第02講平面向量的線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及其幾何意義進(jìn)行向量的加法運(yùn)算；理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。1.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算法則,理解其幾何意義；2.通過實(shí)例，掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；3.了解平面向量的線性運(yùn)算率及其應(yīng)用；4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解兩個平面向量共線的含義．知識點(diǎn)01向量加法的定義及運(yùn)算法則1．向量加法的定義求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量的加法運(yùn)算法則（1）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))a，eq\o(BC,\s\up6(→))b，向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋beq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))圖示：（2）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))a，eq\o(OB,\s\up6(→))b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))a＋b，對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.圖示：（3）對于零向量與任意向量a，我們規(guī)定：a＋00＋aa.【解讀】（1）向量加法的三角形法則要注意三點(diǎn)：①兩個向量一定首尾相連；②和向量的始點(diǎn)是第一個向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個向量的終點(diǎn)；③當(dāng)多個向量相加時，可以使用三角形法則．（2）向量加法的平行四邊形法則注意兩點(diǎn)：①兩個非零向量一定要有相同的始點(diǎn)；②平行四邊形中的一個對角線所對應(yīng)的向量為和向量；3.三角不等式：向量a，b的模與a＋b，a-b的模之間的關(guān)系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.【解讀】①當(dāng)a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。②當(dāng)a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。③當(dāng)a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|?！炯磳W(xué)即練1】下列判斷錯誤的是()Aeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))B任意兩個向量的和仍然是一個向量．C兩個向量相加實(shí)際上就是兩個向量的模相加．D任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．2.(多選)在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))知識點(diǎn)02向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：a＋bb＋a（2）結(jié)合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c【解讀】用交換律、結(jié)合律可以將多個向量相加轉(zhuǎn)化為首尾相接的形式，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算．如eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→)).知識點(diǎn)03向量的減法及其幾何意義1.相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.2．向量減法的定義求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法．我們定義，a－ba＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量3．向量減法的幾何意義(1)三角形法則如圖，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb，則BAa－b，即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．(2)平行四邊形法則如圖①，設(shè)向量ABb，ACa，則AD－b，由向量減法的定義，知AEa＋(－b)a－b.又因?yàn)閎＋BCa，所以BCa－b.如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：在?ABCD中，ABa，ADb，則ACa＋b，DBa－b.【解讀】（1）兩個向量的差仍是一個向量；（2）向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法,減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。（3）向量減法的三角形法則中，BA表示a?b，強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量a.即作非零向量a，b的差向量【即學(xué)即練2】（1.（多選）下列判斷正確的是()A相反向量一定是共線向量．B兩個相反向量之差等于0.C向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算．D兩個向量的差仍是一個向量．2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是()A．AB?DC0 C．AB?ADBD 知識點(diǎn)04向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律1．向量數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa．(1)|λa||λ||a|．特別地，當(dāng)λ0時，λa0．(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．【解讀】從兩個角度理解向量數(shù)乘(1)代數(shù)角度實(shí)數(shù)與向量的乘積λa仍然是一個向量；λa0?λ0或a0.(2)幾何角度|λ|>1λ>1在原方向上伸長到原來的λ倍λ<－1在反方向上伸長到原來的－λ倍0<|λ|<10<λ<1在原方向上縮短到原來的λ倍－1<λ<0在反方向上縮短到原來的－λ倍2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a，b為向量，則滿足如下運(yùn)算律：(1)λ(μa)(λμ)a；(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；(3)λ(a＋b)λa＋λb；(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.3．向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．【解讀】向量的線性運(yùn)算類似于多項式的運(yùn)算，具有實(shí)數(shù)與多個向量和的乘積形式，計算時應(yīng)先去括號．共線向量可以“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差．(2)λ0或a0?λa0.【即學(xué)即練3】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)05共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使bλa．【解讀】（1）判斷兩個向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個向量是否滿足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使bλa.因此，在考慮問題時，不要忽略零向量．（2）這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb0，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta＋sb【即學(xué)即練4】判斷下列各小題的向量a與b是否共線。。題型01平面向量的線性運(yùn)算【典例1】（多選）下列能化簡為的是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·天津南開·階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A． B．C． D．題型02線性運(yùn)算的幾何意義【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如圖，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·河南鄭州·期末）在中，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點(diǎn)，且AB=AC則下列各式中正確的是（

