專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第5講函數(shù)的極值、最值考情分析KAOQINGFENXI利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是重點(diǎn)考查內(nèi)容，多在選擇題、填空題靠后的位置考查，或以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，屬綜合性問題.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三專題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值PARTONE核心提煉判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，主要有兩點(diǎn)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號零點(diǎn)，即為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).(2)利用函數(shù)f′(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點(diǎn).例1

已知函數(shù)f(x)＝alnx＋

x2－(a＋1)x＋1.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；所以f′(x)＝x－1,所以k＝f′(2)＝1,所以切線方程為y＝x－1.(2)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).令f′(x)＝0，即x2－(a＋1)x＋a＝0，解得x＝1或x＝a.①當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值.所以a≤0成立.②當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x(0，a)a(a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值.所以0<a<1成立.③當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，沒有極小值，不成立.④當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x(0,1)1(1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值.所以a>1不成立.綜上所述，a<1.易錯(cuò)提醒(1)不能忽略函數(shù)的定義域.(2)f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，即f′(x)的變號零點(diǎn)才是f(x)的極值點(diǎn)，所以判斷f(x)的極值點(diǎn)時(shí)，除了找f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根x0外，還需判斷f(x)在x0左側(cè)和右側(cè)的單調(diào)性.(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.跟蹤演練1

(1)(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則A.a<b

B.a>bC.ab<a2

D.ab>a2√解析方法一(分類與整合法)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b).(1)當(dāng)a>0時(shí)，(2)當(dāng)a<0時(shí)，綜上，a>0且b>a滿足題意，a<0且b<a也滿足題意.因此，可知必有ab>a2成立.方法二當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x－1)2·(x－2)，畫出該函數(shù)的圖象如圖1所示，可知x＝1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意.從而，根據(jù)a＝1，b＝2可判斷選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤；圖1當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，畫出該函數(shù)的圖象如圖2所示，可知x＝－1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意.從而，根據(jù)a＝－1，b＝－2可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤.圖2方法三當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖3所示，觀察可知b>a.當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖4所示，觀察可知a>b.綜上，可知必有ab>a2成立.圖3圖4√解析因?yàn)閒(x)＝ex－ax2＋2ax有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(x)＝0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以ex－2ax＋2a＝0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以ex＝2a(x－1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，顯然a≠0，當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，2考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值PARTTWO1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.2.若函數(shù)含有參數(shù)或區(qū)間含有參數(shù)，則需對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.核心提煉例2

(1)函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在區(qū)間[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29(a>0)，則a，b的值為A.a＝2，b＝－29 B.a＝3，b＝2C.a＝2，b＝3 D.以上都不對√解析函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因?yàn)閍>0，所以由f′(x)<0，計(jì)算得出0<x<4，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，由f′(x)>0，計(jì)算得出x>4或x<0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)在[－1,0]上單調(diào)遞增，在[0,2]上單調(diào)遞減，即函數(shù)在x＝0處取得極大值同時(shí)也是最大值，則f(0)＝b＝3，則f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，則f(－1)>f(2)，即函數(shù)的最小值為f(2)＝－16a＋3＝－29，計(jì)算得出a＝2，b＝3.(2)(2021·新高考全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_____.1解析函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域?yàn)?0，＋∞).當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；綜上，f(x)min＝1.易錯(cuò)提醒(1)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值，要通過比較大小才能下結(jié)論.(2)求函數(shù)無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值，還需研究單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)圖象，借助圖象得到函數(shù)的最值.跟蹤演練2

(1)(2021·重慶聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在[0，π]上的最大值為√解析由題意得，f′(x)＝1－2sinx，(2)(2021·蕪湖模擬)已知關(guān)于x的不等式x3－ax2≥lnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為√解析因?yàn)椴坏仁絰3－ax2≥lnx恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又h(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得最小值g(1)＝1，所以a≤1.3考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用PARTTHREE核心提煉構(gòu)造函數(shù)解方程、不等式的解題策略觀察題設(shè)，化簡變形所給的條件，構(gòu)造函數(shù)使化簡變形后的代數(shù)式為所構(gòu)造新函數(shù)的函數(shù)值，再利用新函數(shù)的單調(diào)性解方程或不等式.例3

(1)(2021·威海模擬)若關(guān)于x的方程lnx－ax＝x2在(0，＋∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞)√設(shè)g(x)＝1－lnx－x2，x>0，所以g(x)＝1－lnx－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(1)＝0.故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0.f(x)max＝f(1)＝－1，且x→0時(shí)，f(x)→－∞；x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，則a的取值范圍為(－∞，－1).A.a>2b

B.a＝2bC.a<2b

D.a>b2√g′(x)>0?x>0?f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；g′(x)<0?x<0?f′(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f′(x)min＝f′(0)＝0，即f′(x)≥0恒成立，即f(a)＝f(2b)?a＝2b.易錯(cuò)提醒(1)分離參數(shù)時(shí)，等式或不等式兩邊符號變化、以及除數(shù)能否等于0，易忽視.(2)作圖時(shí)，端點(diǎn)值的變化趨勢易忽視.跟蹤演練3

