高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省馬鞍山市2023-2024學年高一上學期2月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，集合，而，所以.故選：A.2.已知函數(shù)，則（）A. B.-3 C. D.【答案】C【解析】依題意，，所以.故選：C.3.下列直線中，與函數(shù)的圖象不相交的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函數(shù)中，，解得，函數(shù)的定義域為，顯然，因此直線與函數(shù)的圖象相交，直線與函數(shù)的圖象不相交，A不是，C是；函數(shù)的值域為，因此直線，與函數(shù)的圖象都相交，BD不是.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，而，所以.故選：B.5.函數(shù)的零點屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，函數(shù)在上單調遞增，而，所以函數(shù)的零點屬于區(qū)間是.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由兩邊平方得：，而，，則，因此，所以.故選：D.7.已知，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意若，則指數(shù)函數(shù)單調遞增，并過定點，函數(shù)單調遞減，并過定點，而函數(shù)與函數(shù)關于軸對稱，所以單調遞增，并過定點，對比選項可知，只有B選項符合題意.故選：B.8.已知函數(shù)，下列結論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上有3個零點 D.的最小值為-1【答案】C【解析】函數(shù)定義域為R，對于A，，是偶函數(shù)，又，因此不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，當時，，而函數(shù)在上單調遞減，因此在區(qū)間上單調遞增，B錯誤；對于C，當時，，由，得，當時，，由，得或，因此在區(qū)間上有3個零點，C正確；對于D，當時，，，由是偶函數(shù)，得，，D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.命題“”的否定是“”B.C.“”是“在上單調遞增”的充要條件D.若，則【答案】BD【解析】對于A：命題“”的否定是“，故A錯誤；對于B：因為，所以是真命題，故B正確；對于C：當時，即在上單調遞增，故C錯誤；對于D：若，則，即，故D正確.故選：BD.10.若角是的三個內角，則下列結論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD.11.若均為正數(shù)，且滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ACD【解析】正數(shù)滿足，對于A，由，得，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當，即時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當，即取等號，C正確；對于D，，當且僅當，即時取等號，D正確.故選：ACD.12.已知實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，得，令函數(shù)，函數(shù)在上分別遞增、遞減，因此函數(shù)在上遞增，而不等式，則，即有，，A錯誤，B正確；顯然，因此，，CD正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.13.已知，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由題意，所以，即實數(shù)的取值范圍為.14.已知冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)___________.【答案】3【解析】冪函數(shù)在上單調遞增，則，解得，所以實數(shù).15.寫出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程：___________.【答案】（答案不唯一，滿足均可）【解析】函數(shù)中，由，得，因此函數(shù)圖象的對稱軸方程是，所以函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是.16.把一條線段分割為兩部分，使較長部分的長度與全長的比值等于較短與較長部分的長度的比值，這個比值稱為黃金分割比(簡稱黃金比).黃金比在建筑、藝術和科學等領域中都有廣泛應用.我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它滿足較短邊與較長邊的長度之比等于黃金比.由上述信息可求得___________.【答案】【解析】設把一條長度為線段分割為兩部分，較長部分的長度為，較短部分的長度為，由題意得，即，令，則，整理得，解得，又，所以，于是黃金分割比為.等腰三角形中，，如圖：由題意可得，，又，所以.四、解答題，本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內.17.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）解不等式，得，于是，或，當時，，所以或.（2）由是的充分不必要條件，得是的真子集，則或，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農產業(yè)，提升特色農產品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.（1）求關于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）如何設計展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解：（1）由寬為米、長為米的長方形展牌,得,整理得，由，得，即，解得，所以關于的函數(shù)解析式是，.（2）展牌的周長，當且僅當，即時取等號，此時，所以設計展牌的長為9米和寬為3米，才能使展牌的周長最小，最小值為24米.20.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求實數(shù)的值.解：（1）依題意，，由，得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）當時，，則，即，令，則，顯然，當時，函數(shù)在上單調遞減，于是，解得，當時，函數(shù)在上單調遞增，于是，解得，所以實數(shù)的值為或.21.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，函數(shù)定義域為R，則，解得，當時，，定義域為全體實數(shù)，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，滿足題意.（2）由（1）可知單調遞增，理由如下：不妨設，則，因為，所以，所以，即，所以函數(shù)單調遞增.（3）由題意，所以實數(shù)的取值范圍為.22.已知，且.（1）求的值及的最小正周期；（2）將的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到的圖象.若關于的方程在有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，，由，得，解得，所以，的最小正周期為.