第一章三角形的證明第二節(jié)直角三角形基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)及其判定1.(2022廣西賀州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數(shù)為()A.34° B.44° C.124° D.134°2.(2022遼寧營(yíng)口期中)已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10cm，腰長(zhǎng)為13cm，則腰上的高為()A.12cm B.6013cm C.12013cm D.3.(2022浙江臺(tái)州椒江期末)圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)的會(huì)徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1，若OA5·OAn的值是整數(shù)，且1≤n≤50，則符合條件的n有() 圖1 圖2A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作射線CE，若∠ECB+∠ACD=180°，連接DE，求證：△CDE是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)2互逆命題、互逆定理5.下列命題中，逆命題是真命題的是(只填寫(xiě)序號(hào)).①在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行；②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c(c為最長(zhǎng)邊)滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.6.寫(xiě)出下列各命題的逆命題，并判斷真假，指出其中的互逆定理.(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(2)如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(4)如果兩個(gè)角都是45°，那么這兩個(gè)角相等.知識(shí)點(diǎn)3斜邊、直角邊定理7.如圖，AD⊥BD，BC⊥AC，BD=AC，求證△ABD≌△BAC.甲：∵AD⊥BD，CB⊥AC，∴∠D=∠C=90°，又∵BD=AC，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SSA)；乙：∵AD⊥BD，CB⊥AC，∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，AB=BA,BD=AC,∴Rt△ABDA.甲、乙都正確 B.甲正確，乙不正確 C.甲不正確，乙正確 D.甲、乙都不正確8.如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是()A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD9.如圖1，D是BC中點(diǎn)，AD⊥BC，E是BC上除B，D，C外任意一點(diǎn)，根據(jù)“SAS”可證明△ADB≌△ADC，所以AB=AC，∠B=∠C.在△ABE和△ACE中，AB=AC，AE=AE，∠B=∠C，不能證明△ABE≌△ACE，因?yàn)檫@是“SSA”的情形，△ABE是鈍角三角形，△ACE是銳角三角形，它們不可能全等.如果兩個(gè)三角形都是直角三角形，“SSA”就變成“HL”，就可以用來(lái)證明兩個(gè)三角形全等.同樣，如果我們知道兩個(gè)三角形都是鈍角三角形或銳角三角形，并且它們滿足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必須通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)間接證明.已知，如圖2，AD=AC，∠ADB=∠ACB>90°.(1)根據(jù)現(xiàn)有條件直接證明△ABC≌△ABD，可以嗎?為什么?(2)求證：∠ABC=∠ABD. 圖1 圖2能力提升全練10.(2021四川樂(lè)山中考)如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α=50°，則β的度數(shù)為()A.120° B.130° C.140° D.150°11.(2022甘肅蘭州期中)如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，添加下列條件后仍不能判定△ABC與△ADC全等的是()A.AB=AD B.∠ACB=∠CAD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC12.(2022廣東佛山月考)下列命題的逆命題是真命題的是()A.若a=b，則a2=b2 B.等邊三角形是銳角三角形C.相等的角是對(duì)頂角 D.全等三角形的面積相等13.(2022河南鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)期中)已知△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，則下列條件中：①a=4，b=712，c=812；②a2∶b2∶c2=1∶3∶2；③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；④∠A=2∠B=2∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的有A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)14.(2022山東青島膠州期中)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，AD=BE.若∠ABE=35°，則∠BAD的度數(shù)為()A.35° B.45° C.55° D.65°15.(2022湖北武漢中考)如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工.取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是m.素養(yǎng)探究全練16.(2022云南昆明二模)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D是邊BC上的任意一點(diǎn)，以AD為折痕翻折△ABD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接EC，當(dāng)△DEC為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為.

