新版北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理(-)

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)

展學(xué)生的合情推力意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與

現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一

步發(fā)展學(xué)生的說(shuō)理和簡(jiǎn)單的推理的意識(shí)及能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：了解勾股定理的由來(lái)，并能用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的

問(wèn)題。

難點(diǎn)：勾股定理的發(fā)現(xiàn)

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題

出示投影1(章前的圖文pl)教師道白：介紹我國(guó)古代在

勾股定理研究方面的貢獻(xiàn)，并結(jié)合課本p5談一談，講述我國(guó)

是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，介紹商高(三千多年前周期

的數(shù)學(xué)家)在勾股定理方面的貢獻(xiàn)。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答:

1、觀察圖1-2,正方形A中有個(gè)小方格，即A的

面積為個(gè)單位°

正方形B中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)

單位。

正方形C中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)

單位。

2、你是怎樣得出上面的結(jié)果的？在學(xué)生交流回答的基礎(chǔ)

上教師直接發(fā)問(wèn)：3、圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什

么關(guān)系？

學(xué)生交流后形成共識(shí)，教師板書，A+B=C,接著提出圖

1—1中的A.B,C的關(guān)系呢？

二、做一做

出示投影3（書中P3圖1-4）提問(wèn)；

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關(guān)系？

2、圖1-4中，A,B,C之間有什么關(guān)系？

3、從圖1—1,1—2,1—3,1|一中你發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生討論、交流形成共識(shí)后，教師總結(jié)：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的

正方形面積。三、議一議

2

1、圖1—1、1—2、1—3、1一中，你能用三角形的邊長(zhǎng)

表示正方形的面積嗎？

2、你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

在同學(xué)的交流基礎(chǔ)上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就

是著名的“勾股定理”

也就是說(shuō)：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么a2b2c2

我國(guó)古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長(zhǎng)的為股,

斜邊為弦，這就是勾股定理的由來(lái)。

3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個(gè)直角三角形,

并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度（學(xué)生測(cè)量后回答斜邊長(zhǎng)為13）請(qǐng)大家想

一想（2）中的規(guī)律，對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎（回答是肯定

的：成立）

四、想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機(jī)，指的是屏幕的長(zhǎng)嗎

只的是屏幕的款嗎那他指什么呢

五、鞏固練習(xí)

1、錯(cuò)例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應(yīng)滿足c23242二25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形

這個(gè)必不可少的條件，可本題

△ABC并未說(shuō)明它是否是直角三角形，所以用勾股定理

就沒有依據(jù)°（2）若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也

不一定是滿足a2b2c2,題目中并為交待C是斜邊

綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無(wú)法求得。

2、練習(xí)P7§1.11

六、作業(yè)

課本P7§L12、3、4

§1」探索勾股定理（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷運(yùn)用拼圖的方法說(shuō)明勾股定理是正確的過(guò)程，在

數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。

2.掌握勾股定理和他的簡(jiǎn)單應(yīng)用

重點(diǎn)難點(diǎn)：

3

重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用拼圖的方法證明勾股定理

難點(diǎn)：用面積證勾股定理

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題

我們已經(jīng)通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關(guān)系,

究竟是幾個(gè)實(shí)例，是否具有普遍的意義，還需加以論證，下面

就是今天所要研究的內(nèi)容，下邊請(qǐng)大家畫四個(gè)全等的直角三角

形，并把它剪下來(lái)，用這四個(gè)直角三角形，拼一拼、擺一擺，

看看能否得到一個(gè)含有以斜邊C為邊長(zhǎng)的正方形，并與同學(xué)交

流。在同學(xué)操作的過(guò)程中，教師展示投影1(書中p7圖1—7)

接著提問(wèn)：大正方形的面積可表示為什么？

1

(同學(xué)們回答有這幾種可能:(1)(a2b2)(2)ab4c2)

2

在同學(xué)交流形成共識(shí)之后，教師把這兩種表示大正方形面

積的式子用等號(hào)連接起來(lái)。

1

a2b2=ab4c2請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到：

2

a22abb22abe2即a2b2=c2

這就可以從理論上說(shuō)明勾股定理存在。請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ビ脛e的

