1/92020北京懷柔高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（5分）拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣c B．a(chǎn)c＜bc C．a(chǎn)2＞b2 D．＜3．（5分）雙曲線﹣y2＝1的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x4．（5分）過點（﹣1，1）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2＝x B．y2＝﹣x C．x2＝y(tǒng) D．y2＝﹣x或x2＝y(tǒng)5．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則下面不一定成立的是（）A．若a2＞a1，則a3＞a1 B．若a2＞a1，則a3＞a2 C．若a3＞a1，則a2＞a1 D．若a2＞a1，則a1+a2＞a16．（5分）已知橢圓與雙曲線﹣＝1的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為10，那么橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．7．（5分）若＝（1，1，﹣2）是直線l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A．直線l在平面α內(nèi) B．平行 C．相交但不垂直 D．垂直8．（5分）已知m＝（a＞0），n＝x+1（x＜0），則m、n之間的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集是．10．（5分）雙曲線﹣y2＝1的實軸長為，離心率為．11．（5分）若m，n均為正數(shù)，且1是m，n的等差中項，則mn的最大值為．12．（5分）在數(shù)列1，，，，…，，…中，是它的第項．13．（5分）已知平面α的一個法向量是＝（1，﹣1，2），且點A（0，3，1）在平面α上，若P（x，y，z）是平面α上任意一點，則向量＝，點P的坐標(biāo)滿足的方程是．14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C是由到兩個定點A（1，0）和點B（﹣1，0）的距離之積等于的所有點組成的．對于曲線C，有下列四個結(jié)論：①曲線C是軸對稱圖形；②曲線C是中心對稱圖形；③曲線C上所有的點都在單位圓x2+y2＝1內(nèi)；其中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝10，S3＝18．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b5與數(shù)列{an}的第幾項相等？16．（13分）在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q為PD中點．（Ⅰ）求證：PD⊥BQ；（Ⅱ）求異面直線PC與BQ所成角的余弦值．17．（13分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的右焦點F（，0），且點A（2，0）在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點F且斜率為1的直線與橢圓C相交于M、N兩點，求△OMN的面積．

18．（13分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝an+2，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn＝2﹣bn．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)?n＝an+bn，求數(shù)列{?n}的前n項和Tn．19．（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，點D，E，F(xiàn)分別為棱A1C1，B1C1，BB1的中點．（Ⅰ）求證：AC1∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角C1﹣AC﹣B1的大??；（Ⅲ）在線段AA1上是否存在一點P，使得直線DP與平面ACB1所成的角為30°？如果存在，求出線段AP的長；如果不存在，說明理由．20．（14分）已知橢圓C：x2+2y2＝4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）是否存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足＝2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

2020北京懷柔高二（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．【分析】直接利用拋物線方程求解焦點坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)為（1，0）．故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查．2．【分析】根據(jù)a＜b＜0及不等式的性質(zhì)即可判斷每個選項的正誤，從而找出正確的選項．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣c＜b﹣c，∴A錯誤；∵c不確定，∴ac與bc的大小不等確定，∴B錯誤；a2＞b2正確，∴C正確；，∴D錯誤．故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由雙曲線方程求得a，b的值，則漸近線方程可求．【解答】解：由雙曲線﹣y2＝1，得a2＝9，b2＝1，即a＝3，b＝1．∴雙曲線﹣y2＝1的漸近線方程為y＝．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意設(shè)出拋物線方程為y2＝ax或x2＝ay，結(jié)合拋物線過點（﹣1，1）分類求得a的值得答案．