高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，則傾斜角為.故選：D.2.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】由已知得，又，所以.故選：C.3.如圖，在平行六面體中，E為延長線上一點，，則可以表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】因為若，則，解得或，當時，直線與直線重合，所以，若時，所以“”是“”的充要條件；故選：C5.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長為（）A.10.5尺 B.11.5尺 C.12.5尺 D.13.5尺【答案】C【解析】設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長為等差數(shù)列的第一項到十二項，公差為，根據(jù)題意可得，即，解得，所以，即立春的日影子長為12.5尺.故選：C.6.已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線上動點，點Q為圓上動點，則的最小值為（）A5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】拋物線的焦點為，準線，設(shè)圓的圓心為，過作準線的垂線，垂足為，所以，由圖觀察可得當三點共線，且點為線段與圓的交點，所以.故選：B.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，，與y軸交于點M.若（O為坐標原點），則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由點M在y軸上，故，又，由，故與相似，又，故，即，由雙曲線定義可知，，又點P是C的右支上一點，故、，則有，即，故有，即，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.8.已知等比數(shù)列的前n項和為，則下列說法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于AC，當時，，故，；當時，，由于與同號，故，而的符號隨正負變化，故A正確，C錯誤；對于BD，當時，，故，，當時，，顯然，分以下幾種情況，當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；故當時，與可正可負，故排除BD.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知方程（m為實數(shù)）表示的曲線C，則（）A.曲線C不可能表示一個圓B.曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D.曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】對于A：，無解，曲線C不可能表示一個圓，A正確：對于B：，無解，曲線C不可以表示焦點在x軸上的橢圓，B錯誤；對于C：，解得，曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓，C正確；對于D：，解得，曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線，D正確.故選：ACD.10.已知空間三點，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.存在唯一的實數(shù)x使B.對任意實數(shù)，三點都不共線C.當時，與夾角的余弦值是D.當時，是平面的一個法向量【答案】BD【解析】對于A：，若，則，解得或，A錯誤；對于B：假設(shè)存在實數(shù)x，A，B，C三點共線，則存在實數(shù)，使，所以，方程組無解，故對任意實數(shù)，三點都不共線，B正確；對于C：當時，，所以，C錯誤；對于D：當時，，且根據(jù)選項B可得，所以是平面的一個法向量，D正確.故選：BD.11.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當時，的最大值為21C.數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為D.記數(shù)列的前項和為，則最大【答案】AD【解析】，,與異號，又，，且對于A：由可得，A正確；對于B：，，故當時，的最大值為，B錯誤；對于C：，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，C錯誤；對于D：因為，，所以，所以數(shù)列的前項和為，則最大，D正確.故選：AD.12.已知O為坐標原點，點在拋物線上，拋物線的焦點為F，過點的直線l交拋物線C于P，Q兩點（點P在點B，Q的之間），則（）A.直線與拋物線C相切BC.若P是線段的中點，則D.存在直線l，使得【答案】AC【解析】由題意點在拋物線上，所以，解得，即拋物線方程為，對于A，，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，則，所以直線與拋物線相切于點，故A正確；對于B，設(shè)過點的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，則，則，所以，則，所以，故B錯誤；對于C，若P是線段的中點，則有，，即，故C正確；對于D，若，則，即，解得，但此時，即直線與拋物線相切，不符合題意，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則____________.【答案】【解析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)得成等差數(shù)列，所以，即，解得.故答案為：.14.寫出一個同時滿足下列條件①②的圓的方程：__________.①與圓相切，②與x軸相切.【答案】(答案不唯一)【解析】①與圓相切，②與x軸相切，如圖，作出符合上述條件的圓，可得其方程是.故答案為：.15.已知正四面體的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是，的中點，則的值為______.【答案】【解析】因為正四面體的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是，的中點，則，，，則，故答案為：.16.設(shè)F是雙曲線的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若的內(nèi)切圓與x軸切于點N，且，則C的離心率為____________________.【答案】【解析】結(jié)合題意：雙曲線的漸近線方程為：，即.所以F到漸近線的距離為，所以，則的內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)內(nèi)切圓與FM切于點P，則，由，得,即,則，，由，得．即,由于，解得．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.給出以下三個條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，______．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以．（2）由題意知，∴①②①－②得∴，即.18.已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）求過點與圓C相切的直線方程.解：（1）設(shè)圓的標準方程為，點和的中點為，滿足，所以線段是直徑，，圓心為，所以圓的標準方程為；（2）過點，斜率不存在的直線方程為，此時圓心到直線的距離為3，即直線不與圓相切；當過點，斜率存在的直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得：，所以切線方程為.19.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．（1）求直線\到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．解：（1）建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，因為，所以，即，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.20.記數(shù)列的前n項和為，已知，.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和，求證：.解：（1）由題意可知，，當時，，兩式相減得，整理為，，當時，，由，可得，，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，，當時，，，當時，，滿足上式，所以，則，，，得證.21.