第11章數(shù)的開(kāi)方

11.1平方根與立方根

1.平方根

第1課時(shí)平方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解平方根的概念及表示方法；

2.理解并掌握平方根的性質(zhì)(重點(diǎn))；

3.理解開(kāi)平方運(yùn)算，體會(huì)數(shù)學(xué)中的互逆思想(難點(diǎn)).

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

填一填：10的平方等于,-10的平方等于.

二、新知預(yù)習(xí)

試一試：根據(jù)上面的填空，你認(rèn)為平方等于100的數(shù)為.

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1:平方根的概念及求法

【概念提出】一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的.

H求下列各數(shù)的平方根：

(1)4；(2)0.01：(3)"；(4碌.

【針對(duì)訓(xùn)練】求下列各數(shù)的平方根：

169

(1)25；(2)0.36；(3)(-1.7)2；(4)——.

900

探究點(diǎn)2：平方根的性質(zhì)

問(wèn)題1：根據(jù)“試一試”中的填空，如果a是正數(shù)，a的平方根有幾個(gè)，他們有什么關(guān)系？

問(wèn)題2：根據(jù)定義，你認(rèn)為0的平方根是多少？-4有平方根嗎？為什么？

【要點(diǎn)歸納】一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為;0只有個(gè)平方根，它

的平方根是一；負(fù)數(shù)一平方根.

醞一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a+l和a-4,求這個(gè)數(shù).

【方法總結(jié)】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為,即它們的和為.

【針對(duì)訓(xùn)練】一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和m-4,則m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？

探究點(diǎn)3：開(kāi)平方

【概念提出】我們把求一個(gè)數(shù)的的運(yùn)算，叫做.

麗求下列各式中x的值.

(1)X2=36；(2)81X2—4=0.

【方法總結(jié)】利用平方根的定義解方程，從而求出未知數(shù)的值，一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),

它們互為相反數(shù)，不要漏掉負(fù)平方根.

【針對(duì)訓(xùn)練】

求下列各式中的x的值.

(1)(X-1)2=9.；(2)49(X2+1)=50.

二、課堂小結(jié)

內(nèi)容

平方根的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的_________.

平方根的性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有____個(gè)平方根，它們互為_(kāi)________.

0只有_____個(gè)平方根，它的平方根是____,負(fù)數(shù)______平方根.

開(kāi)平方我們把求一個(gè)數(shù)的_______的運(yùn)算，叫做_________.

當(dāng)堂檢測(cè)

I.9的平方根是()

A.3B.±3C.-3D.±9

2.3的平方根是（）

81

A.旦B._11C.+紅D.

9939

3.下列說(shuō)法正確的是（)

A.一定沒(méi)有平方根B.4是16的一個(gè)平方根

C.16的平方根是4D.-9的平方根是±3

4.81的平方根是_______；0.04的平方根是72的平方根是_____

（?1）2的平方根是；唱的平方根是.

5.下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，寫(xiě)出它的平方根，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

(1)49；(2)6-；⑶(二〕；(4).

4I3)25

6.如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a+3,2a-15,那么這個(gè)正數(shù)是多少？

7.求下列各式中x的值：

(1)x2=121；(2)4x-49=0；(3)(3x-l)2=(-5)2.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接填一填：100100

第2課時(shí)算術(shù)平方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解算術(shù)平方根的概念；

2.根據(jù)算術(shù)平方根的概念求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根（重點(diǎn)）；

3.理解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)另〔和聯(lián)系（難點(diǎn)）.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.什么叫平方根？

答:一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的

2.平方根的性質(zhì)有哪些？

答：一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為.

0只有個(gè)平方根，它的平方根是一.負(fù)數(shù)平方根.

二、新知預(yù)習(xí)

根據(jù)平方根的定義，填空：

（1）100的平方根是，其中正的平方根是;

（2）的平方根是，其中正的平方根是

64

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：算術(shù)平方根的概念及求法

【概念提出】我們把一個(gè)正數(shù)a的—的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作,讀

作.

思考：上述填空中，我們發(fā)現(xiàn)100和」-都有算術(shù)平方根，那么。呢？負(fù)數(shù)呢？

64

【要點(diǎn)歸納】正數(shù)有個(gè)算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是,負(fù)數(shù)算術(shù)平方

根.

例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

⑴64；(2)0.36：⑶碧；⑷網(wǎng).

