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文檔簡介

定理4.11(柯西中值定理)

使得

柯西中值定理與泰勒公式(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且4.5.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿足:證令整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件即使得即由得則例4.34證由由定理的條件得在的某鄰域內(nèi)連續(xù),不妨設(shè)設(shè)x是該鄰域內(nèi)一點(diǎn)故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是證畢練習(xí)設(shè)函數(shù)證結(jié)論可變形為使得即存在一點(diǎn)4.5.2泰勒公式

在實(shí)際問題中,往往希望用一些簡單的函數(shù)來而多項(xiàng)式函數(shù)就是最簡單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點(diǎn)附近的多項(xiàng)式近似.如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則有令則式(4-1)可簡寫為近似代替復(fù)雜的函數(shù).

式(4-2)可理解為:當(dāng)比較復(fù)雜時(shí),

我們考慮在點(diǎn)附近用n次即其中如果在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)附近,可用一次多項(xiàng)式來近似,即多項(xiàng)式來近似.由存在且此時(shí),用定義求導(dǎo)數(shù)，得于是有式(4-3)稱為在處的n階泰勒多項(xiàng)式.設(shè)存在,則定理4.12是在處的n階泰勒多項(xiàng)式.其中證只需證令則連續(xù)使用(n-1)次洛必達(dá)法則,有(4-4)式可寫成(4-4)式稱為帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式,(4-4)式中的稱為佩亞諾型余項(xiàng).其中定理4.13(泰勒中值定理

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項(xiàng).證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項(xiàng)式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.而誤差估計(jì)式為稱為f(x)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.35

求

的n階麥克勞林公式.于是注意到估計(jì)誤差其誤差取解因例4.36

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

解練習(xí)將

的多項(xiàng)式.而

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.37

利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，求

解因練習(xí)

計(jì)算

例4.38

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.39

近似計(jì)算的值，并估計(jì)誤差.在

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