1/12022北京順義高二（上）期末數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B. C. D.2.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.3.已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.84.直線與圓位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.都有可能5.某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13 C.17 D.266.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.7.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)等于（）A.0 B.1 C. D.1或8.在棱長(zhǎng)為2正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.不確定9.已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B. C.3 D.10.已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①② C.③ D.①③第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.12.已知拋物線，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.13.已知曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則符合條件的的一個(gè)整數(shù)值為_(kāi)_____.14.已知一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7得到一個(gè)新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）15.已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)變化時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)；②直線與圓可能無(wú)公共點(diǎn)；③若直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)的最小值為；④對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn).其中正確的結(jié)論是______.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在一個(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為，將球放回盒子中，然后再?gòu)暮凶又须S機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為.（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求“”的概率.17.如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.18.新疆長(zhǎng)絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長(zhǎng)，被世人譽(yù)為“棉中極品”，產(chǎn)于我國(guó)新疆吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長(zhǎng)絨棉中隨機(jī)抽測(cè)了一批棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長(zhǎng)度將棉花等級(jí)劃分如下：纖維長(zhǎng)度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級(jí)二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機(jī)抽測(cè)兩根棉花的纖維長(zhǎng)度，用樣本的頻率估計(jì)概率，求至少有一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率.19.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)使，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.20.如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）在第（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B2.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.3.已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B4.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.都有可能【答案】A【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.5.某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13 C.17 D.26【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.6.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】分析】由題意，化簡(jiǎn)即可得出雙曲線的離心率．【詳解】解：由題意，.故選：D．7.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)等于（）A.0 B.1 C. D.1或【答案】C【解析】【分析】由題意可得，則由得，從而可求出的值【詳解】由題意可得，因?yàn)?，，，所以，解得，故選：C8.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.不確定【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，所以，，，故選：A9.已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.10.已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①② C.③ D.①③【答案】D【解析】【分析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解?故答案為：.12.已知拋物線，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值即得解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以，所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：13.已知曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則符合條件的的一個(gè)整數(shù)值為_(kāi)_____.【答案】.(答案不唯一)【解析】【分析】給出一個(gè)符合條件的值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故答案為：.(答案不唯一)14.已知一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7得到一個(gè)新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）【答案】①.不變②.變大【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算平均數(shù)和方差來(lái)確定正確答案.【詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大15.已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)變化時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)；②直線與圓可能無(wú)公共點(diǎn)；③若直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)的最小值為；④對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn).其中正確的結(jié)論是______.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】③④【解析】【分析】由可判斷①；根據(jù)直線過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷②；當(dāng)直線與過(guò)圓心的直徑垂直時(shí)，求出線段的長(zhǎng)度可判斷③；把圓心代入直線的方程可判斷④.【詳解】對(duì)于①，，當(dāng)變化時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)直線與過(guò)圓心的直徑垂直時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最小，此時(shí)，故正確；對(duì)于④，把圓心代入直線，得對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，故正確.故答案為：③④.三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在一個(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為，將球放回盒子中，然后再?gòu)暮凶又须S機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為.（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求“”的概率.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用列舉法列出試驗(yàn)的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問(wèn)1詳解】由題意可知試驗(yàn)的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問(wèn)2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為17.如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量可得，即平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)直線與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小問(wèn)2詳解】，所以，由（1）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的為，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)3詳解】由已知為平面的一個(gè)法向量，且，由（1）平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.18.新疆長(zhǎng)絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長(zhǎng)，被世人譽(yù)為“棉中極品”，產(chǎn)于我國(guó)新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長(zhǎng)絨棉中隨機(jī)抽測(cè)了一批棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長(zhǎng)度將棉花等級(jí)劃分如下：纖維長(zhǎng)度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級(jí)二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機(jī)抽測(cè)兩根棉花的纖維長(zhǎng)度，用樣本的頻率估計(jì)概率，求至少有一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問(wèn)1詳解】由解得【小問(wèn)2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問(wèn)3詳解】由題意一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率19.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)使，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，進(jìn)而求得拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo).（2）設(shè)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】將代入得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】存在，理由如下：直線的方程為，或，即.拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，，即，所以.即存在點(diǎn)使.20.如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.【答案】（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問(wèn)2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過(guò)點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）在第（2）問(wèn)條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.【答案】（