【解答】解：由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝ax或x2＝ay，∵拋物線過點（﹣1，1），∴當(dāng)拋物線方程為y2＝ax時，得a＝﹣1；當(dāng)拋物線方程為x2＝ay時，得a＝1．∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝﹣x或x2＝y(tǒng)．故選：D．【點評】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．5．【分析】利用等差數(shù)列的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【解答】解：利用等差數(shù)列的單調(diào)性可得：若a2＞a1，則a1+a2＞a1；例如a1＜0時不成立．故選：D．【點評】本題考查了等差數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】求得雙曲線的焦點，可得橢圓的c＝4，再由橢圓的定義可得a＝5，運(yùn)用離心率公式計算即可得到．【解答】解：雙曲線﹣＝1的焦點為（，0），即為（±4，0），即有橢圓的c＝4，由橢圓的定義可得2a＝10，可得a＝5，則橢圓的離心率為e＝＝．故選：B．【點評】本題考查雙曲線和橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用定義和離心率公式是解題的關(guān)鍵．7．【分析】先判斷與是否共線或垂直，即可得出結(jié)論．【解答】解：由不存在實數(shù)使得＝k成立，因此l與α不垂直．由?＝2≠0，可得直線l與平面α不平行．因此直線l與平面α的位置關(guān)系是相交但不垂直．故選：C．【點評】本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、線面位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】利用基本不等式求出m的最小值，一次函數(shù)的性質(zhì)判斷n的最大值，然后比較大小即可．【解答】解：因為a＞0，∴m＝＝a+﹣1≥2﹣1＝1當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時去等號，∵x＜0，∴n＝x+1＜1；∴m＞n；故選：A．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查基本知識的理解與應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．【分析】將“不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0”轉(zhuǎn)化為“不等式組或”，利用一元一次不等式的解法求解．【解答】解：依題意，不等式化為不等式組或，解得1＜x＜2，故答案為：（1，2）【點評】本題主要考查不等式的解法，關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為特定的不等式去解．10．【分析】根據(jù)方程可得a，b，c即可【解答】解：根據(jù)題意得a＝2，b＝1，所以c＝，則2a＝4，e＝＝，故答案為：4，．【點評】本題考查根究雙曲線方程求實軸長和離心率，根據(jù)條件正確求出a，b，c是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】根據(jù)題意，m+n＝2，利用基本不等式求出即可．【解答】解：若m，n均為正數(shù)，且1是m，n的等差中項，則m+n＝2，故mn≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1取等號，故答案為：1．【點評】考查等差中項的定義，還考查了基本不等式的應(yīng)用，基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)題意，分析可得數(shù)列的通項公式an＝，進(jìn)而解＝可得n的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列1，，，，…，，…中，其通項公式an＝，若＝，解可得n＝6，即是它的第6項；故答案為：6【點評】本題考查數(shù)列的表示方法，注意數(shù)列通項公式的定義，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由點A（0，3，1）在平面α上，P（x，y，z）是平面α上任意一點，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則能求出向量，再由平面α的一個法向量是＝（1，﹣1，2），得到＝x﹣（y﹣3）+2z＝0，由此能求出點P的坐標(biāo)滿足的方程．【解答】解：∵平面α的一個法向量是＝（1，﹣1，2），點A（0，3，1）在平面α上，P（x，y，z）是平面α上任意一點，∴向量＝（x，y﹣3，z﹣1），＝x﹣（y﹣3）+2z＝0，∴點P的坐標(biāo)滿足的方程是x﹣y+2z﹣3＝0．故答案為：（x，y﹣3，z﹣1），x﹣y+2z﹣3＝0．【點評】本題考查向量的求法，考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、法向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距離的積等于常數(shù)，利用直接法，設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷．【解答】解：由題意設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），利用題意及兩點間的距離公式的得：[（x+1）2+y2]?[（x﹣1）2+y2]＝，對于①，方程中的x被﹣x代換，y被﹣y代換，方程不變，故關(guān)于y軸對稱和x軸對稱，故曲線C是軸對稱圖形，故①正確對于②，把方程中的x被﹣x代換，y被﹣y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點對稱，曲線C是中心對稱圖形，故②正確；對于③y＝0可得，（x+1）2?（x﹣1）2＝，即（x2﹣1）2＝?x2＝1±2；當(dāng)x2＝1+時，x＞1；此時對應(yīng)的點不在單位圓x2+y2＝1內(nèi)，故③錯誤．