拼圖方法說(shuō)明勾股定理。

二、講例

1、飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛機(jī)飛到一個(gè)男

孩頭頂正上方4000多為處，過(guò)20秒，飛機(jī)距禹這個(gè)男孩頭頂

5000米，飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米？分析；根據(jù)題意；可以先

畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中△ABC的

c90,AC4000米，AB=5000米，欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行

多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒的時(shí)間里的飛行路程，即圖

中的CB的長(zhǎng)，由于直角4ABC的斜邊AB=5000米，

A04000米，這樣的CB就可以通過(guò)勾股定理得出。這里一定

要注意單位的換算。

解：由勾股定理得BC2AB2AC252429（千米）

即BC=3千米飛機(jī)20秒飛行3千米，那么它1小時(shí)飛行

的距離為:3600

3540（千米/小時(shí)）

20

答：飛機(jī)每個(gè)小時(shí)飛行540千米。

三、議一議

展示投影2（書中的圖1—9）

觀察上圖，應(yīng)用數(shù)格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長(zhǎng)

是否滿足a2b2c2同學(xué)在議論交流形成共識(shí)之后，老師總結(jié)。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使

用勾股定理。四、作業(yè)PU§1.21、2

4

§1,2一定是直角三角形嗎

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；

2,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感，增加對(duì)勾股數(shù)的直觀體驗(yàn)，培養(yǎng)從實(shí)

際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立數(shù)學(xué)模型.

3,會(huì)通過(guò)邊長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并會(huì)辨

析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

敢于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知

識(shí)解決問(wèn)題的成功經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)

用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

運(yùn)用身邊熟悉的事物，從多種角度發(fā)展數(shù)感，會(huì)通過(guò)邊長(zhǎng)

判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并會(huì)辨析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪

個(gè)結(jié)論;會(huì)辨析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論.

課前準(zhǔn)備

標(biāo)有單位長(zhǎng)度的細(xì)繩、三角板、量角器

教學(xué)過(guò)程；

復(fù)習(xí)引入：

請(qǐng)學(xué)生復(fù)述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

已知△ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13對(duì)嗎?

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景：由課前準(zhǔn)備好的一組學(xué)生以小品的形式演

示教材第9頁(yè)古埃及造直角的方法.

這樣做得到的是一個(gè)直角三角形嗎

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課；

1.如何來(lái)判斷（

用直角三角板檢驗(yàn)）

這個(gè)三角形的三邊分別是多少（一份視為1）它們之間存

在著怎樣的關(guān)系就是說(shuō)，如果三角形的三邊為a,b,c,請(qǐng)猜

想在什么條件下，以這三邊組成的三角形是直角三角形（

當(dāng)滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時(shí)）

2.繼續(xù)嘗試：下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,

b,c：

5

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

(2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一

量，它們都是直角三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿

足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

13CC

4.例1一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中

/A和/DBC都應(yīng)

DD為直角.工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示,

這個(gè)零件符合要求嗎？

125

4

A

3

BAB

隨堂練習(xí)：

1,下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理

由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為

_______三角形，

13

是最大角.

C

D3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,

DA=13,且/ABC=90,求這個(gè)四邊

12

4

形的面積.

A

3

B

4.習(xí)題1.3

課堂小結(jié):

1,直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿

足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

2.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴(kuò)

大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).

§13勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)知識(shí)點(diǎn)：能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件

（即勾股定理的逆定理）解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

能力訓(xùn)練要求：

1.學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空

間觀念.

2.在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形過(guò)程中，提高分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

情感與價(jià)值觀要求：L通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣.

6

2.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，體

現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理,

并用它們解決生活實(shí)際問(wèn)題.

難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股

定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

1、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課：

前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎?

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要,需使梯子底

端離建筑物5米，至

BB

少需多長(zhǎng)的梯子？

根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米,

AB是梯子的長(zhǎng)度.所以在RtAABC中，

AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米，

AA

所以至少需13米長(zhǎng)的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

出示問(wèn)題：有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑

等于3厘米.在圓行柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上

底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的的最短路程

是多少(冗的值取3).

(1)同學(xué)們可自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓

柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢(小組討論)

(2)如圖，將圓柱側(cè)面剪開展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，從A點(diǎn)

到B點(diǎn)的最短路線是什么你畫對(duì)了嗎

(3)螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱

側(cè)面爬行的最短路程是多少(學(xué)生分組討論，公布結(jié)果)

我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長(zhǎng)方形.好了，現(xiàn)在咱

們就用剪刀沿母線AA，將圓柱的側(cè)面展開(如下國(guó)).

