專題15三角形及其性質(zhì)（14個高頻考點）（舉一反三）

【考點1三角形的三邊關(guān)系】...................................................................1

【考點2三角形的角平分線、中線、高］........................................................4

【考點3三角形的內(nèi)角和定理】.................................................................7

【考點4三角形的外角性質(zhì)】..................................................................14

【考點5等腰三角形的判定與性質(zhì)】...........................................................23

【考點6等邊三角形的判定與性質(zhì)】...........................................................34

【考點7含30度角的直角三角形的性質(zhì)】......................................................44

【考點8角平分線的判定與性質(zhì)】.............................................................51

【考點9垂直平分線的判定與性質(zhì)】...........................................................61

【考點10勾股定理】..........................................................................68

【考點11勾股定理的逆定理】..................................................................76

【考點12勾股定理的應(yīng)用】....................................................................82

【考點13直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)】.......................................................87

【考點14三角形中位線的定理】...............................................................94

亨-/二

【要點1三角形的三邊關(guān)系】

三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段

長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

【考點1三角形的三邊關(guān)系】

【例1】（2022?河北?統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五

邊形（如圖），則d可能是（）

A.1B.2C.7D.8

【答案】c

【分析】如圖（見解析），設(shè)這個凸五邊形為力BCDE,連接4C,CE,并設(shè)4C=a,CE=b,先在AABC和ACDE

中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<a<6,0<b<2,從而可得4<a+b<8,2<a-b<6,再在

△力CE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a-b<d<a+b,從而可得2<d<8,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個凸五邊形為力BCDE,連接4C,CE,并設(shè)力C=a,CE=b,

在44BC中，5—l<a<l+5,即4<a<6,

在ACDE中，1一l<b<l+l,即0<6<2,

所以4<a+b<8,2<a—b<6,

在AaCE中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個選項可知，只有選項C符合，

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過作輔助線，構(gòu)造三個三角形是解題關(guān)鍵.

【變式1-1］（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】A.E3+3=6,

團(tuán)長度為3,3,6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

B.EI3+5<10,

團(tuán)長度為3,5,10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

C.04+6>9,6-4<9,

回長度為4,6,9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；

D.04+5=9,

團(tuán)長度為4,5,9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意;

故選：c.

【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊

是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2022?四川德陽，統(tǒng)考中考真題）八一中學(xué)校九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距

離分別是5km和3km.那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可熊是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

【答案】A

【分析】利用構(gòu)成三角形的條件即可進(jìn)行解答.

【詳解】以楊沖家、李銳家以及學(xué)校這三點來構(gòu)造三角形，設(shè)楊沖家與李銳家的直線距離為。，

則根據(jù)題意有：5-3<a<5+3,即2<a<8,

當(dāng)楊沖家、李銳家以及學(xué)校這三點共線時，a=5+3=8或者a=5—3=2,

綜上a的取值范圍為：2WaW8,

據(jù)此可知楊沖家、李銳家的距離不可能是1km,

故選：A.

【點睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件的知識，構(gòu)成三角的條件：三角形中任意的兩邊之和大于第三邊，

任意的兩邊之差小于第三邊.

【變式1-3]（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如果方程（久-1）（——2x+：）=0的三根可以作為一個三角形的三

邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是—.

【答案】3<fc<4

【分析】首先根據(jù)題意得出方程的一個根為1，然后設(shè)另一個一元二次方程的兩個根為根和"，再根據(jù)根的

判別式、完全平方公式、三角形三邊的關(guān)系m-n<l<m+n即可求得k的取值范圍.

【詳解】解：由題意得：久一1=0,X2-2X+^=0

4

以1=1

設(shè)/—2%+[=0的兩根分別是zu、則m+n=2,mn=^；

團(tuán)771—72=J（TH+TI）2—4772幾=，4一女;

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：m—n<l<m+n,即，4—kvl<2；

,（V4=fc<l,解得3<k44.

（4-/c>0

故答案為3</c44.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、三角形的三邊關(guān)

系等知識點，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵.

【考點2三角形的角平分線、中線、高】

【例2】（2022,浙江?模擬預(yù)測）如圖，在中，0BAC=9O°,是高，BE是中線，CF是角平分線，CF

交于點G,交BE于點、H,下面說法正確的是（）

①EIABE的面積=勖。￡的面積；@0AFG=EIAGF；③aR4G=20ACB@BH=CH.

D.①③

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式即可得判斷①；先根據(jù)角平分線的定義可得

0ACF=0DCG,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等量代換可得HAFGWCG。，再根據(jù)對頂角相等可得國CGZ>=0AGR

由此即可判斷②；③先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到即AG+20AFC=18O。、等量代換可得I3E4G=2EIACH即可

判斷③；④根據(jù)等腰三角形的判定即可得.