【方法總結(jié)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，首先要弄清是求哪個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，分清求乖I

與81的算術(shù)平方根的不同意義.

【針對(duì)訓(xùn)練】在下列式子中，正確的是（）

A.陰=5B.-VI6=-0.6C.J（-13>=-13D.V36=±6

對(duì)已知3+a的算術(shù)平方根是5,求a的值.

【歸納總結(jié)】已知一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，則原數(shù)就等于算術(shù)平方根的平方.

【針對(duì)訓(xùn)練】若4x+6的算術(shù)平方根是2,則乂=.

甌計(jì)算：相+正錨一，5所.

【易錯(cuò)提醒】解題時(shí)容易出現(xiàn)如的錯(cuò)誤.

【針對(duì)訓(xùn)練】

計(jì)算：同出-3xg.

探究點(diǎn)2：用計(jì)算器求算術(shù)平方根

問(wèn)題1：用計(jì)算器計(jì)算遂需要按哪幾個(gè)鍵？

問(wèn)題2：利用計(jì)算器計(jì)算下表中的算術(shù)平方根，并將計(jì)算結(jié)果填在表中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?你

能說(shuō)出其中的道理嗎？

???…

V0.0625V0.625J6.25762.5V625J6250J62500

……

【方法總結(jié)】被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右每移動(dòng)位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)

位;被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左每移動(dòng)位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左移動(dòng)位.

甌用計(jì)算器計(jì)算6(精確到0.001),并利用你在“問(wèn)題2”中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出

7(103,5/300,>/30(XX)的近似值，你能根據(jù)6的值寫(xiě)出J元的值嗎？

探究點(diǎn)3：算術(shù)平方根的非負(fù)性

問(wèn)題：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，你能寫(xiě)出當(dāng)a為非負(fù)數(shù)時(shí)，右的取值范圍嗎？

【要點(diǎn)歸納】當(dāng)a=0時(shí)，&=0,當(dāng)a>0時(shí)，、石>0.因此，當(dāng)a20時(shí)，4a>0.

惘目已知x,y為有理數(shù)，且由一1+3(y—2)2=0,求x—y的值.

【方法總結(jié)】算術(shù)平方根、絕對(duì)值和平方都具有非負(fù)性，即a|20,a?2。.當(dāng)幾個(gè)

非負(fù)數(shù)的和為。時(shí)，各數(shù)均為0.

【針對(duì)訓(xùn)練】

已知m、n滿足,加一3+|n+2|=0,求2m-n的值.

二、課堂小結(jié)

內(nèi)容

概念一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為_(kāi)_______,我們把一個(gè)正數(shù)a的—的平方

根，叫做a的算術(shù)平方根.

性質(zhì)正數(shù)有_____個(gè)算術(shù)平方根，。的算術(shù)平方根是_____,負(fù)數(shù)—算術(shù)平方

根.

非負(fù)性

當(dāng)a20時(shí)，y[a_____0.

當(dāng)堂檢測(cè)

1.L的算術(shù)平方根是()

4

A.—B.-C.-D.±-

16822

2.若x是49的算術(shù)平方根，則工二()

A.7B.-7C.49D.-49

3.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為()

①1的平方根是1;②1是1的算術(shù)平方根；③(TH的平方根是7；④。的算術(shù)平方根是0.

A.1B.2C.3D.4

4.已知x,y滿足j3x+4+(y-3)2=0,則xy的值是()

99

A.4B.-4C.-D.--

44

5.用計(jì)算器計(jì)算［260.8%(精確到0.01).

6.若石的算術(shù)平方根是3,則2=.

7.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)36；(2)15；(3)0；(4)0.04；

121

(5)144.(6)|-0.64|：(7)V225

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.平方根

有

沒(méi)

2.2相反數(shù)10

二、新知預(yù)習(xí)

1

±1010±-8-

8

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：

【概念提出】正八根號(hào)。

思考：解：。的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.

【要點(diǎn)歸納】10沒(méi)有

H解：⑴8.(2)0.6.：3)|.(4)3.

【針對(duì)訓(xùn)練】A

甌解：由題意得3+a=25,解得a=22.

【針對(duì)訓(xùn)練】

2

顧,解：原式=7+5-15=3

【針對(duì)訓(xùn)練】解:原式二25x』-3x』=5-l=4.