我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法：

⑴A—A'—B；⑵ATBJB；

(3)ATD.B；(4)A一一＞B.

哪條路線是最短呢你畫對(duì)了嗎

第(4)條路線最短.因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁(yè)。李叔叔隨身只帶卷尺檢測(cè)AD,

BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測(cè)/DAB=90。，

/CBA=90。.連結(jié)BD或AC,也就是要檢測(cè)△

7

DAB和aCBA是否為直角三角形很顯然，這是一個(gè)需用

勾股定理的逆定理來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題.

③、隨堂練習(xí)

出示投影片

1.甲、乙兩位探險(xiǎn)者，到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn).某日早晨8：00甲

先出發(fā)，

他以6千米/時(shí)的速度向東行走.1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千

米/時(shí)的速

度向北行進(jìn).上午10：00,甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

2.如圖，有一個(gè)高L5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在

靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶

外的部分是0.5

米，問(wèn)這根鐵棒應(yīng)有多長(zhǎng)？

L分析：首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模

型.

解：（如圖）根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10：00

時(shí)甲到達(dá)B點(diǎn)，則AB=2x6=12（千米）；乙到達(dá)C點(diǎn)，則

AC=lx5=5（千米）.

在RtAABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以

BO13千米.即甲、乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，

因而鐵棒的長(zhǎng)是一個(gè)取值范圍而不是固定的長(zhǎng)度，所以鐵棒最

長(zhǎng)時(shí)，是插入至底部的A點(diǎn)處，鐵棒最短時(shí)是垂直于底面時(shí).

解：設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為x米，則應(yīng)求最長(zhǎng)時(shí)和最短時(shí)

的值.

（1）x2=1,52+22,x2=6,25,x=2,5

所以最長(zhǎng)是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2~3米之間（包含2米、3米）.

3,試一試（課本P15）

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)

題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10

尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1

尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的

水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？

我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，由勾股

定理可求

得

(x+1)2=x2+52,x2+2x+1=x2+25

解得x=12

則水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.

④、課時(shí)小結(jié)

8

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾

個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們從中可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這些實(shí)際問(wèn)題,

更為重要的是將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

⑤、課后作業(yè)

課本P25、習(xí)題1.52

第二章實(shí)數(shù)

§2.1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（一）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)：

L通過(guò)拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引

入的必要性2能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)：并能說(shuō)出現(xiàn)由.

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)：

1.讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，感受無(wú)理數(shù)存在的必要性

和合理性，培養(yǎng)大家的動(dòng)手能力和合作精神.

2.通過(guò)回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，能正確地進(jìn)行推理和判斷,

識(shí)別某些數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力.

（三）情感與價(jià)值觀目標(biāo)：

1.激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

2.引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流，討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)

他們的合作與鉆研精神.

3.了解有關(guān)無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)

他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神，

教學(xué)重點(diǎn)

L讓學(xué)生經(jīng)歷無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,感知生活中確實(shí)存在著不

同于有理數(shù)的數(shù)2會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)

1.把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)大正方形的動(dòng)手操作

過(guò)程.

2.判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

教學(xué)方法

教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］同學(xué)們，我們學(xué)過(guò)不計(jì)其數(shù)的數(shù)，概括起來(lái)我們都學(xué)

過(guò)哪些數(shù)呢？［生］在小學(xué)我們學(xué)過(guò)自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).

［生］在初一我們還學(xué)過(guò)負(fù)數(shù).

［師］對(duì)，我們?cè)谛W(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用

T,引入了負(fù)數(shù)，即把從小學(xué)學(xué)過(guò)的正數(shù)、零擴(kuò)充到有理數(shù)范

圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)范圍是否就能滿足我

們實(shí)際生活的需要呢？下面我們就來(lái)共同研究這個(gè)問(wèn)

9

題，

二、講授新課

L問(wèn)題的提出

［師］請(qǐng)大家四個(gè)人為一組，拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)

為1的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，

設(shè)法得到一個(gè)大的正方形，好嗎？［生］好.（學(xué)生非常高興地

投入活動(dòng)中）.