【詳解】解:EI3E是EIABC中AC邊上的中線，

^\AE=CEf

國SMBE=S^BCE，故①正確；

團(tuán)團(tuán)A4O90。，A0是3C邊上的高,

團(tuán)團(tuán)GDC二團(tuán)月4c=90°,

團(tuán)朋尸。+朋。氏90°二團(tuán)0GC+團(tuán)0CG,

團(tuán)平分回AC3,

回她。尸二團(tuán)OCG,

^\AFG=BDGC,

又回團(tuán)OGCSAGR

00AGF=[?L4FG,故②正確；

團(tuán)團(tuán)E4G+她/G+IMGF=180°,

回團(tuán)項G+2朋尸。=180°,

EE磯G+2aAFC=2(0AFC+0ACF)，

0EMG=2EIACF,故③正確；

根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明M/BC=回”CB,即無法證明H8=HC,故④錯誤；

故選B.

【點睛】本題考查了三角形的中線、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識點,

熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2-1]（2022?浙江杭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，CZMAB于點。，已知EL48c是鈍角，貝U（）

A.線段C￡＞是AA8C的AC邊上的高線B.線段CD是AABC的AB邊上的高線

C.線段4D是AABC的8C邊上的高線D.線段是aABC的AC邊上的高線

【答案】B

【分析】根據(jù)高線的定義注意判斷即可.

【詳解】0線段C。是AABC的A8邊上的高線，

國A錯誤，不符合題意；

團(tuán)線段CD是AABC的邊上的高線，

EIB正確，符合題意；

0線段A￡＞是AAC。的CD邊上的高線，

13c錯誤，不符合題意；

回線段AD是△ACD的CD邊上的高線，

回D錯誤，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查了三角形高線的理解，熟練掌握三角形高線的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A/IBC中，E是中線AD的中點.若△4EC的面積是1,

則△4BD的面積是

A

【分析】根據(jù)AACE的面積=ADCE的面積，AaBD的面積=AACD的面積計算出各部分三角形的面積.

【詳解】解：???4。是BC邊上的中線，E為4。的中點，

根據(jù)等底同高可知，AACE的面積=ADCE的面積=1,

△4BD的面積=△4CD的面積=2A4EC的面積=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行計算.

【變式2-3]（2022,湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為0ABe的重心，D,E,尸分別為8C,CA,AB

的中點，具有性質(zhì)：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知財尸G的面積為3,則E1ABC的面積為.

A

【答案】18

【分析】根據(jù)線段比及三角形中線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：0CG：GF=2：1,0AFG的面積為3,

EEACG的面積為6,

EBACF的面積為3+6=9,

回點廠為48的中點，

aa4cB的面積=EIBCP的面積，

0EL4BC的面積為9+9=18,

故答案為：18.

【點睛】題目主要考查線段比及線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【要點2三角形的內(nèi)角和定理】

三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且

小于180°.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

【考點3三角形的內(nèi)角和定理】

【例3】（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在E1ABC中，0ABe=40。，EIACB=90o,AE平分交BC

于點E.尸是邊BC上的動點（不與B,C重合），連結(jié)AP,將0APC沿AP翻折得回AP。，連結(jié)DC,記aBCD=a.

備用圖

（1）如圖，當(dāng)尸與E重合時，求a的度數(shù).

（2）當(dāng)P與E不重合時，^BAD=/3,探究a與夕的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴25°

（2）①當(dāng)點尸在線段2E上時，2a一6=50。；②當(dāng)點尸在線段CE上時，2a+P=50。

【分析】（1）由08=40。，EL4CB=90°,得EIBAC=50。，根據(jù)AE平分EIBAC,P與E重合，可得EL4CD,從而

a=EIACB-EACr）；

（2）分兩種情況：①當(dāng)點P在線段2E上時，可得aWCMEACDugO。-。，根據(jù)a4。。+回54。=魴+勖8,

即可得2a-夕=50。；②當(dāng)點P在線段CE上時，延長交5C于點F,由&4￡^=&4?！?gt;=90。-0（,&4￡>。=她/。

+a=0A2C+EI2A￡）+a可得90°-a=40°+a+夕，即2a+6=50。.

