PAGE1-第1課時函數(shù)的零點、二次函數(shù)的零點及其與對應方程、不等式解集之間的關(guān)系考點學習目標核心素養(yǎng)函數(shù)零點的概念理解函數(shù)零點的概念以及函數(shù)零點與方程的關(guān)系數(shù)學抽象二次函數(shù)的零點及其對應方程、不等式解集之間的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的圖像，會推斷一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法直觀想象、數(shù)學運算問題導學預習教材P112－P114的內(nèi)容，思索以下問題：1．函數(shù)零點的概念是什么？2．函數(shù)的零點與方程的根有什么關(guān)系？3．一元二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點個數(shù)與判別式Δ之間有什么關(guān)系？1．函數(shù)的零點一般地，假如函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點．■名師點撥(1)函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值為零．(2)依據(jù)零點的定義可知，求函數(shù)y＝f(x)的零點，實質(zhì)上就是解方程f(x)＝0.2．二次函數(shù)的零點及其與對應方程、不等式解集之間的關(guān)系一般地，由一元二次方程解集的狀況可知，對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：(1)當Δ＝b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有兩個元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的兩個零點，f(x)的圖像與x軸有兩個公共點(x1，0)，(x2，0)；(2)當Δ＝b2－4ac＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一個元素x0，且x0是f(x)唯一的零點，f(x)的圖像與x軸有一個公共點；(3)當Δ＝b2－4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，此時f(x)無零點，f(x)的圖像與x軸沒有公共點．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)全部的函數(shù)都有零點．()(2)若方程f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，則函數(shù)y＝f(x)的零點為(x1，0)，(x2，0)．()答案：(1)×(2)×下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是()答案：D函數(shù)f(x)＝x2－5x的零點是________．答案：0，5函數(shù)y＝x3－64x的零點個數(shù)是________．解析：y＝x3－64x＝x(x2－64)＝x(x－8)(x＋8)＝0，所以x＝0或x＝±8.答案：3求函數(shù)的零點推斷下列函數(shù)是否存在零點，假如存在，懇求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝eq\f((x－1)(x2－4x＋3),x－3).【解】(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函數(shù)f(x)存在零點，且零點為x＝－2.(2)令eq\f((x－1)(x2－4x＋3),x－3)＝0，解得x＝1，所以函數(shù)f(x)存在零點，且零點為x＝1.eq\a\vs4\al()(1)求函數(shù)f(x)的零點就是求方程f(x)＝0的解，求解時留意函數(shù)的定義域．(2)已知x0是函數(shù)f(x)的零點，則必有f(x0)＝0.1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜0，,x2－1，x＞0))的零點為________．解析：當x＜0時，x＋2＝0，則x＝－2.當x＞0時，x2－1＝0，則x＝1，x＝－1(舍)．所以函數(shù)f(x)的零點為－2和1.答案：－2和12．若2是函數(shù)f(x)＝x2－m的一個零點，則m＝________．解析：因為2是f(x)＝x2－m的一個零點，所以4－m＝0，m＝4.答案：4二次函數(shù)的零點及其與對應方程、不等式解集之間的關(guān)系角度一解一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.【解】(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的兩根為x1＝－3，x2＝eq\f(1,2)，作出函數(shù)y＝2x2＋5x－3的圖像，如圖①所示．由圖可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).(2)原不等式等價于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq\f(3－\r(3),3)，x2＝eq\f(3＋\r(3),3)，作出函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖像，如圖②所示，由圖可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).(3)因為Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有兩個相等的實根x1＝x2＝－eq\f(1,2).作出函數(shù)y＝4x2＋4x＋1的圖像如圖③所示．由圖可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，x∈R)))).(4)原不等式可化為x2－6x＋10＜0，因為Δ＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實根，所以原不等式的解集為?.eq\a\vs4\al()解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2)計算對應方程的判別式；(3)求出相應的一元二次方程的根，或依據(jù)判別式說明方程沒有實根；(4)依據(jù)函數(shù)圖像與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．角度二依據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，則a＋b的值為()A．14 B．－10C．10 D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．【解】(1)選D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解為－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且a＜0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))所以a＋b＝－14.(2)因為x2＋px＋q＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)與x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1＞0即為－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．eq\a\vs4\al()(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的橫坐標．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖像在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．1．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集為(－2，1)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像為()解析：選B.因為不等式f(x)的解集為(－2，1)，所以a＜0，解除C、D，又f(x)與坐標軸交點的橫坐標為－2，1，故選B.2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．解：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a＜0.))代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．即6x2＋5x＋1＜0，解得－eq\f(1,2)＜x＜－eq\f(1,3)，所以所求不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜－\f(1,3))))).一元二次方程根的分布問題已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程有兩個不相等實根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的取值范圍．【解】(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依題意得函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖像與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出圖像如圖所示：由圖像得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(－1)＝2＞0，,f(0)＝2m＋1＜0，,f(1)＝4m＋2＜0，,f(2)＝6m＋5＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))所以－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，即m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).(2)依據(jù)函數(shù)圖像與x軸的兩個交點均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，畫出圖像如圖所示：由圖像得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,0＜－m＜1，,f(0)＞0，,f(1)＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞1＋\r(2)或m＜1－\r(2)，,－1＜m＜0，,m＞－\f(1,2)，,m＞－\f(1,2)，))所以－eq\f(1,2)＜m＜1－eq\r(2)，即m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1－\r(2))).eq\a\vs4\al()(1)解此類問題一般從四個方面考慮：①拋物線的開口方向；②一元二次方程根的判別式；③對應區(qū)間端點函數(shù)值的符號；④拋物線的對稱軸與區(qū)間端點的位置關(guān)系．