53

探究點(diǎn)2：

問(wèn)題1解：需要依次按“石”“5”“=”三個(gè)鍵.

問(wèn)題20.250.7905694152.57.905694152579.0569415250

【方法總結(jié)】?jī)梢粌梢?/p>

雨解：V3^1.732,>/0^03?0.1732,5/300?17.32,J30000工173.2.不能根據(jù)

的值寫(xiě)出癡的值.

探究點(diǎn)3：

思考：解：能，820.

例目解：由題意，得x=l,y=2,則x-y=-l.

【針對(duì)訓(xùn)練】解：由題意，得m-3=0,n+2=0>則m=3,n=-2.2m-n=8.

二、課堂小結(jié)

相反數(shù)正10沒(méi)有2

當(dāng)堂檢測(cè)

1.C2.A3.B4.B5.16.156.81

7.解：⑴6.(2)岳.(3)0.(4)0.2.(5)—.(6)0.8.(7)屈.

12

2.立方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握立方根的概念及運(yùn)算(重點(diǎn))；

2.了解平方根與立方根的不同點(diǎn)，會(huì)進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算(難點(diǎn));

3.理解開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

填一填：2邑,(-2)3=.

二、新知預(yù)習(xí)

(1)如果一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為a厘米，那么它的體積為立方厘米；

(2)如果一個(gè)正方體的體積為8立方厘米，那么它的棱長(zhǎng)是厘米(結(jié)合“填一填”

中的式子).

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：立方根的概念及性質(zhì)

【概念提出】一般的，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的,記作

“"，讀作“"，其中a是,3是.

問(wèn)題1：根據(jù)2的立方等于8,結(jié)合立方根的概念，可以說(shuō)2是8的什么？

問(wèn)題2：正數(shù)的立方根是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？負(fù)數(shù)的立方根呢？0的立方根呢？

【要點(diǎn)歸納】正數(shù)的立方根是數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是數(shù)，0的立方根

是.

酗求下列各數(shù)的立方根：

3

(1)-64；(2)0.216：(3)3-.

8

例21計(jì)算:^27-y/-~\

麗若V7=2,7/=4,求Jx+2y的值.

問(wèn)題3：根據(jù)“填一填”中的式子，分別求8和-8的立方根，并說(shuō)明它們的立方根有什么關(guān)

系？

【要點(diǎn)歸納】互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為.

麗若義2〃-1與府不互為相反數(shù),求a的值.

探究點(diǎn)2：用計(jì)算器求立方根

問(wèn)題1：若計(jì)算器沒(méi)有K1鍵,用計(jì)算器進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算的步驟是什么？

問(wèn)題2：用計(jì)算器計(jì)算：“°皿°216,Mo.216,啦諱，“216000…，

你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用計(jì)算器計(jì)算師（精確到0.001）,并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求師，

0,0001,100000的近似值.

【要點(diǎn)歸納】被開(kāi)立方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移動(dòng)3n位時(shí)，立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)的

向左（或向右）移動(dòng)n位（n為正整數(shù)）.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.用計(jì)算器求下列各數(shù)的立方根：343,-1.331.

2.用計(jì)算器求痣的近似值（精確至IJ0.001）.

二、課堂小結(jié)

立方根的概念如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)明做a的__________.

立

（1）正數(shù)的立方根是止數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是0.

方

立方根的性質(zhì)（2）被開(kāi)立方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移動(dòng)3n位時(shí)，立方根的小數(shù)點(diǎn)就相

根

應(yīng)的向左（或向右）移動(dòng)n位（n為正整數(shù)）.

當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

A.負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根B.0的立方根是0

C.1的立方根是1D.-1的立方根是-1

2.體積是2的立方體的邊長(zhǎng)是（）

A.2的平方根B.2的立方根

C.2的算術(shù)平方根D.2開(kāi)平方的結(jié)果

3.倔的立方根是（）

A.2B.4

C.±2D.±8

4.計(jì)算：

(1)-V27=________;(2);(3)-V^=________;(4)Vltf

V125

5.分別求出下列各數(shù)的立方根:

0.064,0,

8125

6.比較下列各組數(shù)的大小.

3

(1)衿與2.5;(2)V5與5.

7.已知x+3的立方根為2,3x+y-1的算術(shù)平方根是4,求3x+6y的立方根.