【詳解】（1）解：038=40°,0ACB=90°,

0EBAC=50°,

國產(chǎn)與￡■重合，AE平分EIBAC,

回。在4B邊上，A￡0C￡）,

0EACD=65°,

0ct=0ACB-0ACD=25°；

（2）①如圖1,當(dāng)點尸在線段BE上時,

A

圖1

EEA￡>C=0ACO=9O°-a,EIA￡)C+SBAD=0B+0BCD,

[390°—a+￡=40°+a,

EI2a-￡=50°；

②如圖2,當(dāng)點尸在線段CE上時,

圖2

延長AD交2C于點R

00ADC=0ACD=90°—a,0ADC=EAFC+a=0ABC+SBAD+a=40°+a+/,

EI90°—a=40°+a+P，

02a+^=5O°.

【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和的應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì).

【變式3-1](2022?湖北黃石,統(tǒng)考中考真題)如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=

ADAE=90°,且點。在線段BC上，連CE.

⑴求證：AABD

(2)若NEAC=60°,求NCED的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)30°

【分析】（1）證出回54。=13cAE,由SAS證明ElABQaSACE即可；

（2）先由全等三角形的性質(zhì)得到乙4CE=乙43￡）,再由△力BC和AADE都是等腰直角三角形，得到N4CE=

乙48。=45。且N4ED=45。，利用三角形內(nèi)角和定理求出EAEC的度數(shù)，即可求出回CEO的度數(shù).

【詳解】（1）證明：I3NB4C=々ME=90。，

0Z5AC-/-DAC=/.DAE-/.DAC,即=/.CAE.

在△力BD與AZCE中，

'AB=AC

/.BAD=LCAE,

.AD=AE

^ABD^ACE（SAS）；

（2）解：由（1）△ABDACE^ACE=/.ABD,

又回△28。和4ADE都是等腰直角三角形，

^ACE=4ABD=45°且N4ED=45°,

在44CE中EINEAC=60°且44CE=45°

0ZXFC=180°-60°-45°=75°,

0ZCFD=^AEC-^AED=75°-45°=30°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三

角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022,浙江麗水?校聯(lián)考三模）如圖，AABC中，4D平分ABAC交BC于點D,在射線2B上截取

AE=AC,過點E作EFIIBC交直線4。于點F.

⑴試判斷四邊形CDEF是何種特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)乙480=20。時，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時NB4C的度數(shù)；如果不能,

試說明理由；

⑶題目改為"4D平分NB4C的外角交直線BC于點D,在射線力B的反向延長線上截取4E=4C”,設(shè)乙48C=

%.其他條件不變，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時N84C的度數(shù)（用關(guān)于x的關(guān)系式表示）；

如果不能，試說明理由.

【答案】⑴菱形，理由見解析；

(2)能，A.BAC=50°；

(3)能,ABAC=90°-2x或NBAC=270°-2x

【分析】(1)利用菱形的判定定理：四條邊相等的四邊形是菱形，證明即可；

(2)求出乙4EF=20°,禾I」用三角形外角性質(zhì)得到乙4EF+^EAF=4EFD=45°,進(jìn)一步求出NE”=25°,

再利用4。平分NB4C,得NB4C=50°；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)N4BC<90。時，當(dāng)乙4BC>90。時，表示出乙4CB,利用三角形內(nèi)角和定理求解即

可.

(1)

解:四邊形CDEF是菱形，

理由如下：

EL4D平分NB4C,

0Z1=Z2,

^AAEF^AACF,

Z1=Z2

AE=AC

.AF=AF

ISAAEF=AACF(SAS)

團(tuán)EF=FC,

同理可得：△ZE。三△ZCO(SZS),

BED=CD,Z.ADE=Z.ADC,

^EF||BD,

^/.EFD=Z.FDC,

團(tuán)匕ADE=￡EFD,

國EF=ED,

團(tuán)EF=FC=ED=DC,

回四邊形CDEF是菱形.

A

BDC

(2)

解：能，理由如下：

回CDEF是正方形，

配EDC=Z.DEF=90°,

BZ.ABC=20°,

S^AEF=20°,

SD尸是正方形對角線，

SZ.EFD=45°,

回乙4EF+X.EAF=乙EFD=45°,

^EAF=25°,

EL4D平分NB4C,

SZ.BAC=50°.