［師］經(jīng)過(guò)大家的共同努力，每個(gè)小組都完成了任務(wù)，請(qǐng)

各組把拼的圖展示一下，

同學(xué)們非常踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.

［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結(jié)一下：

下面請(qǐng)大家思考一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)拼成大正方形的邊長(zhǎng)為a,

則a應(yīng)滿足什么條件呢？

［生甲］a是正方形的邊長(zhǎng)，所以a肯定是正數(shù).

［生乙］因?yàn)閮蓚€(gè)小正方形面積之和等于大正方形面積，

所以根據(jù)正方形面積公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判斷a應(yīng)是1點(diǎn)幾.

［師］大家說(shuō)得都有道理，前面我們已經(jīng)總結(jié)了有理數(shù)包

括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么a是整數(shù)嗎？a是分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)大家分組討

論后回答，

［生甲］我們組的結(jié)論是：因?yàn)?2=1,22=4,32=9,...

整數(shù)的平方越來(lái)越大，所以a應(yīng)在1和2之間，故a不可能是

整數(shù).

111224111

［生乙］因?yàn)椋?，，…兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都

為分?jǐn)?shù)，所

224339339

以a不可能是分?jǐn)?shù)，

［師］經(jīng)過(guò)大家的討論可知，在等式a2=2中，a既不是

整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以a不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)

存在像a這樣的數(shù)，由此看來(lái)，數(shù)又不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

⑴在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積

是多少？

(2)設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為b,則b應(yīng)滿足什么條件？b是有

理數(shù)嗎？

［師］請(qǐng)大家先回憶一下勾股定理的內(nèi)容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊

為c,則有a2+b2=c2.［師］在這題中，兩條直角邊分別為1

和2,斜邊為b,根據(jù)勾股定理得b2=12+22,即b2=5,則b

是有理數(shù)嗎？請(qǐng)舉手回答.

［生甲］因?yàn)?2=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整

數(shù).

10

［生乙］沒有兩個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相乘得5,故b不可能是分

數(shù).

［生丙］因?yàn)闆]有一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方為5,所以5不

是有理數(shù).

［師］大家分析得很準(zhǔn)確，像上面討論的數(shù)a,b都不是

有理數(shù)，而是另一類數(shù)——無(wú)理數(shù).關(guān)于無(wú)理教的發(fā)現(xiàn)是付出

了昂貴的代價(jià)的.早在公元前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為

萬(wàn)物皆“數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之

比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來(lái)，這個(gè)學(xué)派中

的一個(gè)叫希伯索斯的成員發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)

不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示，這個(gè)發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)

派的信條，據(jù)說(shuō)為此希伯索斯被投進(jìn)了大海，他為真理而獻(xiàn)出

了寶貴的生命，但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來(lái)古希臘人終于正視

了希伯索斯的發(fā)現(xiàn),也就是我們前面談過(guò)的a2=2中的a不是有

理數(shù).我們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)都是前人給我們總結(jié)出來(lái)的，我們

一方面應(yīng)積極地學(xué)習(xí)這些經(jīng)驗(yàn)，另一方面我們也不能死搬教條,

要大膽質(zhì)疑，如不這樣科學(xué)就會(huì)永遠(yuǎn)停留在某處而不前進(jìn)，要

向古希臘的希伯索斯學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他為捍衛(wèi)真理而勇于獻(xiàn)身的精

神.

三、課堂練習(xí)

（一）課本P

35

隨堂練習(xí)

如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,高為h,h可能是整數(shù)

嗎可能是分?jǐn)?shù)嗎解：由正三角形的性質(zhì)可知BD=1,在

RSABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整數(shù)，也不可能

是分?jǐn)?shù).

（二）補(bǔ)充練習(xí)

為了加固一個(gè)高2米、寬1米的大門，需要在對(duì)角線位置

加固一條木板，設(shè)木板長(zhǎng)為a米，則由勾股定理得a2=12+22,

即a2=5,a的值大約是多少這個(gè)值可能是分?jǐn)?shù)嗎

解：a的值大約是2.2,這個(gè)值不可能是分?jǐn)?shù).