故答案為：①②．【點評】本題考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題目．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1+a2＝10，S3＝18．可得2a1+d＝10，3a1+3d＝18，聯(lián)立解得：a1，d．即可得出．（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由b2＝a3＝8＝b1q，b3＝a7＝16＝b1q2，聯(lián)立解得：b1，q．即可得出．【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1+a2＝10，S3＝18．∴2a1+d＝10，3a1+3d＝18，聯(lián)立解得：a1＝4，d＝2．∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵b2＝a3＝8＝b1qb3＝a7＝16＝b1q2，聯(lián)立解得：b1＝4，q＝2．∴bn＝2n+1．∴b5＝64＝2n+2，解得n＝31．．∴b5與數(shù)列{an}的第31項相等．【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，只要證明?＝0，即可證明結(jié)論．（Ⅱ）＝（﹣1，﹣1，2），利用向量夾角公式即可得出．【解答】（I）證明：如圖所示，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），Q（0，1，1），C（1，1，0），＝（0，2，﹣2），＝（﹣1，1，1），由?＝2﹣2＝0，∴⊥，∴PD⊥BQ；（Ⅱ）解：＝（﹣1，﹣1，2），cos＜，＞＝＝．∴異面直線PC與BQ所成角的余弦值為．【點評】本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）由題意可得a，c的值，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而點到橢圓方程；（Ⅱ）過點F且斜率為1的直線方程設(shè)為y＝x﹣，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，再由點到直線的距離公式可得O到MN的距離d，運(yùn)用三角形的面積公式，計算可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得a＝2，c＝，b＝＝1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1；（Ⅱ）過點F且斜率為1的直線方程設(shè)為y＝x﹣，聯(lián)立橢圓方程可得5x2﹣8x+8＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝，x1x2＝，則|MN|＝?＝?＝，又O到MN的距離為d＝＝，則三角形OMN的面積為d?|MN|＝××＝．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和三角形的面積求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由題意可得數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}，{bn}的通項公式可求；（Ⅱ）利用數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和求解．【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，an+1＝an+2，可得數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；由Sn＝2﹣bn，得b1＝1，當(dāng)n≥2時，Sn﹣1＝2﹣bn﹣1，可得Sn﹣Sn﹣1＝2﹣bn﹣2+bn﹣1，即（n≥2），則數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列．∴；（Ⅱ）?n＝an+bn＝（2n﹣1）+．則Tn＝C1+C2+…+?n＝＝＝．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．19．【分析】（I）如圖所示，連接A1B，交AB1于點O，連接OD，OB1．利用三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理可得：四邊形OFED是平行四邊形．即OE?平面DEF；又OE∥AC1，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論AC1∥平面DEF．（II）利用直接三棱柱的性質(zhì)可得：C1C⊥AC，可得∠BCC1是二面角C1﹣AC﹣B1的平面角．進(jìn)而得出結(jié)論．（III）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)P（2，0，t），t∈[0，2，設(shè)平面ACB1的法向量為＝（x，y，z），則?＝?＝0，可得．利用sin30°＝|cos＜，＞|，向量夾角公式即可得出．【解答】（I）證明：如圖所示，連接A1B，交AB1于點O，連接OD，OB1．OFAB，DEA1B1，ABA1B1，∴OFDE．則四邊形OFED是平行四邊形．∴OE?平面DEF；又OE∥AC1，AC1?平面DEF；OE?平面DEF．∴AC1∥平面DEF．（II）解：∵AC⊥BC，C1C⊥AC，∴∠BCC1是二面角C1﹣AC﹣B1的平面角．由CC1⊥CB，∴∠BCC1＝90°，∴二面角C1﹣AC﹣B1是90°．（III）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），設(shè)P（2，0，t），t∈[0，2].＝（﹣1，0，2﹣t），＝（2，0，0），＝（0，2，2），設(shè)平面ACB1的法向量為＝（x，y，z），則?＝?＝0，∴2x＝0，2y+2z＝0，?。剑?，1，﹣1）．∴sin30°＝|cos＜，＞|＝，化為：t2﹣4t+3＝0．t∈[0，2]．解得t＝1．∴P（2，0，1