(3)

解：能，理由如下：

當(dāng)乙4BC<90。時，如圖：

回四邊形CDEF是正方形，

0ZFCD=乙CDE=90°,

EL4Q平分NB4C的夕卜角，

國乙CAD=Z.EAD,

在△4C0和△4E0中，

AD=AD

AC=AE

Z-CAD=Z.EAD

回△4CD三△4ED(S4S),

^\Z-ACD=Z-AED,

^1Z.ABC=x,

^ACD=Z.AED=90°-%,

^FCA=90°-(90°-%)=x,

^BCA=90°+x

△B/C中，ABAC=180°-Z.B-ABCA

=180°-x-(90°+%)

=90°-2x；

當(dāng)乙4BC>90。時，如圖：

團(tuán)四邊形CDEF是正方形，

國EF||CD,乙FCD=乙CDE=90°,

團(tuán)乙FEB=乙EBD,

團(tuán)匕ABC=x,

團(tuán)乙FEB=乙EBD=180°-%,

囿4。平分NB4C的夕卜角，

0ZCXF=Z.EAF,

在和A4EF中，

,AF=AF

AC=AE

.^CAF=^EAF

^ACF三△AEF(SAS),

0ZXCF=/.AEF,§PZXCF=/.AEF=乙FEB=180°-%,

0ZBCX=90°-(180°—K)=X—90°,

△BAC中，ZBXC=180°-ZS-^BCA

=180°-%-(%-90°)

=270°-2x.

綜上所述：/-BAC=90°-2x或NB4C=270°-2x.

EF

【點睛】本題考查菱形的判定定理，正方形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上定理及性質(zhì)，（3）注意需要分情況討論，畫出圖形，結(jié)合圖形分析.

【變式3-3]（2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模）一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角.

圖1圖2

（1）若N1=30°,02是回1的倍余角，則回2的度數(shù)為；若Nl=a,02是的倍余角，則回2的度數(shù)為

（用a的代數(shù)式表示）

（2）如圖1,在0ABC中，AC>BC,在AC上截取CD=C8,在AB上截取4E=力。.求證：SABC^SEDB

的倍余角；

⑶如圖2,在（2）的情況下，作BFIIDE交AC于點凡將勖“沿斯折疊得到ABFC，，BC，交AC于點P,

若乙48c=90°,設(shè)NC8F=a,求EICPB的度數(shù).

【答案】⑴120°；180°-2a

⑵證明見解析

（3）90°

【分析】（1）由倍余角的定義可求解即可;

（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求0ADE+回BDC=180。一上，由三角形內(nèi)角和定理可求0ABe=2（90。-回即8）,

可得結(jié)論;

（3）由倍余角的定義可求回EDB=45。，由平行線的性質(zhì)可求回EDB=MBF=45。，由折疊的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)可求回。8尸=45。-(1,即可求解.

【詳解】(1)解：031=30。，02是回1的倍余角,

002=2(90°-30°)=120°；

HM=a,02是的倍余角，

002=2(90°-a)=180°-2a.

故答案為：120°；180°-2a.

(2)設(shè)=a,/.CBD=b

SCD=CB,AE=AD

SzXED=/.ADE=a,乙DBC=/.BDC=b

ElNEDB=180°-a-b,

4ABC=180°-(180°-2a)-(180°-2b)=2a+2b-180°,

El|Z71BC+Z.EDB=90。即EIABC是回皮＞2的倍余角.

(3)由(2)得LEDB=45°,

0BF||DE,

Sl^EDB=4DBF=45°,

團(tuán)CB=CD,

國乙DBC=45。+a=乙BDC,

回乙OBP=45°-a,

團(tuán)NOBP+(BDC=90°,Z.CPB=90°.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解倍余

角的定義并運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

【要點3三角形的外角】

三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

【要點4三角形的外角性質(zhì)】

①三角形的外角和為360°;②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大

于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

【考點4三角形的外角性質(zhì)】

【例4】(2022?浙江寧波??？寄M預(yù)測)如圖1,在△力BC中，"=90。，NB=30。，作“28平分線4尸交

BC于點F,以2尸為邊作等腰直角A/IFE,且N4FE=90°,如圖2將AAFE繞點尸每秒3。的速度順時針旋轉(zhuǎn)

得到三角形。FE(當(dāng)點。落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn))，則旋轉(zhuǎn)時間為/秒.

圖1圖2圖3圖4

⑴當(dāng)仁秒，DE||AB-,

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與48的交點記為M,如圖3,若AaMF為等腰三角形，求/的值；

(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點尸、。時，如圖4,連接AE,設(shè)NB力E=久。，^AED=y°,乙DFB=z。,

試探究x,y,z之間的關(guān)系.