四、課堂小結(jié)

1,通過(guò)拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景，讓學(xué)生感

受有理數(shù)又不夠用了2能判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（二）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)：

1.借助計(jì)算器探索無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會(huì)

無(wú)限逼近的思想2會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)；

1.借助計(jì)算器進(jìn)行估算，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，發(fā)展學(xué)生

的抽象概括能力，并

11

在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的意識(shí)和能

力.

2.探索無(wú)理數(shù)的定義，以及無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能

辨別出一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)，訓(xùn)練大家的思維判斷能力.

（三）情感與價(jià)值觀目標(biāo)：

1.讓學(xué)生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學(xué)生的

數(shù)感和估算能力2充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)他們的合作精

神，提高他們的辨識(shí)能力，教學(xué)重點(diǎn)

1.無(wú)理數(shù)概念的探索過(guò)程.

2,用計(jì)算器進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算.

3.了解無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確地進(jìn)行判斷.

教學(xué)難點(diǎn)

1.無(wú)理數(shù)概念的建立及估算.

2,用所學(xué)定義正確判斷所給數(shù)的屬性.

教學(xué)方法

老師指導(dǎo)學(xué)生探索法

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］同學(xué)們，我們?cè)谏瞎?jié)課了解到有理數(shù)又不夠用了，

并且我們還發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)，如a2=2,b2=5中的a,b既不是整

數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，那么它們究竟是什么數(shù)呢？本節(jié)課我們就來(lái)

揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導(dǎo)入：［師］請(qǐng)看圖

大家判斷一下3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？

說(shuō)說(shuō)你的理由.［生］因?yàn)?個(gè)正方形的面積分別為1,2,4,

而面積又等于邊長(zhǎng)的平方，所以面積大的正方形邊長(zhǎng)就大.

［師］大家能不能判斷一下面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a的

大致范圍呢？［生］因?yàn)閍2大于1且a2小于4,所以a大致

為1點(diǎn)幾，

［師］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示為l<aV2.

那么a究竟是1點(diǎn)兒呢請(qǐng)大家用計(jì)算器進(jìn)行探索，首先確定十

分位,十分位究竟是幾呢如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,

1.42=1.96,1.52=2.25,而a2=2,故a應(yīng)比L4大且比1.5小,

可以寫成L4<aV1.5,所以a是1點(diǎn)4幾，即十分位上是4,

請(qǐng)大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數(shù)字.

［生］因?yàn)?.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a應(yīng)比

1.41大且比142小，所以百分位上數(shù)字為1.

［生］因?yàn)?.4112=1.990921,1.4122=1.993744,

1.4132=1.996569,

12

1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以a應(yīng)比L414大

而比L415小,即千分位上的數(shù)字為4.

［生］因?yàn)?.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,

所以a應(yīng)比L4142大且比1.4143小，即萬(wàn)分位上的數(shù)字為2.

［師］大家非常聰明，請(qǐng)一位同學(xué)把自己的探索過(guò)程整理

一下，用表格的形式反映出來(lái)，

［生］我的探索過(guò)程如下.

邊長(zhǎng)a面積S

l<a<21<S<4

1.4<a<1,51,96<S<2,25

1.41<a<1,421.9881<S<2,0164

1.414<a<1,4151.999396<S<2,002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［師］還可以繼續(xù)下去嗎？

［生］可以.

［師］請(qǐng)大家繼續(xù)探索，并判斷a是有限小數(shù)嗎？

［生］a=L41421356…,還可以再繼續(xù)進(jìn)行,且a是一個(gè)

無(wú)限不循環(huán)小數(shù).［師］請(qǐng)大家用上面的方法估計(jì)面積為5的

正方形的邊長(zhǎng)b的值.邊長(zhǎng)b會(huì)不會(huì)算到某一位時(shí)，它的平方

恰好等于5?請(qǐng)大家分組合作后回答.（約4分鐘）［生］

b=2.236067978…,還可以再繼續(xù)進(jìn)行,b也是一個(gè)無(wú)限不循

環(huán)小數(shù).［生］邊長(zhǎng)b不會(huì)算到某一位時(shí)，它的平方恰好等于5,

但我不知道為什么.［師］好.這位同學(xué)很坦誠(chéng)，不會(huì)就要大膽

地提出來(lái)，而不要冒充會(huì)，這樣才能把知識(shí)學(xué)扎實(shí)，學(xué)透，大

家應(yīng)該向這位同學(xué)學(xué)習(xí).這個(gè)問(wèn)題我來(lái)回答.如果b算到某一位

時(shí)，它的平方恰好等于5,即b是一個(gè)有限小數(shù)，那么它的平

方一定是一個(gè)有限小數(shù)，而不可能是5,所以b不可能是有限

小數(shù).