A． B．C． D．【變式3】設(shè)|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為,。

題型03向量共線問題【典例3】4．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．C．1或 D．或【變式1】（2024·青?！ひ荒＃┮阎蛄坎黄叫?，向量與平行，則（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B． C．4 D．題型04三點(diǎn)共線問題【典例4】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【變式1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【變式2】（23-24高一下·四川·期末）點(diǎn)滿足向量，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)為線段的中點(diǎn) B．點(diǎn)在線段延長線上C．點(diǎn)在線段的延長線上 D．點(diǎn)不在直線上【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2題型05線性運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例5】（23-24高一下·浙江臺州·期末）一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發(fā)到河對岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當(dāng)船以最短距離到對岸時，船行駛所用的時間（保留兩位小數(shù)）為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三上·廣東汕頭·期末）設(shè)表示向東走了10km，表示向南走了5km，則所表示的意義為（

）A．向東南走了km B．向西南走了kmC．向東南走了km D．向西南走了km【變式2】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西，B．北偏西，C．北偏東，D．北偏東，【變式3】（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）設(shè)表示“向東走”，表示“向南走”，則所表示的意義為（

）A．向東南走 B．向西南走C．向東南走 D．向西南走題型06線性運(yùn)算在幾何問題中的應(yīng)用【典例6】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知是平行四邊形的對角線上的兩點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．【變式1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）如圖，已知，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證；．【變式2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知四邊形ABCD和點(diǎn)O在同一平面上，設(shè)向量，，，，且．求證：ABCD是平行四邊形．【變式3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點(diǎn)，設(shè).(1)請用與表示;(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.題型07三角形重心、內(nèi)心的向量表示【典例7】O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個點(diǎn)，一動點(diǎn)P滿足：，則直線AP一定通過的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【變式1】已知向量、（三點(diǎn)不共線），若，則點(diǎn)是（

）A．的中點(diǎn) B．的中點(diǎn) C．的中點(diǎn) D．的重心【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知，若點(diǎn)P滿足，其中，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【變式3】（2024·全國·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心一、單選題1．（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）等于（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）已知非零向量，滿足，則（

）A． B．C．與的方向相同 D．與的方向相反3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知非零向量與同向，則（

）A．必與同向 B．必與同向C．可能與同向、反向也可能是 D．不可能與同向4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，點(diǎn)在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．5．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線6．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是（

）．A．3 B． C． D．27．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在四邊形中，，則一定有（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是梯形 D．四邊形是平行四邊形8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（

）A． B． C． D．2二、多選題9．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知，是不共線的向量，下列向量，共線的為（

）A．， B．，C．， D．，10．（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）已知，，且，則在以下各命題中，正確的是（

）A．當(dāng)時，的方向與的方向一定相反B．當(dāng)時，的方向具有任意性C．D．當(dāng)時，的方向與的方向一定相同11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共線，若，，且，，三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)，的值可以是（

）A．2， B．， C．2， D．，三、填空題12．（24-25高二上·山東濰坊·開學(xué)考試）化簡：．13．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)四個不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足，則.14．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度大小為，水流速度的大小為，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程共需要時間．四、解答題15．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，．(1)用，表示，；(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線．16．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知、是兩個不平行的向量，向量，，，(1)求證：；(2)判斷三點(diǎn)的位置關(guān)系.17．（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖所示，四邊形是以向量，為鄰邊的平行四邊形.又，，試用，表示，，.18．（23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共線．(1)如果，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值．19．（23-24高一下·北京大興·期中）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交邊于（不同于）兩點(diǎn)，且，．