【答案】(1)5

(2)10或25或40

⑶％+y+z=105

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，WEF=NBPE=45。，再利用三角形外角的性質(zhì)得NBFE的度數(shù)，

從而得出旋轉(zhuǎn)的角度，可得答案；

(2)分N4FM=4凡4M或41FM=N&MF或NM4F=N4MF,分別求出旋轉(zhuǎn)的角度，從而解決問題；

(3)利用三角形外角的性質(zhì)知NBPE=乙BAE+/.AED=x°+y°,乙BQP=4DFB+乙0=z。+45°,再根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】(1)解：當(dāng)DEII4B時，ADEF=NBPE=45。，

0ZBFF=Z.BPE一乙B=45°-30°=15°,

回起始狀態(tài)NBFE=30°,

配=(30-15)-r3=5,

故答案為：5；

(2)解：當(dāng)N4FM=/LFAM=30°,

t=30°+3°=10,

當(dāng)N4FM=AAMF=75°時,

t=75°+3°=25,

當(dāng)NM力F=^AMF=30°時，^AFM=120°,

t=120°+3°=40,

綜上：f=10或25或40；

（3）解：EINBPE是AAPE的外角，

回匕BPE=Z.BAE+Z-AED=x0+y°,

EINBQP是ADFQ的外角，

EINBQP=乙DFB+4。=z°+45°,

在ABQP中，ZB+/.BQP+/.BPQ=30°+z°+45°+x°+y°=180°,

回％+y+z=105.

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角

的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類思想是解決問題（2）的關(guān)鍵.運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)是解決

問題（3）的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?浙江紹興?一模）（1）問題背景

如圖①，RtLABC+,SBAC=90°,AB=AC,S48c的平分線交直線AC于Z）,過點。作CEHBD,交直線3。

于E,CE交直線54于M.探究線段80與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是.

（2）類比探索

在（1）中，如果把8。改為AA8C的外角0A8F的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還

成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

（3）拓展延伸

在（2）中，如果其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為.

【答案】（1）問題背景：BD=2CE（2）類比探索：結(jié)論BD=2CE仍然成立，證明見解析（3）拓展延伸：

BD=CE

【分析】（1）根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出三&BCE（ASA）,CE=ME,結(jié)合圖形得

出國4DB=I3M,sin0ADB=sin0M,再由正弦函數(shù)證明即可；

（2）根據(jù)題意，證明方法同（1）類似，證明即可；

（3）根據(jù)②得需=若，將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：BBE是0ABe的平分線，

^\ABD=^\CBD,

在回BAfE和團(tuán)8CE中，

2ABD=乙CBD

BE=BE,

/BEM=乙BEC

^\BME=^\BCE（ASA）,

^\CE=ME,

⑦CEWD,團(tuán)84090°,

回朋5。+回M=90°,^ADB+^ABD=90\

回胤二回M,

團(tuán)sin朋。慶sin團(tuán)M,

ni-tABAC

即一=—,

BDCM

^\AB=AC,

^\BD=CM,

^\BD=2CE；

（2）結(jié)論BD=2CE仍然成立.

證明：回5。是團(tuán)43尸的平分線,

D

031=02,

團(tuán)團(tuán)1二羽，團(tuán)2二團(tuán)4,

團(tuán)團(tuán)3二團(tuán)4,

在團(tuán)和團(tuán)M3E1中，

43=匕4

BE=BE,

ZCEB=/.MEB=90°

^\CBE=^MBE(ASA),

團(tuán)CE=ME,

田CM=2CE,

國回。+回。CM=R1M+回。CM=90。.

團(tuán)團(tuán)。二團(tuán)M,

團(tuán)sinRLD=sinmM,

^ABAC

回--=--，

BDCM

[?L4B=AC,

^\BD=CM=2CE；

(3)解：同(2)可得?="，CE=ME,

BDCM

1

匿48=-AC,

2

回BD=-CM

2f

出BD=CE.

故答案為：BD=CE.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用，角平分線的計算等，理解題意，綜合

運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022,四川內(nèi)江?統(tǒng)考模擬預(yù)測）探究與發(fā)現(xiàn)：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做"規(guī)形圖"，那么在這一個簡

單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

⑴觀察"規(guī)形圖"，試探究N8DC與乙4、NB、NC之間的關(guān)系，并說明理由；

⑵請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△力上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點8、C,若乙4=50。,

貝!U4BX+乙4cx=°；

②如圖3,DC平分NADB,EC平分N4EB,若N￡ME=50。，ZD5F=130°,貝UNDCE=°；

③如圖4,乙ABD,乙4CD的10等分線相交于點Gi，G2,G9,若4如DC=140。,ZFG1C=77°,求乙4的度

數(shù).

【答案】⑴4BDC=NB4C+NB+NC

（2）①40,②90,（3）70°

【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接4D并延長至點F,根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和即可證明；

（2）①由（1）的結(jié)論可得N4BX+NACX+NA=NBXC,然后把N4=50。，NBXC=90。代入上式即可得到

NABX+ZACX的值；②結(jié)合圖形可得Z_OBE=N￡ME+N力DB+N4E8,代入Z_￡ME=50°,NOBE=130°即可得

至！U4DB+N4EB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知ADCE=：易得答案.③由②方法,

進(jìn)而可得答案.