（2）由（1）知，依題意，，當時，，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)值從增大到1，在上單調遞減，函數(shù)值從1減小到，關于的方程在有兩個不同的根，即函數(shù)在上的圖象與直線有兩個交點，在同一坐標系內作出直線與函數(shù)在上的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍是.安徽省馬鞍山市2023-2024學年高一上學期2月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，集合，而，所以.故選：A.2.已知函數(shù)，則（）A. B.-3 C. D.【答案】C【解析】依題意，，所以.故選：C.3.下列直線中，與函數(shù)的圖象不相交的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函數(shù)中，，解得，函數(shù)的定義域為，顯然，因此直線與函數(shù)的圖象相交，直線與函數(shù)的圖象不相交，A不是，C是；函數(shù)的值域為，因此直線，與函數(shù)的圖象都相交，BD不是.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，而，所以.故選：B.5.函數(shù)的零點屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，函數(shù)在上單調遞增，而，所以函數(shù)的零點屬于區(qū)間是.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由兩邊平方得：，而，，則，因此，所以.故選：D.7.已知，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意若，則指數(shù)函數(shù)單調遞增，并過定點，函數(shù)單調遞減，并過定點，而函數(shù)與函數(shù)關于軸對稱，所以單調遞增，并過定點，對比選項可知，只有B選項符合題意.故選：B.8.已知函數(shù)，下列結論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上有3個零點 D.的最小值為-1【答案】C【解析】函數(shù)定義域為R，對于A，，是偶函數(shù)，又，因此不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，當時，，而函數(shù)在上單調遞減，因此在區(qū)間上單調遞增，B錯誤；對于C，當時，，由，得，當時，，由，得或，因此在區(qū)間上有3個零點，C正確；對于D，當時，，，由是偶函數(shù)，得，，D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.命題“”的否定是“”B.C.“”是“在上單調遞增”的充要條件D.若，則【答案】BD【解析】對于A：命題“”的否定是“，故A錯誤；對于B：因為，所以是真命題，故B正確；對于C：當時，即在上單調遞增，故C錯誤；對于D：若，則，即，故D正確.故選：BD.10.若角是的三個內角，則下列結論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD.11.若均為正數(shù)，且滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ACD【解析】正數(shù)滿足，對于A，由，得，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當，即時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當，即取等號，C正確；對于D，，當且僅當，即時取等號，D正確.故選：ACD.12.已知實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，得，令函數(shù)，函數(shù)在上分別遞增、遞減，因此函數(shù)在上遞增，而不等式，則，即有，，A錯誤，B正確；顯然，因此，，CD正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.13.已知，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由題意，所以，即實數(shù)的取值范圍為.14.已知冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)___________.【答案】3【解析】冪函數(shù)在上單調遞增，則，解得，所以實數(shù).15.寫出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程：___________.【答案】（答案不唯一，滿足均可）【解析】函數(shù)中，由，得，因此函數(shù)圖象的對稱軸方程是，所以函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是.16.把一條線段分割為兩部分，使較長部分的長度與全長的比值等于較短與較長部分的長度的比值，這個比值稱為黃金分割比(簡稱黃金比).黃金比在建筑、藝術和科學等領域中都有廣泛應用.我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它滿足較短邊與較長邊的長度之比等于黃金比.由上述信息可求得___________.【答案】【解析】設把一條長度為線段分割為兩部分，較長部分的長度為，較短部分的長度為，由題意得，即，令，則，整理得，解得，又，所以，于是黃金分割比為.等腰三角形中，，如圖：由題意可得，，又，所以.四、解答題，本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內.17.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）解不等式，得，于是，或，當時，，所以或.（2）由是的充分不必要條件，得是的真子集，則或，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農產業(yè)，提升特色農產品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.（1）求關于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）如何設計展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解：（1）由寬為米、長為米的長方形展牌,得,整理得，由，得，即，解得，所以關于的函數(shù)解析式是，.（2）展牌的周長，當且僅當，即時取等號，此時，所以設計展牌的長為9米和寬為3米，才能使展牌的周長最小，最小值為24米.20.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求實數(shù)的值.解：（1）依題意，，由，得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）當時，，則，即，令，則，顯然，當時，函數(shù)在上單調遞減，于是，解得，當時，函數(shù)在上單調遞增，于是，解得，所以實數(shù)的值為或.21.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，函數(shù)定義域為R，則，解得，當時，，定義域為全體實數(shù)，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，滿足題意.（2）由（1）可知單調遞增，理由如下：不妨設，則，因