8?已知軻和強(qiáng)行互為相反數(shù)’求x+2y的立方根?

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接填一填：8-8

二、新知預(yù)習(xí)(1)a&(2)2

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：

【概念提出】立方根指三次根號(hào)a被開(kāi)方數(shù)根指數(shù)

問(wèn)題1解：2是8的立方根.

問(wèn)題2解：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.

【要點(diǎn)歸納】正負(fù)0

|^1]解：(1)-4.(2)0.6.(3)

甌解：原式-3+2-(-1)-6.

甌解：由題意得x=8,y=-4或4,所以/+2y=0或4.

問(wèn)題3解：8的立方根是2,-8的立方根是-2,它們互為相反數(shù).

【要點(diǎn)歸納】相反數(shù)

亟解：由題知2a-l+6-a=0,解得a=-5.

探究點(diǎn)2：

問(wèn)題1解：需要按“國(guó)”“退)然后輸入所開(kāi)立方的數(shù)字，再按“=”即可.

問(wèn)題2解：規(guī)律：被開(kāi)立方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位時(shí)，其所得結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)

一位.

Vioo心4.642,i/OA仁0.4642,^/0.0001仁0.04642,400000弋46.42.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.解：^/343=7.1.331=1.1

2.解：^2?1.260.

二、課堂小結(jié)立方根

當(dāng)堂檢測(cè)

4

LA2.B3.A4.(1)-3(2)--(3)1(4)10

5

5.解：它們的立方根分別為0.4,0,

25

3

6.解：⑴yf9<2.5.(2)>/5>2,

fx+3=8,fx=5,――

7.解：由題可得《解得4???3x+6y=27..??3x+6y的立方根是3.

3x+j-l=16.[y=2.1

8.解：由題意得我x—i]+強(qiáng)大=仇，2x-U+4y-5=0,即2(x+2y)=16.解得x+2y=

8.，x+2)，的立方根為2.

11.2實(shí)數(shù)

第1課時(shí)實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解實(shí)數(shù)的概念，并能將實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行準(zhǔn)確的分類(lèi)（重點(diǎn)）；

2.熟練掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法（重點(diǎn)）：

3.了解實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無(wú)理數(shù)（難點(diǎn)）.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.什么叫有理數(shù)？有理數(shù)是如何分類(lèi)的？

2.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？

二、新知預(yù)習(xí)

用計(jì)算器求及，觀察它的結(jié)果，它屬于有理數(shù)嗎？你認(rèn)為它是什么樣的數(shù)?

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：有理數(shù)

【概念提出】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做.

甌把代表下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線上.

①目;②-0.86；③-5；④0；⑤-孚⑥-加；

⑦27⑥n；⑨1.1010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）.

屬于正有理數(shù)的有：；

屬于整數(shù)的有：：

屬于負(fù)分?jǐn)?shù)的有：;

屬于無(wú)理數(shù)的有：.

探究點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的概念和分類(lèi)

【概念提出】________和統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).

思考：實(shí)數(shù)還可以怎樣分類(lèi)？

酗將下列各數(shù)分別填入下列相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：

V9,,n,-V16,—A/5,—VS,回。，V25,

0.3232232223…-

'4.

無(wú)理數(shù)：｛，…卜

有理數(shù)：｛，…卜

正實(shí)數(shù)：｛，…卜

負(fù)實(shí)數(shù)：｛，…｝.

探究點(diǎn)3：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)

問(wèn)題：你能在數(shù)軸上找到表示近，又這樣的無(wú)理數(shù)大致位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？怎么找？

【要點(diǎn)歸納】每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn).

甌如圖，在數(shù)軸上一共有四個(gè)點(diǎn)表示下列各數(shù)：V3,n,-|-3|,3.5,請(qǐng)給圖上的點(diǎn)標(biāo)

出正確的數(shù)字.

---???>

-3-2-101------23------4

【針對(duì)訓(xùn)練】

如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為&和5.1,畫(huà)出A、B的大致位置，則A、B兩

點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有多少個(gè)？

-5-4-3-2-1012345

二、課堂小結(jié)

無(wú)理數(shù)的概念—稱(chēng)為無(wú)理數(shù).

實(shí)數(shù)的概念_______和________統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)的分類(lèi)按定義分：_______________________.

按正負(fù)性分：_________________________.