【詳解】（1）4BDC=4BAC+4B+H理由如下:

連接/。并延長至點F,

由外角定理可得乙8。/=48/0+48,/,CDF=/.C+/.CAD,

⑦乙BDC=2BDF+乙CDF,

^\Z-BDC—Z-BADZ-B/-CZ-CAD,

^BAC=Z-BAD+^CAD,

團(tuán)48+4C；

(2)①由(1)的結(jié)論易得：^ABX+^ACX+^A=2LBXC,

團(tuán)乙4=50。，4BXC=90。，

團(tuán)乙4BX+乙4cx=90。-50。=40。，

故答案是：40；

②由(1)的結(jié)論易得Z.DCE=^ADC+^LAEC+AA,

回乙DAE=50。,ZDBE=13O°,

團(tuán)乙4DB+乙4EB=80。；

團(tuán)。C平分EC平分N/EB,

11

^Z.ADC=-Z-ADB,/.AEC=-/-AEB,

22

EIN￡)CE=IQG4DB+NaEB)+za=40°+50°=90°；

③由②知，NBGiC=5(NaBD+NACD)+N4,

ElNBGiC=77。，

團(tuán)設(shè)乙4為汽。，

團(tuán)4/BD+N4CO=140。一%。，

S^(140-x)+x=77,

團(tuán)％=70,

EINA為70°.

故答案是：70°.

【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出是解答的關(guān)

鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180。，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

【變式4-3］(2022?四川成都?四川省成都市七中育才學(xué)校?？级?(1)［模型研究］如圖①，在A4BC中，

AB=AC,D為邊延長線上一點，且NC=n。,貝IUC4D=°；

(2)［模型應(yīng)用］如圖②，在A/IBC中，ZJ1BC=2乙4cB若4B=3,BC=5,求AC的長；

(3)［模型遷移］如圖③，點P為△力BC邊4C上一點，^PBC=-^ABC=-2LBPC,CD1BP,交BP的延長

線于D.若/C=a,BD=b(Jj<a<2b),求^BDC的面積.

【答案】(［)2n；(2)2V6；(3)\b-^3b2-2ab

【分析】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到NCW=NB+NC=2NC;

(2)以4為圓心，42長為半徑畫弧交8c于。，作4E1BC于E,這樣構(gòu)造(1)中模型，進(jìn)一步得出結(jié)果；

(3)作CE〃BD交ABDE延長線于E,以點B為圓心，BE為半徑畫弧，交CE于G,作BF1CE于F,這樣構(gòu)造

出(2)中模型，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：(1)在AABC中，

AB=AC,Z-C=幾°,

???Z-B=cC=n°,

???皿0是△48C的外角，

???/.CAD=NB+NC=2n°,

故答案為：2加

(2)如圖1,

A

圖1

以A為圓心，ZB長為半徑畫弧交于。，作ZE_LBC于E,

AD=AB,

Z.ADB=(B=2zC,

Z.ADB=Z.CAD+Z-C,

???Z.C=Z.CAD,

CD=AD=AB=3,

??.BD=BC—CO=5-3=2,

AB=AD,AE1BD,

i

DE=BE=-BD=1,

2

??.CE=DE+CD=4,

??.AE2=AD2-DE2=32-l2=8,

???AC=y/AE2+CE2=V8+42=2瓜

(3)如圖2,

作CE〃80交/B延長線于E,以點B為圓心，BE為半徑畫弧，交CE于G,作8尸_LCE于F,

??,CE//BD,

???乙E=乙ABP,乙BCE=乙PBC,Z.ECD=180°一乙D=90°,

^PBC=Z.BCE=a,貝！JzZBC=3a,乙BPC=4a,

???Z-ABP=乙ABC—Z-PBC=2a,

Z-E=Z.ABP=2a,

又回=Z.BPC-Z.ABP=4a—2a=2a,

???Z-E=Z-A=2a,

???CE=AC=a,

由（2）模型知：BE=BG=CG,

???乙D=（ECD=Z.BFC=90°,

???四邊形BFCD是矩形，

.?.CF=BD=b,CD=BF,

EF=FG=a—b,

BG=CG=CF—FG=b—（a—b）=2b—a,

CD=BF=y/BG2-FG2=y］（2b-a）2-（a-b）2=73b2-Zab,

：.S^BCD=抑口.CD=沙73b2-2ab.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識,

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造（2）中的"模型

【要點5等腰三角形】

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角“；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上

的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.

