第四章

三角函數(shù)與解三角形4.1

任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課外閱讀課時(shí)作業(yè)

1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

2.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.【教材梳理】

逆時(shí)針順時(shí)針零角正角、負(fù)角和零角旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)量

角的終邊坐標(biāo)軸

整數(shù)個(gè)周角

半徑長正數(shù)負(fù)數(shù)0

（4）角度和弧度的換算.

三角函數(shù)定義域（弧度制下）第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)------

4.特殊角的三角函數(shù)值00100100101不存在0不存在0常用結(jié)論

1.角的集合

（1）象限角的集合.象限角角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角

（2）非象限角（軸線角）的集合.在坐標(biāo)軸上

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.

(

)

×

√（3）不相等的角終邊一定不相同.

(

)

×

√

×

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

√

√

1或4

考點(diǎn)一

象限角與終邊相同的角

三二或四

√√√

變式1（1）

【多選題】下列說法正確的是(

)

√√

考點(diǎn)二

扇形的弧長與面積問題

（2）求該扇形面積的最大值.

（1）扇形的面積；（2）扇形的弧長及該弧所在弓形（由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形）的面積.

考點(diǎn)三

三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

√√

【點(diǎn)撥】直接利用三角函數(shù)的定義，找到或根據(jù)已知給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，可以確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出關(guān)于參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

√

課外閱讀·三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化廣義上是指數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與生活的交叉應(yīng)用、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系以及這些因素的交互作用所構(gòu)成的龐大體系，狹義上是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)語言等的形成和拓展.在長期的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)文化形成了注重思維、強(qiáng)調(diào)實(shí)用、講究算法、關(guān)注數(shù)學(xué)審美價(jià)值等重要特點(diǎn).下面第一小題以《夢(mèng)溪筆談》為背景，該書內(nèi)容包含了數(shù)學(xué)、天文、物理、音樂、文學(xué)、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域，反映了中國古代，特別是北宋時(shí)期自然及人文科學(xué)的輝煌成就，被譽(yù)為“中國科學(xué)史上的里程碑”.第二小題以數(shù)學(xué)中美妙而又神秘的圓周率為基礎(chǔ)，以國際圓周率日為背景，通過給出中外為求得圓周率而采用的經(jīng)典“割圓術(shù)”思想，

√讓考生求出其近似表達(dá)式，從而考查考生用三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)分析、解決問題的能力.在考生讀題、解題的過程中，能充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想之妙，感悟數(shù)學(xué)文化之美.

√

【鞏固強(qiáng)化】

√

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

√

√4.【多選題】下列結(jié)論正確的是(

)

√√√

5.【多選題】下面說法正確的有(

)

√√

√

【綜合運(yùn)用】

√

√√

A.2.3

B.2.5

C.2.4

D.2.6

√

√√√【拓廣探索】

第四章

三角函數(shù)與解三角形4.2

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)

【教材梳理】

2.誘導(dǎo)公式分類公式一公式二公式三公式四公式五公式六角相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱—正弦____________余弦______________正切______________——

分類公式一公式二公式三公式四公式五公式六記憶規(guī)律函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限____________，符號(hào)看象限奇變偶不變續(xù)表常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.

×

×

×

√

×

√

√

考點(diǎn)一

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用命題角度1

知一求二問題

√

√√√

√

√

√

√

√考點(diǎn)二

誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

√

變式3（1）

【多選題】下列化簡(jiǎn)正確的是(

)

√√

√【鞏固強(qiáng)化】

√

√

√

√

√√

√√

【綜合運(yùn)用】

√

√

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

√

√√

【拓廣探索】

√√

4.3

三角恒等變換第1課時(shí)

簡(jiǎn)單的三角恒等變換課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)

1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.

2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）.【教材梳理】

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.

√

√

×

×

×

√

√

考點(diǎn)一

和、差、倍角公式的直接應(yīng)用例1

【多選題】下列各式的值等于1的是(

)

√√

【點(diǎn)撥】和、差、倍角公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立，使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系.變式1

【多選題】下列化簡(jiǎn)正確的是(

)

√√√考點(diǎn)二

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值

√【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值的一般思路:異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù),異角化為同角,異次化為同次，切化弦,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.

