九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?北師大版第一章

特殊平行四邊形單元梳理復(fù)習(xí)幾何語(yǔ)言文字?jǐn)⑹鰧?duì)邊平行對(duì)邊相等對(duì)角相等∴

AD=BC

，AB=DC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

∠A=∠C，∠

B=∠D.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

一、平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

OA=OC，OB=OD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

AD∥BC

，AB∥DC.幾何語(yǔ)言文字?jǐn)⑹鰞山M對(duì)邊相等一組對(duì)邊平行且相等∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵

AD=BC

，AB=DC,∴

四邊形ABCD是平行四邊形.

∵

AB=DC，AB∥DC,二、平行四邊形的判定對(duì)角線互相平分∴

四邊形ABCD是平行四邊形.

∵

OA=OC，OB=OD,兩組對(duì)邊分別平行（定義）∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵AD∥BC

，AB∥DC,平行線之間的距離處處相等1.三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2.三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三、三角形的中位線用符號(hào)語(yǔ)言表示∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC,

項(xiàng)目四邊形對(duì)邊角對(duì)角線平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角四、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

四邊形條件①定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形②三個(gè)角是直角的四邊形③對(duì)角線相等的平行四邊形①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形②四條邊都相等的四邊形③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形①定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形②有一組鄰邊相等的矩形③有一個(gè)角是直角的菱形五、矩形、菱形、正方形的判定方法考點(diǎn)一多邊形的內(nèi)角和與外角和例1已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

解：

設(shè)此多邊形的外角的度數(shù)為x,則內(nèi)角的度數(shù)為4x,則x+4x=180°,解得x=36°.∴邊數(shù)n=360°÷36°=10.考點(diǎn)講練1.一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于120°，則其邊數(shù)是

.6【解析】因?yàn)樵摱噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都等于120度，所以它的每一個(gè)外角都等于60°.所以邊數(shù)是6.歸納拓展

在多邊形的有關(guān)求邊數(shù)或內(nèi)角、外角度數(shù)的問題中，要注意內(nèi)角與外角之間的轉(zhuǎn)化，以及定理的運(yùn)用.尤其在求邊數(shù)的問題中，常常利用定理列出方程，進(jìn)而再求得邊數(shù).針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)例2

如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC=BC【解析】A.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正確；B.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，故B正確；C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，故C正確；D方法總結(jié)

主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等且平行，對(duì)角相等.針對(duì)訓(xùn)練2.如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)邊相等）∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，∴∠EAB=∠FCD，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠D

AB＝CD

∠EAB＝∠FCD

∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∵AD=BC∴AF=EC．例3如圖，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，則AD的長(zhǎng)為（）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=10cm，BD=6cm∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，∵∠ODA=90°，∴AD==4cm．A方法總結(jié)

主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分，解題時(shí)還要注意勾股定理的應(yīng)用.【解析】∵在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，∴△BOC的周長(zhǎng)是：BO+CO+BC=12+19+28=5(cm)．針對(duì)訓(xùn)練3.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，則△BOC的周長(zhǎng)是（）A．45cmB．59cmC．62cmD．90cmB考點(diǎn)三平行四邊形的判定例4如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA=OC，OB=OD

B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD

C．AD∥BC，AD=BC

D．AB=CD，AO=CO

D平行四邊形的判定方法：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.方法總結(jié)針對(duì)訓(xùn)練4.如圖，點(diǎn)D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，（1）求證：AB=EF．（1）證明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠EDF，∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，即BC=DF，又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB=EF.（2）連接AF，BE，猜想四邊形ABEF的形狀，并說明理由．（2）猜想：四邊形ABEF為平行四邊形，理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，∴∠ABF=∠EFB，∴AB∥EF，又∵AB=EF，四邊形ABEF為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.考點(diǎn)四三角形的中位線例5已知：AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)。求證：.

證明：過點(diǎn)D作DH∥BF,交AC于點(diǎn)H.

∵AD是△ABC的中線.∴D是BC的中點(diǎn).∴CH＝HF＝

CF.∵E是AD的中點(diǎn)，EF∥DH.∴AF＝FH.∴AF＝

FC.ABCDEFH針對(duì)訓(xùn)練5.若三角形的三條中位線之比為6:5:4,三角形的周長(zhǎng)為60cm,那么該三角形中最長(zhǎng)邊的邊長(zhǎng)為＿＿＿;解析:設(shè)三角形的三條中位線之長(zhǎng)分別為6x,5x,4x，則三角形的三條邊長(zhǎng)之長(zhǎng)分別為12x,10x,8x，依題意有12x＋10x＋8x＝60，解得x＝2.所以，最長(zhǎng)邊12x＝24（cm）.24cm例6：如圖,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等).

OA=OC=AC,OB=OD=BD, (矩形對(duì)角線相互平分) ∴OA=OD.ABCDO考點(diǎn)五矩形的性質(zhì)和判定ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個(gè)角都是直角）∴BD=2AB=2×2.5=5.6.如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O

,△ABO是等邊三角形,

AB=4,求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形,∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.ABCDO針對(duì)訓(xùn)練∴□ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4× =ABCDO7.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點(diǎn)E，四邊形CEBO是矩形嗎？說出你的理由.DABCEO解：四邊形CEBO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵DE∥AC,CE∥BD，∴四邊形CEBO是平行四邊形.

∴四邊形CEBO是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）.例7：如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的對(duì)角線互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.