【考點5等腰三角形的判定與性質(zhì)】

【例5】（2022,江蘇泰州?模擬預(yù)測）過三角形的頂點作射線與其對邊相交，將三角形分成兩個三角形.若

得到的兩個三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的"友好分割線

⑴下列三角形中，不存在"友好分割線"的是（只填寫序號）.

①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150。的等腰三角形.

(2)如圖1,在△ABC中，=60。，zB=40°,直接寫出△ABC被"友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度

數(shù)；

⑶如圖2,△力BC中，乙4=30。，CD為力B邊上的高，BD=2,E為4D的中點，過點E作直線/交AC于點F,

作CM1I,DN1I,垂足為M,N.若射線CD為AZBC的“友好分割線"，求CM+DN的最大值.

【答案】⑴②

(2)20°,40°,60°,80°或100°

(3)4

【分析】(1)根據(jù)"友好分割線”的定義判斷即可；

(2)分三種情形：當(dāng)“友好分割線"經(jīng)過點C,當(dāng)“友好分割線"經(jīng)過點4當(dāng)“友好分割線〃經(jīng)過點8,分別畫

出圖形求解即可；

(3)證明ADNEmAAGE(ASA),推出DN=AG.^ERt△AGF^RtACMF^P,Z.CMF=/.AGF=90°推出CM<

CF,AG<AF,推出CM+4GWCF+4F,即CM+4GWAC,由此可得結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)"友好分割線"的定義可知，

如圖，等腰直角三角形，頂角為150。的等腰三角形存在"友好分割線

等邊三角形不存在"友好分割線”.

故答案為：②；

(2)???Z4=60。4=40°,

/.ACB=180°-60°-40°=80°,

如圖，

當(dāng)EC=E4時，^AEC=60°,

當(dāng)FC=FB時，乙BFC=100°,

當(dāng)BC=BG時，乙B=40°.

如圖，

當(dāng)CA=CW時，ZC=80°,

如圖，

綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為：20。，40。，60。，80。或100。；

(3)解：如圖2中，作于點G.

EIC。為48邊上的高，

0ZCDB=Z.CDA=90°.

0ZXCD=90。一乙4=60°.

0ACD4不是等腰三角形.

力BC的"友好分害ij線”，

0A。。8和4CD4中至少有一個是等腰三角形.

團(tuán)△COB是等腰三角形，且CD=8O=2.

瓦血4c=30°,

團(tuán)4c=2CD=4.

團(tuán)DN12于N,

回乙DNE=乙AGE=90°.

ae為力D的中點，

EIDE=AE.

在△ONE和AAGE中，

\LAGE=乙DNE

DE=AE

ZDEN=4AEG

0ADNE三△4GE(ASA),

ISDN=AG.

在Rt△力GF和Rt△CM尸中，Z.CMF=/.AGF=90°,

0CM<CF,AG<AF,

0CM+AG<CF+AF,

即CM+2G<AC,

BCM+DN<4,

EICM+DN的最大值為4.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最

短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題.

【變式5-1](2022?山東威海?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點4(6,0),B(0,n)(n>m>0),

點C在第一象限，AB1BC,BC=84，點P在線段0B上，OP=OA,2P的延長線與C8的延長線交于點M,

4B與CP交于點N.

(1)點C的坐標(biāo)為：(用含n的式子表示)；

⑵求證：BM=BN；

⑶設(shè)點C關(guān)于直線AB的對稱點為。，點C關(guān)于直線4P的對稱點為G,求證：D,G關(guān)于x軸對稱.

【答案】⑴(Xm+n)

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)過點C作CEly軸于點E,證明ABEC三△力。B(AAS),求出。E,CE,即可得到點C的坐標(biāo);

(2)證明AABM三△CBN,即可得證；

(3)如圖，連接DG交x軸于點H,證明三△G4”(SAS),即可得證.