√考點(diǎn)三

兩個(gè)角的化簡(jiǎn)、求值

√

√【點(diǎn)撥】和、差、倍角公式的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于把握式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活應(yīng)用整體思想求解，尤其是對(duì)于含兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)角的問題.

√

√考點(diǎn)四

輔助角公式的應(yīng)用

√

√

√

3

【鞏固強(qiáng)化】

√

√√√

√

√

√

√

【綜合運(yùn)用】

√

√

√

【拓廣探索】

√4.3

三角恒等變換第2課時(shí)

三角恒等變換的綜合應(yīng)用核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)考點(diǎn)一

給角求值

√【點(diǎn)撥】解決給角（非特殊角）求值問題的基本思路：①化非特殊角為特殊角；②化切為弦；③遇到分式，通分；④認(rèn)真觀察，合理使用輔助角公式.

√考點(diǎn)二

給值求值

√

√

3

√考點(diǎn)三

給值求角

√

√考點(diǎn)四

判斷三角形的形狀

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形

√

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形

√【鞏固強(qiáng)化】

√

√

√

A.直角三角形

B.等腰三角形C.鈍角三角形

D.直角三角形或鈍角三角形

√

√

√

【綜合運(yùn)用】

√

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.直角三角形

√

√

【拓廣探索】

√√√

第四章

三角函數(shù)與解三角形4.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課外閱讀·三角函數(shù)相關(guān)的開放舉例問題課時(shí)作業(yè)

【教材梳理】

非零常數(shù)

周期最小正周期

3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)名稱定義域_________________________圖象（一個(gè)周期）值域_________________

名稱無無對(duì)稱軸;對(duì)稱中心：_______最小正周期___________

續(xù)表名稱單調(diào)遞增區(qū)間：_____________________；單調(diào)遞減區(qū)間：

____________________單調(diào)遞增區(qū)間：_______________；單調(diào)遞減區(qū)間：______________單調(diào)遞增區(qū)間：_________________奇偶性________________________

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)續(xù)表常用結(jié)論

7.含絕對(duì)值三角函數(shù)的圖象函數(shù)圖象1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.

×

√

√

×

×

√

√

√考點(diǎn)一

三角函數(shù)的定義域、值域

√

√√

√

√考點(diǎn)二

三角函數(shù)的周期性例2

求下列函數(shù)的最小正周期.

√√

考點(diǎn)三

三角函數(shù)的奇偶性

A.

B.

C.

D.

√

√

1

考點(diǎn)四

三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性

【點(diǎn)撥】①求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程或?qū)ΨQ中心坐標(biāo)時(shí)，可利用整體換元法進(jìn)行求解，注意熟記正弦型、余弦型函數(shù)圖象對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心坐標(biāo)的形式．②判斷某一直線、某一點(diǎn)是否為三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心時(shí)，可根據(jù)對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)（當(dāng)三角函數(shù)圖象并未向上或向下平移時(shí)）這一性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)判斷．

√√考點(diǎn)五

三角函數(shù)的單調(diào)性例5

求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

√課外閱讀·三角函數(shù)相關(guān)的開放舉例問題

三角函數(shù)的開放舉例問題，常以抽象函數(shù)形式給出，此時(shí)應(yīng)注意若題中函數(shù)具備周期性，則首先考慮三角函數(shù)模型.這類問題一般要求學(xué)生根據(jù)已有的信息“猜想、推理、探究”，從而得出結(jié)論.解決這類問題，不僅要求學(xué)生有扎實(shí)的基本功，還要求學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)建模能力及推理論證能力.

【鞏固強(qiáng)化】

√

√

√

√

√

√√

【綜合運(yùn)用】

√

√

A.

B.

C.

D.

√

【拓廣探索】

√√√

第四章

三角函數(shù)與解三角形

課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)

【教材梳理】

____________________

__________

__________0000

振幅周期頻率相位初相______________周期性

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.

×（2）利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致.