(2021·晉中模擬)若存在實(shí)數(shù)x，y滿足lnx－x＋3≥ey＋e－y，則x＋y等于A.－1

B.0

C.1

D.e√解析令函數(shù)f(x)＝lnx－x＋3，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝1時(shí)，可得f(x)max＝f(1)＝ln1－1＋3＝2，令函數(shù)g(y)＝ey＋e－y，則ey＋e－y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時(shí)取等號，又由lnx－x＋3≥ey＋e－y，所以lnx－x＋3＝ey＋e－y＝2，所以x＝1，y＝0，所以x＋y＝1.4專題強(qiáng)化練PARTFOUR一、單項(xiàng)選擇題1234567891011121314√12345678910111213142.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)的部分圖象如圖所示，則A.f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減B.f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)C.f(x)的一個(gè)極大值為f(－1)D.f(x)的最大值為f(1)√1234567891011121314解析由f′(x)的部分圖象可得，在(－1,1)上，f′(x)>0，所以f(x)單調(diào)遞增，所以A不正確，B正確；由f′(－1)＝0，導(dǎo)函數(shù)在x＝－1左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，所以f(－1)是f(x)的一個(gè)極小值，所以C不正確；同理可知f(1)是f(x)的一個(gè)極大值，并不一定是最大值，所以D不正確.1234567891011121314√1234567891011121314解析∵f(x)＝2lnx＋ax2－3x，令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝2.1234567891011121314當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x1(1,2)2(2,3]f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗12345678910111213141234567891011121314√1234567891011121314所以1<a<

.12345678910111213145.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)f(x)＝xx(x>0)，我們可以作變形：f(x)＝xx＝

＝exlnx＝et(t＝xlnx)，所以f(x)可看作是由函數(shù)f(t)＝et和g(x)＝xlnx復(fù)合而成的，即f(x)＝xx(x>0)為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對于初等函數(shù)h(x)＝

(x>0)，h(x)的極值點(diǎn)為A.(e,0)

B.(1,0)

C.e

D.1√1234567891011121314解析根據(jù)材料知h(x)＝所以h′(x)＝令h′(x)＝0，得x＝e.當(dāng)0<x<e時(shí)，h′(x)>0，此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，h′(x)<0，此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)有極大值且為h(e)＝

，無極小值.12345678910111213146.(2021·紹興模擬)函數(shù)f(x)＝x＋2sinx(x>0)的所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列{an}，設(shè)Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則sinS2021等于√1234567891011121314解析f′(x)＝1＋2cosx(x>0)，f′(x)是周期為2π的周期函數(shù)，畫出f′(x)在(0,2π]上的圖象如圖所示，由圖可知f(x)在區(qū)間(0,2π]上的極小值點(diǎn)為x＝

.12345678910111213141234567891011121314二、多項(xiàng)選擇題7.(2021·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－3lnx－1，則A.f(x)的極大值為0B.曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線為x軸C.f(x)的最小值為0D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)√√1234567891011121314當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以f(x)的極小值，也是最小值為f(1)＝0，無極大值，在定義域內(nèi)不單調(diào)，故C正確，A，D錯(cuò)誤；1234567891011121314對于B，由f(1)＝0及f′(1)＝0，所以y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－0＝0(x－1)，即y＝0，故B正確.8.已知函數(shù)f(x)＝eax(e是自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝x2的圖象在(0,16]上有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可能是√1234567891011121314√解析由函數(shù)f(x)＝eax，g(x)＝x2的圖象在(0,16]上有兩個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程eax＝x2在(0,16]上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即方程ax＝2lnx在(0,16]上有兩個(gè)不等實(shí)根，1234567891011121314當(dāng)0<x<e時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)e<x≤16時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，故可由此作出h(x)的大致圖象，如圖所示，1234567891011121314結(jié)合選項(xiàng)可知A，B符合題意.1234567891011121314三、填空題9.寫出一個(gè)存在極值的奇函數(shù)f(x)＝_________________.sinx(答案不唯一)解析正弦函數(shù)f(x)＝sinx為奇函數(shù)，且存在極值.10.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx的圖象在(1，f(1))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)y＝f(x)的最小值為_________.12345678910111213141234567891011121314解析函數(shù)f(x)＝x2＋alnx，則f(1)＝12＋aln1＝1，所以f(x)＝x2－lnx(x>0)，1234567891011121314123456789101112131411.(2021·南寧模擬)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＋b＝_____.－71234567891011121314解析由題意知，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因?yàn)閒(x)在x＝1處取得極值10，檢驗(yàn)知，當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，1234567891011121314當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，符合題意.所以a＋b＝－7.12345678910111213143ln3－81234567891011121314設(shè)f(x1)＝f(x2)＝t，則0≤t<2，由f(x2)＝lnx2＝t，可得x2＝et.令g(t)＝x1－x2＝3t－et－5，其中0≤t<2