實(shí)數(shù)的數(shù)軸表示每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，換句話說(shuō)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上

的點(diǎn)___________.

當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列說(shuō)法正確的是（）

2?

A.a一定是正實(shí)數(shù)B.三是有理數(shù)

17

C.2應(yīng)是有理數(shù)D.數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)

2.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下，當(dāng)輸入x=81時(shí)，輸出的y是（）

輸入t取算術(shù)平方根I~~警理數(shù)揄麗

是有理數(shù)

A.9B.3C.5/3D.±3

3.判斷：

（1）實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù).（)

（2）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).（)

（3）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù).（)

（4）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).（)

（5）無(wú)理數(shù)一定都帶根號(hào).（)

4.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)比3大比4小的無(wú)理數(shù)：

5.把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合里：

-2.4,6-1X罵，0.333-,0,-(-2.28),#3.14,-|-2|,1.010010001-,

37

TC

2020'

（1）正有理數(shù)集合｛

（2）整數(shù)集合｛…};

（3）負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛

（4）無(wú)理數(shù)集合（

6.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)的大致位置.

-A/2.5,—>0?-|-2|,y/1

2

"^3~"""401234^

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.解：有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、（）、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng).

2.解：-2,1.414,V9,［不是有理數(shù).

3

二、新知預(yù)習(xí)

解：不屬于，它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：

【概念提出】無(wú)理數(shù)

§T|①⑦③④②⑤⑥⑧⑨

探究點(diǎn)2：

【概念提出】有理數(shù)無(wú)理數(shù)

思考：解：實(shí)數(shù)還可以分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù).

甌無(wú)理數(shù)：｛遮J7,-百,0.3232232223…，…｝;

有理數(shù)：｛一遍耳后,；，…卜

正實(shí)數(shù)：｛狼，右，冗，目后…，

,0.32322322231,...1;

負(fù)實(shí)數(shù)：一我，-石，???｝.

探究點(diǎn)3：

問(wèn)題：解：能.、歷：在邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中可以畫(huà)出面積為2的正方形，以原點(diǎn)為圓心,

該正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交數(shù)軸正半軸的點(diǎn)，即為表示的點(diǎn)；

n：用半徑為1的圓，從原點(diǎn)起沿?cái)?shù)軸正半軸滾動(dòng)一周止為2天，再取中點(diǎn)即為表示”的點(diǎn).

【要點(diǎn)歸納】一一對(duì)應(yīng)

甌解：如圖所示,

-^3~~-2~401~23**4>

【針對(duì)訓(xùn)練】解：A、B的大致位置如圖所示，則A、B兩點(diǎn)之間表示的整數(shù)的點(diǎn)共有4個(gè).

AB

____Il.lIII.II.

0725.1

二、課堂小結(jié)

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)正數(shù)、0、負(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)

當(dāng)堂檢測(cè)

l.B2.C3.(1)V(2)。(3)X(4)J(5)X4.n(答案不唯一)

5.(1)駕,0.333-,-(-2.28)

7

(2)0,-|-2|

(3)-2.4,-1A

3

(4)百，V3.14,1.010010001…，-—^―

2020

6.解：在數(shù)軸上表示如圖所示：

第2課時(shí)實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

L會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值，會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算，并能熟練應(yīng)用運(yùn)算法則對(duì)

實(shí)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，提高計(jì)算能力（重點(diǎn)）；

2.掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則和實(shí)數(shù)的估算（重點(diǎn)）；

3.通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作探究，學(xué)會(huì)利用類(lèi)比的方法探究實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律（難點(diǎn)）.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.在有理數(shù)范圍內(nèi)如何求一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)、絕對(duì)值？

2.實(shí)數(shù)包含哪些數(shù)？

3.有理數(shù)中學(xué)過(guò)哪些運(yùn)算法則及運(yùn)算律？

二、新知預(yù)習(xí)

如圖，將面積分別為2和3的兩個(gè)正方形放置在數(shù)軸上，使得正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和原點(diǎn)0

重合，一條邊恰好落在數(shù)軸正方向上，其另一個(gè)頂點(diǎn)分別為數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B.

H四?、

-10123

（1）由這兩個(gè)正方形的面積大小，能不能得到它們邊長(zhǎng)的大小？

（2）將面積大小分別為a和b（a>b）的兩個(gè)正方形按照上圖所示的方式擺放，它們的邊長(zhǎng)

4ayfb（填”或“v"）.

