第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸eq\x(\s\up1(01))正向與直線leq\x(\s\up1(02))向上的方向之間所成的角α叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為eq\x(\s\up1(03))0°.②傾斜角的范圍為eq\x(\s\up1(04))0°≤α<180°.(2)直線的斜率條件公式直線的傾斜角為α，且α≠90°k＝eq\x(\s\up1(05))tanα直線過點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y2－y1,x2－x1)2．直線的方向向量同斜率的關(guān)系若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(y,x).3．直線方程的五種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)eq\x(\s\up1(08))y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式斜率k與直線在y軸上的截距beq\x(\s\up1(09))y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線續(xù)表名稱條件方程適用范圍兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\x(\s\up1(10))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式直線在x軸，y軸上的截距分別為a，beq\x(\s\up1(11))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式—eq\x(\s\up1(12))Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．1．過點(diǎn)A(2,4)，B(1，m)兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為(－1,1)，則m＝()A．－1 B．1C．5 D．3答案C解析由題意可知eq\f(m－4,1－2)＝－1，∴m＝5.故選C.2．直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)答案D解析由直線的方程得直線的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).3．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0答案D解析直線的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．過點(diǎn)(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0答案B解析設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為2a.①當(dāng)a＝0時(shí)，所求直線經(jīng)過點(diǎn)(5,2)和(0,0)，所以直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直線過點(diǎn)(5,2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直線方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.綜上，所求直線方程為2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故選B.5．如果AC＜0且BC＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同號．又直線Ax＋By＋C＝0可化為y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)＞0，從而直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過第三象限．6．(多選)下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的有()A．直線的傾斜角越大，其斜率越大B．直線傾斜角的取值范圍是[0，π)C．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αD．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα答案ACD解析對于A，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正值，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為90°，斜率不存在，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)值，∴A錯(cuò)誤；對于B，直線傾斜角的取值范圍是[0，π)，∴B正確；對于C，一條直線的斜率為tanα，此直線的傾斜角不一定為α，∴C錯(cuò)誤；對于D，一條直線的傾斜角為α?xí)r，它的斜率為tanα或不存在，D錯(cuò)誤．故選ACD.

考向一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案B解析依題意，直線的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)∈[－1，0)，因此其傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________.答案(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．1.(多選)如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列結(jié)論正確的是()A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1C．α3<α2<α1 D．α1<α3<α2答案AC解析由題圖可得k2>k3>0，k1<0，eq\f(π,2)>α2>α3>0，且α1為鈍角，故選AC.2．(2021·新高考八省聯(lián)考)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.答案eq\f(1,3)－3解析如圖，在正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考向二求直線的方程例2求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，傾斜角α的正弦值為eq\f(4,5)；(2)經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)，并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；(3)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v＝(－3,2)．解(1)由題可知sinα＝eq\f(4,5)，則tanα＝±eq\f(4,3)，∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，∴直線l的方程為y－2＝±eq\f(4,3)(x－1)，即y＝±eq\f(4,3)(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①當(dāng)截距為0時(shí)，直線l過點(diǎn)(0,0)，(2,3)，則直線l的斜率為k＝eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，因此，直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.②當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1.∵直線l過點(diǎn)P(2,3)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，∴a＝5.∴直線l的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由題意可知所求直線斜率存在，則可設(shè)直線方程為y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)＋2.于是－2k＋3＝－eq\f(3,k)＋2，解得k＝eq\f(3,2)或k＝－1.則直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x－2)或y－3＝－(x－2)，則直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))得x＝1，y＝1，∴直線過點(diǎn)(1,1)，∵直線的一個(gè)方向向量v＝(－3,2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.1．