(2)對一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布總結(jié)如下表(其中f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，對于a＜0的狀況可依照a＞0的狀況列出)：根的分布(m＜n＜p，m，n，p為常數(shù))圖像滿意的條件x1≤x2＜mm＜x1≤x2x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1≤x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p在(m，n)內(nèi)有且僅有一個根f(m)·f(n)＜0或(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有兩個正根的條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)＞0，,x1·x2＝\f(c,a)＞0；))有兩個負根的條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)＜0，,x1·x2＝\f(c,a)＞0；))有一個正根一個負根的條件為x1·x2＝eq\f(c,a)＜0.設二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的兩根x1和x2滿意0＜x1＜x2＜1，求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,0＜\f(1－a,2)＜1，,g(1)＞0，,g(0)＞0，))所以0＜a＜3－2eq\r(2).故實數(shù)a的取值范圍是(0，3－2eq\r(2)).1.函數(shù)f(x)＝x2－x－1的零點有()A.0個 B.1個C.2個 D.多數(shù)個解析：選C.Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，所以方程x2－x－1＝0有兩個不相等的實根，故函數(shù)f(x)＝x2－x－1有2個零點.2.函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是()A.－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D.－eq\f(1,2)，1解析：選B.方程2x2－3x＋1＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是eq\f(1,2)，1.3.函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個零點，則b的值為()A.2 B.－2C.±2 D.3解析：選C.因為函數(shù)有一個零點，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.4.已知二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的部分圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次不等式－x2＋2x＋m＜0的解集為.解析：由圖可知，對稱軸為直線x＝1.所以此二次函數(shù)圖像與x軸的另一個交點坐標為(－1，0)，所以－x2＋2x＋m＜0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)[A基礎達標]1.下列說法中正確的個數(shù)是()①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為(－1，0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1；③y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖像與x軸的交點；④y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標.A.1 B.2C.3 D.4解析：選B.依據(jù)函數(shù)零點的定義，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1，也就是函數(shù)y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標.因此，只有說法②④正確，故選B.2.函數(shù)f(x)＝x3－4x的零點為()A.(0，0)，(2，0) B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)C.－2，0，2 D.0，2解析：選C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故選C.3.函數(shù)f(x)＝(x2－1)eq\r(x2－4)的零點個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析：選B.要使函數(shù)有意義，則x2－4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去).即x＝2或x＝－2，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2個.故選B.4.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,4)))))B.RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(3,2)))))D.?解析：選A.因為Δ＝a2＋4m>0，所以函數(shù)y＝mx2－ax－1的圖像與x軸有兩個交點，又m>0，所以原不等式的解集不行能是B、C、D選項.5.若關(guān)于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選A.由題意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞).6.函數(shù)f(x)＝2019x＋1的零點為.解析：令f(x)＝0，則x＝－eq\f(1,2019).答案：－eq\f(1,2019)7.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖像與x軸的兩個交點為(－1，0)和(3，0)，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.解析：依據(jù)二次函數(shù)的圖像知所求不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0.))若f(a)≤3，則a的取值范圍是.解析：當a≥0時，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；當a＜0時，－a2＋2a≤3，所以a＜0.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，1].答案：(－∞，1]9.已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函數(shù)f(x)的零點.(2)若函數(shù)f(x)的一個零點大于1，另一個零點小于1，求b的取值范圍.解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零點是1和3.(2)因為f(x)的零點一個大于1，另一個小于1，如圖.需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范圍為(4，＋∞).10.已知函數(shù)f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)當m為何值時，函數(shù)有兩個零點、一個零點、無零點；(2)若函數(shù)恰有一個零點在原點處，求m的值.解：(1)函數(shù)有兩個零點，則對應方程－3x2＋2x－m＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq\f(4,3)；由Δ＝0，可解得m＝eq\f(4,3)；由Δ＜0，可解得m＞eq\f(4,3).故當m＜eq\f(4,3)時，函數(shù)有兩個零點；當m＝eq\f(4,3)時，函數(shù)有一個零點；當m＞eq\f(4,3)時，函數(shù)無零點.(2)由已知得，0是對應方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.[B實力提升]11.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)B.(－4，4)C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.[－4，4]解析：選A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.12.一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的兩根均大于2，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，＋∞)) B.(－∞，－5)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－5))解析：選C.關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的兩根均大于2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝25－4＋4m≥0，,4－10＋1－m＞0，,\f(5,2)＞2，))解得－eq\f(21,4)≤m＜－5.故選C.13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的兩根，則α，β，a，b的大小關(guān)系是()A.a＜α＜β＜b B.a＜α＜b＜βC.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b解析：選A.因為α，β為f(x)＝0的兩根，所以α，β為f(x)＝(x－a)(x－b)＋2與x軸交點的橫坐標.因為a，b為(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b為g(x)與x軸交點的橫坐標.可知f(x)圖像可由g(x)圖像向上平移2個單位得到，由圖知選A.14.若函數(shù)f(x)＝2ax2＋x－eq\f(1,2)在(0，1)內(nèi)有零點，求實數(shù)a的取值范圍.解：當a＝0時，f(x)＝x－eq\f(1,2)，零點x＝eq\f(1,2)∈(0，1)，符合題意.當a≠0時，①若2ax2＋x－eq\f(1,2)＝0在(0，1)內(nèi)有兩個相等實根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0，,