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1:實(shí)數(shù)的性質(zhì)

思考：有理數(shù)求相反數(shù)、絕對(duì)值的方法，在實(shí)數(shù)中是否適用？

（。為正實(shí)數(shù)）（〃為正實(shí)數(shù)）

【要點(diǎn)歸納】々的相反數(shù)=?（〃為0）,\a\='（。為0）

（。為負(fù)實(shí)數(shù)）（。為負(fù)實(shí)數(shù)）

麗分別求下列各數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值.

（1）V1T;⑵一衣（3）

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.已知=,求a的值.

2.試求兀一3.14的相反數(shù)和絕對(duì)值.

探究點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的大小比較及估算

【知識(shí)要點(diǎn)】

實(shí)數(shù)的大小比較與有理數(shù)比較大小的方法一樣，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比的點(diǎn)表

示的實(shí)數(shù)大.

陋可在數(shù)軸上表示下列各數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的大致位置，比較它們的大小，并用連接起來(lái).

1,叵,-2,也

【針對(duì)訓(xùn)練】估計(jì)1位于（）

A.0,1之間B.1,2之間C.2,3之間D.3,4之間

探究點(diǎn)3：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

問(wèn)題：有理數(shù)中學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)是否適用？若適用，請(qǐng)寫(xiě)出混合運(yùn)算的順序.

麗計(jì)算(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)：

(l)>/5+ii;(2)V3-V2；(3)3734-272.

【方法總結(jié)】在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，如果遇到無(wú)理數(shù)，并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí)，可按要求的

精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)代替無(wú)理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算.

二、課堂小結(jié)

實(shí)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對(duì)值、

倒數(shù)的意義完全一樣.

實(shí)數(shù)的大小比較數(shù)軸上_______的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比_______的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大

實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用

當(dāng)堂檢測(cè)

1.亞萬(wàn)的絕對(duì)值是()

A.3B.-3C.-D.--

33

2.下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A3與gB.2與(?2)2C.與石TD.5與

|-5|

3M-3卜|-4|的值是()

A.-y/SB.yfs-1C.-y/S-1D.+1

4.判斷正誤：

⑴R?=4;()

⑵0的絕對(duì)值是-夜；()

⑶一內(nèi)的相反數(shù)是3.()

5」迷是的相反數(shù);2a?n的相反數(shù)是

6.比較大?。?5-7：3上；返1：

772

V5_____V2+hVlO-n-4：-V8-3.

7.比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)2-和近；(2)一曲和?TT.(3)0.5和^^;(4)VTT和士石.

323

8.計(jì)算：

(1)473-5(結(jié)果精確到0.01)；⑵|6-4+的-1]

(3)[2>/5々1)2|+26

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.解：a的相反數(shù)為-a,絕對(duì)值為時(shí).

2.解：實(shí)數(shù)包含有理數(shù)和無(wú)理數(shù).

3.解：加減乘除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算法則；加法交換律、結(jié)合律，乘法結(jié)合律、交換律和分配

律.

二、新知預(yù)習(xí)

解：(1)能(2)>

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：

思考：解：適用.

【要點(diǎn)歸納】-a0-aa0-a

例國(guó)解：(1)而的相反數(shù)為-JiT,JTi■的絕對(duì)值為JIT.

(2)-6的相反數(shù)為百，的絕對(duì)值為百；

(3)y石的相反數(shù)為4,y石的絕對(duì)值為4.

【針對(duì)訓(xùn)練】1.解：a=±".

2.解：*3.14的相反數(shù)為3.14?無(wú)，*3.14的絕對(duì)值為n?3.14.

探究點(diǎn)2：

【知識(shí)要點(diǎn)】右邊左邊

甌解：在數(shù)軸上表示如圖也V75.

-2-VI1V245

、/、//

-5-4-3-2^01T2T345>

【針對(duì)訓(xùn)練】B

探究點(diǎn)3：

問(wèn)題：解：適用.先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先算

括號(hào)內(nèi)的，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

顧,解：(1)原式%5.38.(2)原式比0.32.(3)原式比8.02.

二、課堂小結(jié)右邊左邊

當(dāng)堂檢測(cè)

1.A2.C3.C4.(1)X(2)X(3)V5.瓜丸-2日

6.>><<<>>

7.解：(1)2->y/l(2)<-n(3)0.5V(4)>-75.