直線方程的求法(1)直接法：根據(jù)已知條件，求出直線方程的確定條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，直接寫出直線方程．(2)待定系數(shù)法：其具體步驟為①設(shè)出直線方程的恰當(dāng)形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式)；②根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；③解方程或方程組得到待定系數(shù)；④寫出直線方程；⑤驗(yàn)證所得直線方程是否為所求直線方程，如果有遺漏需要補(bǔ)加．2．應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，需討論直線的斜率是否存在；選用截距式時(shí)，需討論直線是否過原點(diǎn)．3.已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則△ABC的邊BC上的高所在的直線方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0答案B解析因?yàn)锽(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝eq\f(3－1,1－3)＝－1，故BC邊上的高所在直線的斜率k＝1，又高線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，1)，所以其所在的直線方程為x－y＋2＝0.故選B.4．經(jīng)過A(0,2)，B(－1,0)兩點(diǎn)的直線方程為________，若其方向向量為(1，k)，則k＝________.答案2x－y＋2＝02解析經(jīng)過A(0,2)，B(－1,0)兩點(diǎn)的直線方程為eq\f(x,－1)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－y＋2＝0，所以其方向向量為(1,2)，故k＝2.5．過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為________.答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析設(shè)直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線的方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直線方程的應(yīng)用角度直線方程與不等式的結(jié)合例3過點(diǎn)P(4,1)作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A，B.(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．解設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因?yàn)閑q\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號成立．所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小，此時(shí)直線l的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因?yàn)閑q\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號成立．所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋2y－6＝0.角度直線方程與函數(shù)的結(jié)合例4為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？解如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0，20)，∴直線EF的方程為eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1(0≤x≤30)．易知當(dāng)矩形草坪的一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上時(shí)，草坪面積可取最大值，在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又eq\f(m,30)＋eq\f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－eq\f(2,3)m.∴S＝(100－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2,3)m))＝－eq\f(2,3)(m－5)2＋eq\f(18050,3)(0≤m≤30)．∴當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值，這時(shí)|EP|∶|PF|＝5∶1.∴當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分有向線段EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大．直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(如方程解的個(gè)數(shù)、根的存在問題、不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決．6.(2022·河南三門峽診斷考試)已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a＝________.答案eq\f(1,2)解析由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，四邊形的面積最?。?.如圖，在兩條互相垂直的道路l1，l2的一角，有一個(gè)電線桿，電線桿底部到道路l1的垂直距離為4米，到道路l2的垂直距離為3米，現(xiàn)在要過電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道，使得人行直道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長度為多少米？解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)人行道所在直線方程為y－4＝k(x－3)(k<0)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)，0))，B(0,4－3k)，所以△ABO的面積S＝eq\f(1,2)(4－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24－9k－\f(16,k)))，因?yàn)閗<0，所以－9k－eq\f(16,k)≥2eq\r(－9k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,k))))＝24，當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝－eq\f(16,k)，即k＝－eq\f(4,3)時(shí)取等號．此時(shí)，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的長度為eq\r(62＋82)＝10米．一、單項(xiàng)選擇題1．直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)答案A解析斜率k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝－eq\f(\f(1,2),－\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3).故選A.2．過點(diǎn)(1,2)且方向向量為(－1,2)的直線方程為()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0答案A解析由題意可知直線的斜率k＝－2，由點(diǎn)斜式方程得，所求直線方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.3．已知三點(diǎn)A(2，－3)，B(4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(k,2)))在同一條直線上，則k的值為()A．12 B．9C．－12 D．9或12答案A解析由kAB＝kAC，得eq\f(3－－3,4－2)＝eq\f(\f(k,2)－－3,5－2)，解得k＝12.故選A.4．已知直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3))答案D解析直線方程可化為2x＋1－m(y＋3)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,y＋3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－3，))∴直線恒過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3)).