如圖,已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長為2的等邊三角形，，E是線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）若（），是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）在中，，則，所以，所以，又，面，，所以面，又面，所以平面平面；（2）若（），假設(shè)存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，如圖，以為坐標原點，以的方向為軸正方向，以的方向為軸正方向，過作面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，，，設(shè)面的法向量為，則，取得，設(shè)面的法向量為，則，取，得，因為平面和平面夾角的余弦值為，所以，整理得，解得或（舍去）所以存在，使得平面和平面夾角的余弦值為.22.如圖，已知橢圓的長軸長為4,離心率為,過點作直線l交橢圓于x軸上方兩點M，N，點M在點N左側(cè)，直線和交于點G.（1）求點G的橫坐標；（2）若和的面積分別記為和，求的取值范圍.解：（1）由題：橢圓的長軸長為4，離心率為，所以，解得：．所以橢圓．由題：直線l斜率存在大于0，設(shè)直線l方程為：，與橢圓聯(lián)立，消去得到：．設(shè)，．直線方程為：；直線方程為：；聯(lián)立解得：，所以點G的橫坐標為．（2）由題令則，所以故的取值范圍是．江蘇省無錫市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，則傾斜角為.故選：D.2.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】由已知得，又，所以.故選：C.3.如圖，在平行六面體中，E為延長線上一點，，則可以表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】因為若，則，解得或，當時，直線與直線重合，所以，若時，所以“”是“”的充要條件；故選：C5.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長為（）A.10.5尺 B.11.5尺 C.12.5尺 D.13.5尺【答案】C【解析】設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長為等差數(shù)列的第一項到十二項，公差為，根據(jù)題意可得，即，解得，所以，即立春的日影子長為12.5尺.故選：C.6.已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線上動點，點Q為圓上動點，則的最小值為（）A5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】拋物線的焦點為，準線，設(shè)圓的圓心為，過作準線的垂線，垂足為，所以，由圖觀察可得當三點共線，且點為線段與圓的交點，所以.故選：B.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，，與y軸交于點M.若（O為坐標原點），則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由點M在y軸上，故，又，由，故與相似，又，故，即，由雙曲線定義可知，，又點P是C的右支上一點，故、，則有，即，故有，即，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.8.已知等比數(shù)列的前n項和為，則下列說法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于AC，當時，，故，；當時，，由于與同號，故，而的符號隨正負變化，故A正確，C錯誤；對于BD，當時，，故，，當時，，顯然，分以下幾種情況，當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；當時，，，則，此時；故當時，與可正可負，故排除BD.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知方程（m為實數(shù)）表示的曲線C，則（）A.曲線C不可能表示一個圓B.曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D.曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】對于A：，無解，曲線C不可能表示一個圓，A正確：對于B：，無解，曲線C不可以表示焦點在x軸上的橢圓，B錯誤；對于C：，解得，曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓，C正確；對于D：，解得，曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線，D正確.故選：ACD.10.已知空間三點，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.存在唯一的實數(shù)x使B.對任意實數(shù)，三點都不共線C.當時，與夾角的余弦值是D.當時，是平面的一個法向量【答案】BD【解析】對于A：，若，則，解得或，A錯誤；對于B：假設(shè)存在實數(shù)x，A，B，C三點共線，則存在實數(shù)，使，所以，方程組無解，故對任意實數(shù)，三點都不共線，B正確；對于C：當時，，所以，C錯誤；對于D：當時，，且根據(jù)選項B可得，所以是平面的一個法向量，D正確.故選：BD.11.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當時，的最大值為21C.數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為D.記數(shù)列的前項和為，則最大【答案】AD【解析】，,與異號，又，，且對于A：由可得，A正確；對于B：，，故當時，的最大值為，B錯誤；對于C：，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，C錯誤；對于D：因為，，所以，所以數(shù)列的前項和為，則最大，D正確.故選：AD.12.已知O為坐標原點，點在拋物線上，拋物線的焦點為F，過點的直線l交拋物線C于P，Q兩點（點P在點B，Q的之間），則（）A.直線與拋物線C相切BC.若P是線段的中點，則D.存在直線l，使得【答案】AC【解析】由題意點在拋物線上，所以，解得，即拋物線方程為，對于A，，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，則，所以直線與拋物線相切于點，故A正確；對于B，設(shè)過點的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，則，則，所以，則，所以，故B錯誤；對于C，若P是線段的中點，則有，，即，故C正確；對于D，若，則，即，解得，但此時，即直線與拋物線相切，不符合題意，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則____________.【答案】【解析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)得成等差數(shù)列，所以，即，解得.故答案為：.14.寫出一個同時滿足下列條件①②的圓的方程：__________.①與圓相切，②與x軸相切.【答案】(答案不唯一)【解析】①與圓相切，②與x軸相切，如圖，作出符合上述條件的圓，可得其方程是.故答案為：.15.已知正四面體的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是，的中點，則的值為______.【答案】【解析】因為正四面體的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是，的中點，則，，，則，故答案為：.16.設(shè)F是雙曲線的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若的內(nèi)切圓與x軸切于點N，且，則C的離心率為____________________.【答案】【解析】結(jié)合題意：雙曲線的漸近線方程為：，即.所以F到漸近線的距離為，所以，則的內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)內(nèi)切圓與FM切于點P，則，由，得,即,則，，由，得．即,由于，解得．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.給出以下三個條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，______．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以．（2）由題意知，∴①②①－②得∴，即.18.已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）求過點與圓C相切的直線方程.解：（1）設(shè)圓的標準方程為，點和的中點為，滿足，所以線段是直徑，，圓心為，所以圓的標準方程為；（2）過點，斜率不存在的直線方程為，此時圓心到直線的距離為3，即直線不與圓相切；當過點，斜率存在的直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得：，所以切線方程為.19.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．（1）求直線\到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．解