(

)

×

×

×

√

√

√

A.60

B.70

C.80

D.90

√

√√√

0100畫出圖象如圖所示.

√

√√

√√

√

命題角度1

函數(shù)的零點(diǎn)問題

√

命題角度2

三角函數(shù)模型

圖1圖2

√√√

【點(diǎn)撥】三角函數(shù)能模擬現(xiàn)實(shí)生活中的許多周期現(xiàn)象.解決這類問題時(shí)，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定三角函數(shù)模型；其次搜集數(shù)據(jù)，求出三角函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.

√

【鞏固強(qiáng)化】

A.

B.

C.

D.

√

√

√

√

圖1圖2

√

√

0050

00500

【綜合運(yùn)用】

√

√√

【拓廣探索】

第四章

三角函數(shù)與解三角形

課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)

【教材梳理】

____________________

__________

__________0000

振幅周期頻率相位初相______________周期性

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.

×（2）利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致.

(

)

×

×

×

√

√

√

A.60

B.70

C.80

D.90

√

√√√

0100畫出圖象如圖所示.

√

√√

√√

√

命題角度1

函數(shù)的零點(diǎn)問題

√

命題角度2

三角函數(shù)模型

圖1圖2

√√√

【點(diǎn)撥】三角函數(shù)能模擬現(xiàn)實(shí)生活中的許多周期現(xiàn)象.解決這類問題時(shí)，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定三角函數(shù)模型；其次搜集數(shù)據(jù)，求出三角函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.

√

【鞏固強(qiáng)化】

A.

B.

C.

D.

√

√

√

√

圖1圖2

√

√

0050

00500

【綜合運(yùn)用】

√

√√

【拓廣探索】

第四章

三角函數(shù)與解三角形4.6

正弦定理、余弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識(shí)自主評(píng)價(jià)核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)

掌握余弦定理、正弦定理，并能用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.【教材梳理】

類別正弦定理余弦定理文字語言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的_______的比相等三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊__________減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的______正弦平方的和兩倍類別正弦定理余弦定理公式________________________________________,_______________________,_______________________

續(xù)表類別正弦定理余弦定理常見變形

續(xù)表

3.解三角形中的常用術(shù)語

（1）仰角和俯角:在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

常用結(jié)論

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.

(

)

×

√

×

√（5）在三角形中，已知兩邊和一角,則該三角形唯一確定.

(

)

×

√

√

考點(diǎn)一

利用正、余弦定理解三角形

√√√

√

√

√

考點(diǎn)二

判斷三角形的形狀

③

A.等腰非直角三角形

B.直角非等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等邊三角形

√考點(diǎn)三

利用正、余弦定理解決實(shí)際問題

√

【點(diǎn)撥】此類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理.在解題時(shí)，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．此類題有兩處易錯(cuò)點(diǎn)：①圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)作平面問題處理，從而致錯(cuò)；②對(duì)仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯(cuò)．

√

考點(diǎn)四

與三角形面積有關(guān)的問題

【鞏固強(qiáng)化】

√

√

√

√

√√

√

【綜合運(yùn)用】

A.等腰非等邊三角形

B.直角三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形

√

√√√

A.346

B.373

C.446

D.473

√

【拓廣探索】

√√√

第四章

三角函數(shù)與解三角形單元檢測(cè)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

√

√

√

√

√

√

√

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

√二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列四個(gè)式子中，計(jì)算正確的是(

)

√√

√√

√√√

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

3

1

200

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第四章

三角函數(shù)與解三角形階段集訓(xùn)4（范圍：4.1

任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念～4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法中正確的是(

)

√

√3.如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長為4，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長為(

)

√

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

√

√

A.

B.

C.

D.

√

√

√二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

√√√

√√

√√√

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

第四章

三角函數(shù)與解三角形

核心考點(diǎn)課時(shí)作業(yè)考點(diǎn)一

與對(duì)稱性有關(guān)的取值或范圍問題

A.2

B.3

C.4

D.5

√

√

√考點(diǎn)二

與單調(diào)性有關(guān)的取值或范圍問題