ABCOD考點(diǎn)六菱形的性質(zhì)和判定證明：在△AOB中. ∵AB=,

OA=2,OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.

∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形

(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).8.已知：如右圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=,OA=2,OB=1.求證：□ABCD是菱形.ABCOD針對(duì)訓(xùn)練9.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，猜想重疊部分的四邊形ABCD是什么形狀？說說你的理由.ABCDEF解：四邊形ABCD是菱形.過點(diǎn)C作AB邊的垂線交點(diǎn)E,作AD邊上的垂線交點(diǎn)F.S四邊形ABCD=AD

·CF=AB

·CE.由題意可知CE=CF且四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD=AB.∴四邊形ABCD是菱形.例8：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE考點(diǎn)七正方形的性質(zhì)和判定∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE⊥DF.(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM10.如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC

,

CE平分∠DCB

,

BF∥CE

,

CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.FABECD解析：先由兩組平行線得出四邊形BECF是平行四邊形；再由一個(gè)直角，得出平行四邊形BECF是矩形；最后由一組鄰邊相等可得矩形BECF是正方形.45°45°針對(duì)訓(xùn)練FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,

∠DCB=90°.∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中，∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，則AD的長(zhǎng)為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cmA1.如圖，口ABCD與口DCFE的周長(zhǎng)相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為

．第1題圖第2題圖25°考題分類3．如圖,□ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F.(1)求證：△AOE≌△COF；(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，AB∥CD.∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)請(qǐng)連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．(2)解：連接EC、AF，則EF與AC滿足EF＝AC時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：由(1)可知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF＝AC，∴四邊形AECF是矩形．題型二特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定應(yīng)用1.如圖1，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6cm,BC=8cm,則△AEF的周長(zhǎng)=

cm.ABCDFEO92．如圖2，P是菱形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PE＝4cm，則點(diǎn)P到BC的距離是________cm. 43．如圖1四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,那么∠BAD=

°，AB=

cm,AC=

cm.6064.如圖

2，在正方形

ABCD

中，E為對(duì)角線AC

上的一點(diǎn)，連接EB，ED.延長(zhǎng)BE

交AD

于點(diǎn)F，若∠DEB＝140°，那么∠AFE

的度數(shù)是

.65°5.如圖3，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=8，DB=6，DE⊥BC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為

.ABCDO圖1圖2圖34.86.過正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求證：AP=EF.ABCDEFP證明：連結(jié)AC、PC∵四邊形ABCD是正方形∴BD垂直且平分AC∴PA=PC∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°∴四邊形PECF是矩形∴EF=PC∴AP=EF題型三特殊平行四形的綜合應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，分別以AB,AC,BC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD,ACE,BC（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；（1）證題思路：先要證明△FDB≌△CAB（SAS）可得AC=DF，再由△AEC是等邊三角形，則有AC=AE，所以有AE=DF；同理可證得AD=EF，故命題得證。1.如圖，在△ABC中，分別以AB,AC,BC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD,ACE,BC（2）探究下列問題①當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形？②當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形？③當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，以D,A,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？④當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，平行四邊形是正方形.①∠BAC=150°②AB=AC③∠BAC=60°④AB=AC且∠BAC=150°2．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長(zhǎng)．題型四中點(diǎn)四邊形及三角形中位線解題小結(jié)：依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的新四邊形(即中點(diǎn)四邊形）的形狀與原四邊形對(duì)角線的關(guān)系(相等、垂直、相等且垂直)有關(guān)．1.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件即

，使得四邊形EFGH為菱形.AC=BD1.如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AP、BP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度將

（填“變大”“變小”或“不變”）.2.已知：如圖2，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．圖2對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：不變1.如圖在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ,則△ＰＢＱ周長(zhǎng)的最小值是

cm(結(jié)果不取近似值）.ADPBQC題型五特殊平行四邊形的對(duì)稱性

2．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OACB的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是－1，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是.yxoABC(2,1)題型六創(chuàng)新作圖類創(chuàng)新作圖尺規(guī)作圖1.如圖，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形．請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫∠AOB的平分線(請(qǐng)保留畫圖痕跡）.AFOBEP2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度直尺、用連線的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.（1）在圖（1）中，AB邊上求作一點(diǎn)N，連接CN，使CN=AM；（2）在圖（2）中，AB邊上求作一點(diǎn)Q，連接CQ，使CN//AM；ABCDM圖（1）ABCDM圖（2）NEON1．將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是（）

(第1題)C課后演練A第3題圖B2D6.如果平行四邊形的兩鄰邊分別為3，4，那么其對(duì)角線必

(

)A．大于1B．小于7C．大于1且小于7D．小于7或大于1C8.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點(diǎn)與點(diǎn)A重合，求折痕EF的長(zhǎng).解題要點(diǎn)：1.先利用勾股定理求出AC=5；2.設(shè)BE=x,則CE=4-x,由折疊可知AE=CE=4-x,在Rt△ABE中利用勾股定理建立方程求得x=7/8;3.EF是折痕，AC被EF垂直平分，在Rt△AEO中，求得EO=15/8；4.EF=15/4.[答案]略[答案]4[答案]8[答案]4n1.檢查一個(gè)門框是矩形的方法是（）A.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等.B.測(cè)量有三個(gè)角是直角.C.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相平分.D.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相垂直.2.順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（）A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形BB3.菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍,則其最大內(nèi)角等于（