

數(shù)，則中間位置的數(shù)是中位數(shù)；假如n是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)的平均數(shù)是

中位數(shù).

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，可能不唯一.(也就是眾數(shù)可能不

止一個)

十一.方差和標準差

方差:S2=—[(%1-%)2+(x,-%)2+...+(%?-x)2][其中，與是樣本數(shù)據(jù)，〃是

n

樣本容量，元是樣本平均數(shù)】

標準差(S)：是方差的算術(shù)平方根

無論是方差還是標準差,都可以反映數(shù)據(jù)的波動性，S2(或S)越大，數(shù)據(jù)越

不穩(wěn)定；S?(或S)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

十二.一元一次不等式組解集的表示方法

十三.列表法或畫樹狀圖求隨機事務(wù)的概率

1.利用樹狀圖法求隨機事務(wù)發(fā)生的概率，需備具兩個條件：

(1)兩步或兩步以上試驗的事務(wù)發(fā)生的概率，且各種狀況出現(xiàn)的總次數(shù)

不是很大；

(2)一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

2.利用列表法求隨機事務(wù)發(fā)生的概率

(1)涉與兩步試驗的隨機事務(wù)發(fā)生的概率，且各種狀況出現(xiàn)的總次數(shù)不

是很大；

(2)一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

列表法留意事項

不放回試驗：所列表格對角線上多數(shù)據(jù)；

放回試驗：所列表格對角線上有數(shù)據(jù).

注：列表或畫圖時，要留意不能遺漏任何一種等可能的結(jié)果，也不能重復(fù)

列舉.

嬉戲公允是否公允：看嬉戲雙方獲勝的機會是否相等.

3.用頻率估計概率：當試驗次數(shù)足夠大時,頻率將穩(wěn)定在一個常數(shù)旁邊，

此時可以用這個穩(wěn)定的數(shù)值估計事務(wù)發(fā)生的概率.

幾何部分

一.三角形

1.三角形的面積公式：

①S=工a/7(a是三角形的底，h是底所對應(yīng)的高)

2

②S=Lacsin5=L》csinA=La)sinC(其中，三個角為NA,NB,NC,對邊

222

分別為a,b,c)

@S=hl(/為高所在邊的中位線)

⑤S=[p(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式)【其中，三個角為NA,ZB,/

C,對邊分別為a,b,c,p=a*']

⑥5=半(其中，R是外接圓半徑)

4R

注：邊長為a的等邊三角形的面積S=@a2

4

2.三角形的四心：

(1)重心：三角形三條中線的交點叫做三角形重心.

性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為

2：1

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

⑵外心

三角形三邊的垂直平分線的交點，稱為三角形外心.

過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心即三角形外心，

外心到三頂點距離相等.這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形

有且只有一個外接圓.

⑶內(nèi)心

三角形內(nèi)心為三角形三條內(nèi)角平分線的交點.

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心即是三角形

內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊距離相等.這個三角形叫做圓的外切三角形.三角

形有且只有一個內(nèi)切圓.

(4)垂心

三角形三邊上的三條高或其延長線交于一點，稱為三角形垂心.

銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三

角形的垂心在三角形外.三角形只有一個垂心.

(5)直角三角形

性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.若NBAC=90°,則

AB2+AC2=BC2（勾股定理）

性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個銳角互余.若NBAC=90°,則NB+NC=90°

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形

的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=￡）.

2

性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.（等積

法）

性質(zhì)5:如圖，Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊BC上的高，則有射影

定理如下：

（1）AD2=BD?DC；（2）AB2=BD?BC；（3）AC2=CD?BC

性質(zhì)6:在直角三角形中，假如有一個銳角等于30°,那么它所對的直角

邊等于斜邊的一半.

在直角三角形中，假如有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所

對的銳角等于30°.

（5）三角形全等證明方法：

一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS；Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL

（6）三角形相像

相像三角形的判定方法：

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延長

線）相交的直線,所截得的三角形與原三角形相像.

①兩角對應(yīng)相等；（AA）①一個銳角對應(yīng)相等；

②兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相②兩條邊對應(yīng)成比例：

等；（SAS）a.兩直角邊對應(yīng)成比例；

③三邊對應(yīng)成比例.（SSS）b.斜邊和始終角邊對應(yīng)成比

例.（HL）

黃金分割：如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,假如處=變，那

ABAC

么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的

比叫做黃金比.AC:A3=苴二1°0.618:1

2

相像三角形的性質(zhì)

①相像三角形的對應(yīng)角相等；

②相像三角形的對應(yīng)邊成比例；

③相像三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于

相像比；

④相像三角形的周長比等于相像比；

⑤相像三角形的面積比等于相像比的平方.

※全等三角形是相像三角的特例,這時相像比等于L【留意:證兩個相像

三角形,與證兩個全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的

位置上.】

基本類型

（7）比例的基本性質(zhì)

比例的基本性質(zhì)是烏=§oad=/（〃、b、c、d都不為零）.

bd

將其進行變形，可以得到如下比例式：

合比性質(zhì)：假如色=￡,那么*=士；

bdbd

等比性質(zhì)：假如

acem?八、a+c+e+...+ma

—=—=—=—(z7b+d7+/+...+〃wO),那xr7么z-------------二一

bdfnb+d+f+...+nb

【假如4=￡=§=...‘S.d-/....-〃wO),那么…-加=3]

bdfnb-d-f-...-nb

（8）平行線分線段成比例

基本領(lǐng)實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

如圖：雖然圖（1）和圖（2）是兩種形式，但是結(jié)論是相同的.

用數(shù)學(xué)表達式表示為：

ABDE上上、ABDE/、［生上上、BCEF/

-=—（m^：-=-）；/=而（間記為：全=至）；*=而（間

記為：!=!）；”=處=必（簡記為：

全全DEEFDF右上右下右全

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例.

（9）位似圖形

①定義:兩個多邊形碰H闋，而且|對應(yīng)頂點的連線相交于一聞,并且

對應(yīng)邊相互平行|,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中

■，這時的相像比又稱為位似比.

②性質(zhì)

a.位似圖形的隨意一對對應(yīng)點與位似中心在同始終線上，它們到位似中心

的距離之比等于相像比；

b.位似圖形對應(yīng)線段的比等于相像比；

c.位似圖形的對應(yīng)角都相等；

d.位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心;

e.位似圖形面積的比等于相像比的平方;

f.位似圖形高、周長的比都等于相像比；

g.位似圖形對應(yīng)邊相互平行或在同始終線上.

③給出一個圖形和位似中心，在位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖

形，最好做兩個.

例如：如何把三角形ABC放大為原來的2倍？

二.三角函數(shù)

1.正弦值(sin)=^余弦值(cos)=梨正切值(tan)=騏

斜邊斜邊鄰邊

【坡度或坡比即坡角的正切值】

2.特殊角的三角函數(shù)值表

名稱0°30°45°60°90°

j_

V2

2叵

sina0~T~T1

V3

cosa1~T