故選D.5．直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()A．a(chǎn)b>0，bc<0 B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0答案A解析由于直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).易知－eq\f(a,b)<0且－eq\f(c,b)>0，故ab>0，bc<0.6.(2021·長沙一中模擬)如圖，在矩形ABCD中，BC＝eq\r(3)AB，直線AC的斜率為eq\f(\r(3),3)，則直線BC的斜率為()A.eq\r(3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)答案A解析由題意，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，BC＝eq\r(3)AB，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),3)，即∠ACB＝eq\f(π,6).設(shè)直線AC的傾斜角為θ，則tanθ＝eq\f(\r(3),3)，∴直線BC的傾斜角為θ＋eq\f(π,6)，故kBC＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(tanθ＋tan\f(π,6),1－tanθtan\f(π,6))＝eq\f(\f(\r(3),3)＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3)×\f(\r(3),3))＝eq\r(3).故選A.7.(2021·江門一模)如圖，平面四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，直線AB的斜率為eq\f(2,3)，直線BC的斜率為－eq\f(1,2)，則tan∠ABC＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(7,8)C．－eq\f(7,4) D．－eq\f(7,2)答案C解析由三角形的外角公式可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，所以tan∠ABC＝tan(∠xCB－∠xAB)＝eq\f(kBC－kAB,1＋kBCkAB)＝eq\f(－\f(1,2)－\f(2,3),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(2,3))＝－eq\f(7,4).故選C.8．已知A(2,5)，B(4,1)．若點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，則2x－y的最大值為()A．－1 B．3C．7 D．8答案C解析依題意得kAB＝eq\f(5－1,2－4)＝－2，所以線段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]．設(shè)h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝4時(shí)，h(x)max＝4×4－9＝7.9．設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(3,2)，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(4,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))答案B解析易知直線ax＋y＋2＝0過定點(diǎn)P(0，－2)，kPA＝－eq\f(5,2)，kPB＝eq\f(4,3)，因?yàn)橹本€ax＋y＋2＝0的斜率為－a，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，根據(jù)圖象(圖略)可知－eq\f(5,2)＜－a＜eq\f(4,3)，解得－eq\f(4,3)＜a＜eq\f(5,2)，故選B.10．(2022·青島摸底)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為()A.eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)答案D解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))可知f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，故a＝－b，從而直線的斜率k＝－1，所以直線的傾斜角為eq\f(3π,4)，故選D.二、多項(xiàng)選擇題11．下列說法正確的是()A．截距相等的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y軸的直線C．經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ(x－1)D．經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案BD解析對于A，若直線過原點(diǎn)，橫縱截距都為零，則不能用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，所以A不正確；對于B，當(dāng)m＝0時(shí)，平行于y軸的直線方程為x＝2，所以B正確；對于C，若直線的傾斜角為90°，則該直線的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C不正確；對于D，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線上的任意一點(diǎn)，根據(jù)eq\o(P1P2,\s\up6(→))∥eq\o(P1P,\s\up6(→))可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正確．故選BD.12．已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，則下列命題正確的是()A．直線的傾斜角是π－αB．無論α如何變化，直線不過原點(diǎn)C．直線的斜率一定存在D．當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1答案BD解析直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，A不正確；當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直線必不過原點(diǎn)，B正確；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，直線斜率不存在，C不正確；當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)|eq\f(1,－sinα)|·|eq\f(1,－cosα)|＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，D正確．三、填空題13．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為________.答案16解析根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又因?yàn)镃(－2，－2)在該直線上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因?yàn)閍b>0，故a<0，b<0.根據(jù)基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4eq\r(ab)，從而eq\r(ab)≤0(舍去)或eq\r(ab)≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號，即ab的最小值為16.14．過點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________.答案5x＋3y＝0或x－y＋8＝0解析①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－eq\f(5,3)x，即5x＋3y＝0；②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入點(diǎn)(－3,5)，得a＝－8，即直線方程為x－y＋8＝0.綜上，直線方程為5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.15．在△ABC中，已知A(1,1)，AC邊上的高線所在的直線方程為x－2y＝0，AB邊上的高線所在的直線方程為3x＋2y－3＝0.則BC邊所在的直線方程為________.答案2x＋5y＋9＝0解析由題意，得kAC＝－2，kAB＝eq\f(2,3).∴l(xiāng)AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，lAB：y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.由eq