【詳解】(1)過點C作CE軸于點E,

貝U：NCEB=90。，

EL4B1BC,

0ZXBC=90°,

0ZCSF+乙BCE=乙CBE+^OBA=90°,

^\Z-BCE=Z-OBA,

國匕CEB=Z.AOB=90°,BC=BA,

[HABECZOB(AAS),

BCE=OB,BE=OA,

回a(zn,0),B(0,n),

回CE=OB=n,BE=OA=m,

團(tuán)。E=OB+BE=m+n,

0C(n,TH+n)；

故答案為：(弭血十九)；

(2)證明：△BEC=^AOB,

國BE=0A=OP,CE=BO,

團(tuán)PE=0B=CE,^OPA=^OAP=45°,

⑦乙EPC=45°,Z.APC=90°,

團(tuán)匕ANP=乙BNC,2CBN=乙APN=90°,

團(tuán)NP/B=乙BCN,

在△48時與4CBN中，

Z.ABM=乙CBN

Z.PAB=乙BCN,

AB=CB

HAABM=△CBN(ASA),

MM=BN；

(3)證明：如圖，點C關(guān)于直線48的對稱點為。，點C關(guān)于直線TIP的對稱點為G,連接OG交匯軸于點H,

貝!J：AD=AC,AG=AC,

團(tuán)4。=AG,

國匕

ABC=90°fBC=AB,

^CAB=乙4cB=45°,

BZ.BAD=乙BDA=45°,

B/.OAP=45°,

國匕HAD+Z.DAM=匕PAB+Z.DAM=45°,

^Z-HAD=Z.PAB,

EL4G=AC,AP1CG,

^GAP=/.CAP,

EIN/MG+45°=APAB+45°,

0ZHXG=4PAB

0ZHXG=Z.HAD,

在4H與AGaH中，

'AD=AG

Z.HAG=/.HAD

.AHAH

0ADAH=△GAH(SAS),

EID,G關(guān)于x軸對稱.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì).通過添加合適輔助線，證明三角

形全等，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?青海?統(tǒng)考中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把

它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△48c和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,OE分別是底邊.求證：BD=CE；

E

BC

圖1

⑵解決問題：如圖2,若A4CB和ADCE均為等腰直角三角形，N4CB=ADCE=90。，點A,D,E在同一

條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接8E,請判斷0A班的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)

系并說明理由.

圖2

【答案】⑴見解析

(2)zDCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM

【分析】(1)先判斷出EI54￡)=I3CAE,進(jìn)而利用SAS判斷出△BAQaaCAE,即可得出結(jié)論；

(2)同(1)的方法判斷出△氏SEBCAE,得出AD=BE,0ADC=0B￡C,最后用角的差，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：回△力BC和AaDE是頂角相等的等腰三角形，

EL4B=AC,AD=AE,/.BAG=/-DAE,

EINB力C-Z.CAD=Z.DAE-Z.CAD,

^Z-BAD—/.CAE.

在△BAD和△￡>!￡■中，

'AB=AC

ABAD=MAE,

.AD=AE

BABADSACAE(SAS),

ELBD=CE.

(2)解：^AEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由(1)的方法得，AACDmABCE,

EL4D=BE,Z.ADC=/.BEC,

0ACDE是等腰直角三角形，

0ZCDF=Z.CED=45°,

回匕ADC=180°-乙CDE=135°,

^BEC=Z.ADC=135°,

⑦乙AEB=乙BEC-MED=135°-45°=90°.

0C￡）=CE,CM±DE,

團(tuán)DM=ME.

團(tuán)匕DCE=90°,

=ME=CM,

團(tuán)OE=2CM.

團(tuán)4E=AD+DE=BE+2CM.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直

角三角形的性質(zhì)，判斷出AACDmABCE是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一

個問題：如圖1,在正方形ABC。中，￡是8c的中點，AELEP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于

尸點.試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

⑴【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點凡連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補(bǔ)全圖形，解答老

師提出的問題.

⑵【實踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形A8CD

中，E為邊上一動點（點E,B不重合），ANEP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接CP,可以求出

NDCP的大小，請你思考并解答這個問題.

⑶【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形

ABCD^,E為BC邊上一動點、（點E,B不重合）,△4EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接。尸.知

道正方形的邊長時，可以求出ANDP周長的最小值.當(dāng)力B=4時，請你求出AADP周長的最小值.

【答案】⑴答案見解析

（2）45°,理由見解析

（3）4+4V5,理由見解析

（分析［（1）取的中點R連接EF,利用同角的余角相等說明&PEC=SBAE,再根據(jù)ASA證明0AF￡HE￡CP,

得AE=EP；

（2）在AB上取AF=EC,連接ER由（1）同理可得EIC￡P(guān)=EIE1E,則團(tuán)EtEEBCEP（SAS）,再說明團(tuán)2所

是等腰直角三角形即可得出答案；

（3）作OG0CP,交BC的延長線于G,交C尸于。連接AG,貝USDCG是等腰直角三角形，可知點。與G

關(guān)于CP對稱，則AP+Z）尸的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG,進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：AE=EP,

理由如下：取AB的中點尸，連接EE

回尸、E分別為A3、BC的中點,

^\AF=BF=BE=CE,

釀A尸￡=135°,

團(tuán)。尸平分團(tuán)OCG,

團(tuán)團(tuán)。。尸=45°,

釀ECP=135°,

^\AFE=^ECP,

[2L4E0PE,

釀A￡P(guān)=90°,

團(tuán)朋M+回尸EC=90°,

^1AEB^BAE=90°,

^