323

8.解：(1)原式和1.93.(2)原式=1.(3)原式=4.

第12章整式的乘除

12.1嘉的運(yùn)算

1?同底數(shù)塞的乘法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解并掌握同底數(shù)昂的乘法法則(重點(diǎn))；

2.能夠運(yùn)用同底數(shù)豪的乘法法則進(jìn)行相關(guān)計(jì)算(難點(diǎn))；

3.通過(guò)對(duì)同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則的推導(dǎo)與總結(jié)，提升自身的推理能力.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.填空：2X2X2=2'>；(-3)X(-3)X(-3)X(-3)=(-3)<\

2.根據(jù)我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們把n個(gè)a相乘表示為.

二、新知預(yù)習(xí)

試一試：根據(jù)哥的意義填空：

23X24=(2X2X2)(2X2X2X2)=2<(-3)3X(-3)4=(-3)<

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：同底數(shù)賽的乘法法則

思考1：根據(jù)“試一試”中的規(guī)律填空：a'Xa工=a')；

【要點(diǎn)歸納】同底數(shù)轅的乘法法則：am-an=(m、n都是正整數(shù))，

即同底數(shù)幕相乘，底數(shù)指數(shù).

思考2：如果將am中a的換成(x/),等式是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(x+y)m?(x+y)n<X+y)m+n(填“="或"W").

理由是：.

【歸納總結(jié)】公式am.an=am+n中的底數(shù)a不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式.

亟計(jì)算：

(1)103X104=；(2)；

(3)-/?/=；(4)(a+2b)(a+2b)2.

【針對(duì)訓(xùn)練】計(jì)算：(1)/酸?丁=；(2)-/?(-.3)—.

(3)(〃?-〃)3(〃-m)2=.

甌根據(jù)乘法的運(yùn)算律，計(jì)算下列各題：

(l)a2?a6*a3=(a2,)?=a一;

(2)x?x2?x3=(x*)?=x—.

【歸納總結(jié)】am,an?ap=(m,n,p均為正整數(shù)).

【針對(duì)訓(xùn)練】計(jì)算：

(1)。斕?。4=.(2)(-b)2*(-b)3*(-b)5=

(3)(x-y)3(y-x)2(y-x)=.

【方法總結(jié)】當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)的事相乘時(shí)，先把底數(shù)統(tǒng)一，再進(jìn)行計(jì)算.

fan(n為偶數(shù))

偶次嘉與奇次鼎的符號(hào)變化如下：(D(—a)n=,“禮、

I—a。n(n為奇數(shù))；

(b-a)n(n為偶數(shù))，

(b_a)…為奇數(shù))

探究點(diǎn)2：同底數(shù)嘉乘法法則的逆用

思考：am+n可以寫(xiě)成哪兩個(gè)因式的積？

試一試：若xm=3,Xn=2,則：

(1)xm*n=?=X=:

(2)x2m=?=X=；

(3)x2m*n=??=XX=.

【方法總結(jié)】關(guān)鍵是逆用同底數(shù)轅的乘法公式，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知因式的乘積的

形式，然后再求值.

甌(1)若xa=3,Xa+b=12,求xb的值；

(2)已知2X+2=32,求x的值.

【方法總結(jié)】第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是將等式兩邊化為底數(shù)相同的鼎的形式，然后根據(jù)指數(shù)相等

列方程解答.

二、課堂小結(jié)

同底數(shù)昂的乘法法則：am?an=(m、n都是正整數(shù)).

即同底數(shù)累相乘，底數(shù)指數(shù).

當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列各式的結(jié)果等于26的是()

A.2+25B.2?2sC.23?2sD.0.22?0.24

2.下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

A.a3,a3=a9B.m2?n2=mn4C.xm?x3=x3mD.y?yn=yn+1

3.計(jì)算：

(1)105X106=；(2)a7?a3=；(3)(-b)3?(-b)2=；(4)-a1?

a)2=；

(5)xn+1?x2n=；(6)(a-b)2?(a-b)3=；(7)y4?y3?y2?y=.

4.填空：

(l)x?x2,x(1=x7;(2)xm,()=x3m;(3)若8X4=2，貝ljx=().