(1)當(dāng)時，用向量表示，；(2)證明：為定值．第02講平面向量的線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及其幾何意義進(jìn)行向量的加法運(yùn)算；理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。1.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算法則,理解其幾何意義；2.通過實(shí)例，掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；3.了解平面向量的線性運(yùn)算率及其應(yīng)用；4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解兩個平面向量共線的含義．知識點(diǎn)01向量加法的定義及運(yùn)算法則1．向量加法的定義求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量的加法運(yùn)算法則（1）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))a，eq\o(BC,\s\up6(→))b，向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋beq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))圖示：（2）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))a，eq\o(OB,\s\up6(→))b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))a＋b，對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.圖示：（3）對于零向量與任意向量a，我們規(guī)定：a＋00＋aa.【解讀】（1）向量加法的三角形法則要注意三點(diǎn)：①兩個向量一定首尾相連；②和向量的始點(diǎn)是第一個向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個向量的終點(diǎn)；③當(dāng)多個向量相加時，可以使用三角形法則．（2）向量加法的平行四邊形法則注意兩點(diǎn)：①兩個非零向量一定要有相同的始點(diǎn)；②平行四邊形中的一個對角線所對應(yīng)的向量為和向量；3.三角不等式：向量a，b的模與a＋b，a-b的模之間的關(guān)系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.【解讀】①當(dāng)a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。②當(dāng)a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。③當(dāng)a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|?！炯磳W(xué)即練1】下列判斷錯誤的是()Aeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))B任意兩個向量的和仍然是一個向量．C兩個向量相加實(shí)際上就是兩個向量的模相加．D任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．【答案】D2.(多選)在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】AB知識點(diǎn)02向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：a＋bb＋a（2）結(jié)合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c【解讀】用交換律、結(jié)合律可以將多個向量相加轉(zhuǎn)化為首尾相接的形式，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算．如eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→)).知識點(diǎn)03向量的減法及其幾何意義1.相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.2．向量減法的定義求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法．我們定義，a－ba＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量3．向量減法的幾何意義(1)三角形法則如圖，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb，則BAa－b，即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．(2)平行四邊形法則如圖①，設(shè)向量ABb，ACa，則AD－b，由向量減法的定義，知AEa＋(－b)a－b.又因?yàn)閎＋BCa，所以BCa－b.如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：在?ABCD中，ABa，ADb，則ACa＋b，DBa－b.【解讀】（1）兩個向量的差仍是一個向量；（2）向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法,減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。（3）向量減法的三角形法則中，BA表示a?b，強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量a.即作非零向量a，b的差向量【即學(xué)即練2】（1.（多選）下列判斷正確的是()A相反向量一定是共線向量．B兩個相反向量之差等于0.C向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算．D兩個向量的差仍是一個向量．【答案】ACD2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是()A．AB?DC0 C．AB?ADBD 【答案】D【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ABDC∴AB?DC0，AD?∴只有C錯誤．知識點(diǎn)04向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律1．向量數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa．(1)|λa||λ||a|．特別地，當(dāng)λ0時，λa0．(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．【解讀】從兩個角度理解向量數(shù)乘(1)代數(shù)角度實(shí)數(shù)與向量的乘積λa仍然是一個向量；λa0?λ0或a0.(2)幾何角度|λ|>1λ>1在原方向上伸長到原來的λ倍λ<－1在反方向上伸長到原來的－λ倍0<|λ|<10<λ<1在原方向上縮短到原來的λ倍－1<λ<0在反方向上縮短到原來的－λ倍2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a，b為向量，則滿足如下運(yùn)算律：(1)λ(μa)(λμ)a；(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；(3)λ(a＋b)λa＋λb；(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.3．向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．【解讀】向量的線性運(yùn)算類似于多項式的運(yùn)算，具有實(shí)數(shù)與多個向量和的乘積形式，計算時應(yīng)先去括號．共線向量可以“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差．(2)λ0或a0?λa0.【即學(xué)即練3】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.【詳解】..知識點(diǎn)05共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使bλa．【解讀】（1）判斷兩個向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個向量是否滿足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使bλa.因此，在考慮問題時，不要忽略零向量．（2）這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb0，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta＋sb【即學(xué)即練4】判斷下列各小題的向量a與b是否共線。?！敬鸢浮浚?）共線（2）共線（3）不共線題型01平面向量的線性運(yùn)算【典例1】（多選）下列能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷即可．【詳解】解：對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不合題意；BC．【變式1】（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量加減法則計算即得.【詳解】..【變式2】（23-24高一下·天津南開·階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算計算即可．【詳解】，．【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算化簡即可得解.【詳解】因?yàn)?，故A錯誤；因?yàn)椋蔅正確；因?yàn)?，故C錯誤；因?yàn)?，故D錯誤.題型02線性運(yùn)算的幾何意義【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如圖，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】，.【變式1】（23-24高一下·河南鄭州·期末）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.【詳解】在中，，則.【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點(diǎn)，且AB=AC則下列各式中正確的是（