17.小明剪了一些直角三角形紙片，他取出其中的幾張進(jìn)行了如下的操作：操作一：如圖①，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE.如果∠CAD∶∠CDA=1∶2，CD=1cm，試求AB的長(zhǎng)；操作二：如圖②，小明拿出另一張Rt△ABC紙片，將其折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，且與AE重合，折痕為AD，已知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)；操作三：如圖③，小明又拿出另一張Rt△ABC紙片，將紙片折疊，折痕CD⊥AB于D.請(qǐng)你說(shuō)明：BC2+AD2=AC2+BD2.圖①圖②圖③

第一章三角形的證明第二節(jié)直角三角形答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.A∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°.故選A.2.C如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，∵AD⊥BC于D，∴BD=DC，∵BC=10cm，∴BD=DC=5cm，在Rt△ABD中，AD=AB2∵S△ABC=12BC·AD=12AC·∴BE=BC·ADAC=10×1213=12013(cm)，∴腰上的高為120133.C本題以第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽為題材，解決勾股定理問(wèn)題.由勾股定理得，OA2=12+1OA3=12+(2)2=3，OA4=12+(3)2=4，OA5=5，……，OAn=n，∵OA5·OAn的值是整數(shù)，且1≤n≤50，∴5·n=4.證明如圖，延長(zhǎng)BC到F，則∠ECB+∠ECF=180°，∵∠ECB+∠ACD=180°，∴∠ECF=∠ACD，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠ECF+∠DCB=90°，∴∠ECD=90°，∴CD⊥CE，∴△CDE是直角三角形.5.答案①②④解析命題①的逆命題：在同一平面內(nèi)，若兩直線平行，則它們垂直于同一條直線，是真命題；命題②的逆命題：等邊三角形是有一個(gè)角為60°的等腰三角形，是真命題；命題③的逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，是假命題；命題④的逆命題：直角三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c(c為最長(zhǎng)邊)滿足a2+b2=c2，是真命題.故答案為①②④.6.解析(1)逆命題：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(假命題).(2)逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等(假命題).(3)逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行(真命題).(4)逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是45°(假命題).(3)的原命題和逆命題都是真命題，它們是互逆定理.7.C甲根據(jù)的是“SSA”，不能判定全等.乙正確，故選C.8.A需要添加的條件為AD=CB.理由：在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).故選A.9.解析(1)根據(jù)現(xiàn)有條件不能直接證明△ABC≌△ABD，因?yàn)檫呥吔遣荒茏C明兩個(gè)三角形全等，需要先構(gòu)造直角三角形進(jìn)行證明.(2)證明：如圖，作AN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于N，AM⊥BD交BD延長(zhǎng)線于M，∴∠M=∠N=90°，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ACN=∠ADM，又∵AD=AC，∴△ACN≌△ADM(AAS)，∴AN=AM，又∵AB=AB，∴Rt△ABN≌Rt△ABM(HL)，∴∠ABC=∠ABD.能力提升全練10.C如圖，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠1=α=50°，∵l1⊥l3，∴∠2=90°.∴β=180°-(180°-∠1-∠2)=∠1+∠2=50°+90°=140°，故選C.11.C由題意得∠B=∠D=90°，AC=AC.A.AB=AD，結(jié)合已知條件，可用“HL”判定△ABC≌△ADC，不符合題意；B.∠ACB=∠CAD，結(jié)合已知條件，可用“AAS”判定△ABC≌△CDA，不符合題意；C.AB=BC，AB，BC為同一個(gè)三角形的兩條邊，不能判定△ABC與△ADC全等，符合題意；D.∠BAC=∠DAC，結(jié)合已知條件，可用“AAS”判定△ABC≌△ADC，不符合題意.故選C.12.CA的逆命題是若a2=b2，則a=b.當(dāng)a，b互為相反數(shù)時(shí)，平方也相等，故是假命題.B的逆命題是銳角三角形是等邊三角形.銳角三角形不一定是等邊三角形，故是假命題.C的逆命題是對(duì)頂角相等.是真命題.D的逆命題是面積相等的三角形是全等三角形，面積相等的三角形不一定是全等三角形，故是假命題.故選C.13.C①∵a2+b2=2894=1722，c2=8∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形；②∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2，∴設(shè)a2=x，b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，∴此三角形是直角三角形；③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴此三角形不是直角三角形；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴設(shè)∠B=∠C=x，∠A=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴∠A=2x=90°，∴此三角形是直角三角形.故選C.14.C∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=180°?90°2=45°，∵∠ABE=35°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=10°，∵∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴△BCE和△ACD為直角三角形，∵在Rt△BCE和Rt△ACD中，BE=AD,BC=AC,∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)，∴∠CAD=∠EBC=10°，∴∠BAD15.答案8002解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠ECD=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m，∴CE=12BC=12∴CD2=CE2+DE2=2CE2，即CD=2CE=8002m.故答案為8002.素養(yǎng)探究全練16.答案3或3解析在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，根據(jù)題意得AE=AB=3，BD=DE，∠AED=∠B=90°，若∠CED=90°，則點(diǎn)E在AC上，如圖，∴CE=AC-AE=2，設(shè)BD=x，則DE=x，CD=BC-BD=4-x，∵DE2+CE2=CD2，∴x2+22=(4-x)2，解得x=32，即BD=3若∠CDE=90°，則∠BDE=90°，如圖，根據(jù)題意得∠ADB=∠ADE=12∠BDE=45°∵∠ABC=90°，∴∠BAD=45°，∴BD=AB=3.綜上所述，當(dāng)△DEC為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為3或32，故答案為3或317.解析操作一：∵∠CAD∶∠CDA=1∶2，∴可設(shè)∠CAD=x，∠CDA=2x，∵∠C=90°，∴x+2x=90°，解得x=30°，∴∠CAD=30°.∵CD=1cm，∴AD=2cm，∴AC=AD2?CD2由折疊的性質(zhì)可得BD=AD，∴∠DBA=∠DAB.∵∠CDA=