5.計(jì)算：

(l)b2^1?b3；(2)(a-b)3?(b-a)4;

⑶(-3)X(-3)2X(-3)3;(4)-a3-(-a)2?(-a)3.

6.(1)已知x，=8,xb=9,求xa+b的值；(2)已知an-3?a2n+i=a1°,求n的值；

(3)3X27X9=32*4,求x的值;

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.342.an

二、新知預(yù)習(xí)

試一試：77

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：

思考1：解：(a,a,a)(a?a?a-a)7

【要點(diǎn)歸納】a""不變相加

思考2：解：="(x+y)”可以當(dāng)成一個(gè)整體

甌(1)107；(2)/；(3)；(4)(a+2b)3

【針對(duì)訓(xùn)練】(1)？°03(2)/(3)(m-n)5

甌(1)a6a311(2)x2x36

【要點(diǎn)歸納】a^n+P

【針對(duì)訓(xùn)練】(1)/(2)(3)-(y-x)6

探究點(diǎn)2：

思考：解：am,an

試一試：(1)xmxn326(2)xmxm339(3)xmxmxn33

218

例3|解:(1)因?yàn)閤a"nxa?xb=12,Xa=3,所以xb=4.

(2)因?yàn)?、+2=2x?22=32,所以2**4=32,所以2*=8=23,所以x=3.

二、課堂小結(jié)

am+n不變相加

當(dāng)堂檢測(cè)

l.B2.D3.(1)1011(2)a10(3)-b5(4)-a6(5)x3n+1(6)(a-b)5(7)y10

4.(1)4(2)x2m(3)5

5.解：(1)原式=b2L4.(2)原式=(a-b)7.(3)原式=32(4)原式=2匕

6.解：(1)xa+b=xa-xb=8X9=72.

(2)因?yàn)閍n3?a2n+1=a3n2=a10,配以3n-2=10,所以n=4.

(3)因?yàn)?X27X9=32x4,所以3X為X3?=322.所以2x-4=6,解得x=5.

2.塞的乘方

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握希的乘方法則.（重點(diǎn)）

2.會(huì)運(yùn)用幕的乘方法則進(jìn)行幕的乘方的運(yùn)算.（難點(diǎn)）

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.同底數(shù)暴的乘法法則：am?a三.

2.計(jì)算：

（1）73X75=；⑵*=；

⑶x2%3^4=；（4）（—x戶（—x）5=.

二、新知預(yù)習(xí)

填一填：根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)幫的乘法法則填空：

（1）（43）2=43?43=4（;12）儼氏（）?（）.（）=5（\

合作探究

一、探究過(guò)程

探究點(diǎn)1：嘉的乘方運(yùn)算

試一試：根據(jù)“填一填”中的形式填空：（/代=a（

【要點(diǎn)歸納】9叼J（m.n是正整數(shù)），即暴的乘方，底數(shù),指數(shù)

思考：（、平和卜a5）2的結(jié)果相同嗎?為什么？

（n為一數(shù)），

【要點(diǎn)歸納】

-amn（n為數(shù)）.

甌小算：

⑴（X4）3；（2）（-a2）7.

【針對(duì)訓(xùn)練】計(jì)算：（1）（郎;（2）[（a-b）4]5；(3)-(-x3)2?(x3)4.

探究點(diǎn)2：嘉的乘方法則的逆用

甌]已知10m=3,l()n=2,求下列各式的值.

(l)103m；(2)102n；(3)103m+2n.

【方法總結(jié)】此類(lèi)題的關(guān)鍵是逆用新的乘方及同底數(shù)暴法則，將所求代數(shù)式正確變形，然后

代入已知條件求值即可.

【針對(duì)訓(xùn)練】已知x?n=3,求（一丁的值.

二、課堂小結(jié)

幕的乘方：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：(m)"=(m、/)是正整數(shù))；

文字語(yǔ)言：暴的乘方，底數(shù),指數(shù).

當(dāng)堂檢測(cè)

1.計(jì)算(一)2的結(jié)果是()

A.x6B.X8C.x16D.2x*

2.在下列各式的括號(hào)內(nèi)，應(yīng)填入b’的是()

A.b12=()8B.b,2=(尸C.b,2=()3D.b,2=()2

3.下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是()

A.[(a+b)2]J=(a+b)6B.[(a+b)2]5=(a+b)7

C.[(a—b)3]n=(a—b)3,1D.[(a—b)3