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三等分點(diǎn)得出向量相等結(jié)合向量的方向即可判斷選項.【詳解】D，E為邊上的三等分點(diǎn)，所以，所以D選項正確；若，則不不成立，C選項錯誤；方向不同不能相等，A選項錯誤；方向相反不能相等，B選項錯誤..【變式3】設(shè)|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為,。

【答案】204【解析】當(dāng)a,b共線同向時,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,當(dāng)a,b共線反向時,|a+b|=||a|-|b||=4。當(dāng)a,b不共線時,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,綜上知,4≤|a+b|≤20,所以最大值為20,最小值為4。題型03向量共線問題【典例3】4．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．C．1或 D．或【答案】C【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)，再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得或.若，則，，所以，所以與方向相反，故舍去；若，則，，所以，所以與方向相同，故為所求.【變式1】（2024·青?！ひ荒＃┮阎蛄坎黄叫?，向量與平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量共線定理、平面向量基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以．因?yàn)橄蛄坎黄叫?，所以解得．故選：.【變式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線，得到，再結(jié)合條件，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，即，解得，.【變式3】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用共線向量定理列式求解即得.【詳解】由是兩個不共線的向量，得是非零向量，又與共線，則，即，于是，所以.題型04三點(diǎn)共線問題【典例4】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】A【分析】運(yùn)用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點(diǎn)共線.【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；對于B，，，則與不共線，B不正確；對于C，，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以三點(diǎn)共線，D正確．．【變式1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理一一分析即可.【詳解】對A，，則共線，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，則A、B、D三點(diǎn)共線，故A正確；對B，因?yàn)?，故不共線，則A、B、C三點(diǎn)不共線，故B錯誤；對C，因?yàn)?，故不共線，則B、C、D三點(diǎn)不共線，故C錯誤；對D，，因?yàn)?，故不共線，則A、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯誤..【變式2】（23-24高一下·四川·期末）點(diǎn)滿足向量，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)為線段的中點(diǎn) B．點(diǎn)在線段延長線上C．點(diǎn)在線段的延長線上 D．點(diǎn)不在直線上【答案】D【分析】分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，可得，所以點(diǎn)在線段的延長線上..【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使，即，又向量不共線，所以，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，題型05線性運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例5】（23-24高一下·浙江臺州·期末）一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發(fā)到河對岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當(dāng)船以最短距離到對岸時，船行駛所用的時間（保留兩位小數(shù)）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，利用勾股定理求出合速度，從而可求出航行時間.【詳解】設(shè)一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對岸，設(shè)船的速度，水流速度，要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，如圖指：，所以..【變式1】（23-24高三上·廣東汕頭·期末）設(shè)表示向東走了10km，表示向南走了5km，則所表示的意義為（

）A．向東南走了km B．向西南走了kmC．向東南走了km D．向西南走了km【答案】A【分析】由向量加法的幾何意義以及勾股定理即可求解.【詳解】可以表示向東走了10km，再向南走了10km，由勾股定理可知，所表示的意義為向東南走了km..【變式2】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西，B．北偏西，C．北偏東，D．北偏東，【答案】A【分析】根據(jù)題意，作出圖形，借助于直角三角形求出的模和即得.【詳解】

如圖，船從點(diǎn)O出發(fā)，沿方向行駛才能使船垂直到達(dá)對岸，依題意，，，則，則，因?yàn)闉殇J角，故，故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達(dá)對岸.故選:A.【變式3】（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）設(shè)表示“向東走”，表示“向南走”，則所表示的意義為（

）A．向東南走 B．向西南走C．向東南走 D．向西南走【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合具體實(shí)際意義可得.【詳解】表示“向東走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向東南走km.．題型06線性運(yùn)算在幾何問題中的應(yīng)用【典例6】（23-24高一·上?！ふn堂例題）如圖，已知是平行四邊形的對角線上的兩點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解【分析】設(shè)，，根據(jù)平面向量共線定理證明即可．【詳解】證明：設(shè)，則，設(shè)，所以，所以，，，所以，所以四邊形是平行四邊形．【變式1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）如圖，已知，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證；．【答案】證明見解析【分析】用表示，然后由共線向量定理即可證明.【詳解】，因?yàn)镈、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以，,所以,所以，因?yàn)椴辉谝粭l線上，所以.【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知四邊形ABCD和點(diǎn)O在同一平面上，設(shè)向量，，，，且．求證：ABCD是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)得出，進(jìn)而得出，然后即可得出ABCD是平行四邊形.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄?，，，，所以，即，所以，且，所以四邊形ABCD是平行四邊形.【變式3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點(diǎn)，設(shè).(1)請用與表示;(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、相等向量的定義進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?、依次是對角線上的兩個三等分點(diǎn)，所以，于是有，即；（2）因?yàn)?、依次是對角線上的兩個三等分點(diǎn)，所以，于是有，即，因此，顯然有，不共線，因此且，所以四邊形是平行四邊形.題型07三角形重心、內(nèi)心的向量表示【典例7】O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個點(diǎn)，一動點(diǎn)P滿足：，則直線AP一定通過的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形四心的定義即可得解.【詳解】取線段BC的中點(diǎn)E，則，動點(diǎn)P滿足：，則，則，所以，又為兩向量的公共起點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以直線一定通過的重心．．【變式1】已知向量、（三點(diǎn)不共線），若，則點(diǎn)是（

）A．的中點(diǎn) B．的中點(diǎn) C．的中點(diǎn) D．的重心【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計算即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).．【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知，若點(diǎn)P滿足，其中，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】C【分析】先根據(jù)單位向量的加法得出點(diǎn)在角平分線上進(jìn)而得出軌跡過內(nèi)心即可.【詳解】指向角A的平分線方向，而與是平行的，所以依舊指向角A的平分線方向，所以點(diǎn)P的軌跡即為角A的平分線及其反向延長線.而內(nèi)心一定落在角A的平分線上，所以點(diǎn)P的軌跡會經(jīng)過內(nèi)心..【變式3】（2024·全國·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，所以，則，若四點(diǎn)共線時，即點(diǎn)都在中線上，所以經(jīng)過三角形的重心，若四點(diǎn)不共線時，，且，連結(jié)，交于點(diǎn)，如圖，，即點(diǎn)是三角形的重心，即經(jīng)過的重心，綜上可知，經(jīng)過的重心.一、單選題1．（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】,2．（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）已知非零向量，滿足，則（

）A． B．C．與的方向相同 D．與的方向相反【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的定義判斷即得.【詳解】非零向量，滿足，則與的方向相同，且，ABD錯誤，C正確.3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知非零向量與同向，則（

）A．必與同向 B．必與同向C．可能與同向、反向也可能是 D．不可能與同向【答案】D【分析】比較的大小關(guān)系即可逐一判斷.【詳解】向量與同向，當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，．.4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，點(diǎn)在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根已知條件和向量的減法法則即可直接計算得解.【詳解】由題..5．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】C【分析】先得到，，然后得到即可判斷B正確；對于ACD，說明對應(yīng)的向量不共線即可排除.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故B符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即A，B，C三點(diǎn)不共線，故A不符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即B，C，D三點(diǎn)不共線，故C不符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即A，C，D三點(diǎn)不共線，故D不符合題意；.6．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是（

）．A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】由由A，B，D三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)，使，再用表示后，由向量相等可得．【詳解】由已知，由A，B，D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使，即，即，解得．．7．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在四邊形中，，則一定有（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是梯形 D．四邊形是平行四邊形【答案】A【分析】由得到且，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形是平行四邊形.【詳解】因?yàn)?，所以，即且，所以四邊形的一組對邊平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，．8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】如圖，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，則在線段上，且，設(shè)，結(jié)合和計算即可求解.【詳解】由，得，如圖，分別是的中點(diǎn)，

則，所以在線段上，且，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，，，所以，則，解得.二、多選題9．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知，是不共線的向量，下列向量，共線的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】CC【分析】根據(jù)向量間關(guān)系判斷向量平行關(guān)系判斷A,B,C,假設(shè)向量共線求參法判斷D.【詳解】因?yàn)?，是不共線的向量，所以，都不是零向量．A中，若與共線，則，共線，這與已知矛盾，所以與不共線；B中，因?yàn)椋耘c共線；C中，因?yàn)椋耘c共線；D中，若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使，即，所以．因?yàn)椋遣还簿€向量，所以，方程組無解，所以與不共線.C.10．（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）已知，，且，則在以下各命題中，正確的是（

）A．當(dāng)時，的方向與的方向一定相反B．當(dāng)時，的方向具有任意性C．D．當(dāng)時，的方向與的方向一定相同【答案】ABD