2.無(wú)理數(shù)的定義

請(qǐng)大家把下列各數(shù)表示成小數(shù).

4582

3,,”,并看它們是有限小數(shù)還是無(wú)限小數(shù)，是循環(huán)小數(shù)

還是不循環(huán)小

594511

數(shù).大家可以每個(gè)小組計(jì)算一個(gè)數(shù)，這樣可以節(jié)省時(shí)間.

?45

［生］3=3.0,=0.8,=5,

?95-82

.17,1.818

11454582

［生］3,是有限小數(shù)，，，是無(wú)限循環(huán)小數(shù).

594511

［師］上面這些數(shù)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)總可以用有限

小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示.反過(guò)來(lái)，任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)

小數(shù)都是有理數(shù).

像上面研究過(guò)的a2=2,b2=5中的a,b是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)(irrationalnumber).

13

除上面的a,b外,圓周率兀=3.14159265…也是一個(gè)無(wú)限

不循環(huán)小數(shù)，0,5858858885…(相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次加

1)也是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它們都是無(wú)理數(shù).

3,有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的主要區(qū)別

(1)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限

循環(huán)小數(shù).

(2)任何一個(gè)有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)則

不能.

4.例題講解

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)哪些是無(wú)理數(shù)

3.14,一,.57,0.1010010001...(相鄰兩個(gè)1之間的個(gè)數(shù)

逐次加1).

??34

解;有理數(shù)有3.14,一，.57.無(wú)理數(shù)有0.1010010001….

3

三、課堂練習(xí)

(一)隨堂練習(xí)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)哪些是無(wú)理數(shù)

?1

0.4583,3.7,一兀，一，18.

7-1

解：有理數(shù)有0.4583,3.7,―,18,無(wú)理數(shù)有一九

7

(二)補(bǔ)充練習(xí)

投影片(§2.1.2A)

判斷題

(1)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的差都是有理數(shù).

(2)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù).

(3)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).

(4)兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù).

解：(1)錯(cuò).例兀一1是無(wú)理數(shù).

(2)錯(cuò).例1.5是有理數(shù).

(3)對(duì).因?yàn)闊o(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以是無(wú)限小數(shù).

(4)對(duì).因?yàn)閮蓚€(gè)符號(hào)相反的無(wú)理數(shù)之和是有理數(shù).例兀一兀=0.

投影片(§2,1,2B)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)哪些是無(wú)理數(shù)

2”

0.351,-,4.96,3.14159,-5.2323332…,

123456789101112...

3

(由相繼的正整數(shù)組成).

2”

解：有理數(shù)有0,351,-A96,3J4159,

3

無(wú)理數(shù)有一5.2323332…，123456789101112….

投影片(§2.L2C)

14

在下列每一個(gè)圈里，至少填入三個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù).

［生］有理數(shù)集合填，，一3.

311

無(wú)理數(shù)集合填一元,一兀，0.323323332….

2

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容.

1,用計(jì)算器進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算，

2.無(wú)理數(shù)的定義.

3,判斷一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)或有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.2平方根（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)

平方根。

2、會(huì)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。

3、了解算術(shù)平方根的性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)

正數(shù)的算術(shù)平方根。教學(xué)難點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題引入

1.教師活動(dòng)：回顧上節(jié)課的拼圖活動(dòng)及探索無(wú)理數(shù)的過(guò)程,

提出問(wèn)題：面積為13的正方形的邊長(zhǎng)究竟是多少？

學(xué)生活動(dòng)：

（1）完成課本P32的填空：

a2=b2=,

c2=d2=e2=,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)

你能表示它們嗎2,師生互動(dòng)

集體交流后，說(shuō)明無(wú)理數(shù)也需要一種表示方法。

二、講授新課：

算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于

a,即x2a,那么，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。記為:

“a”讀做根號(hào)a。特別地，的算術(shù)平方根是。

2

2那么a2,則a=2b=3,則b二

3

這樣的話，一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根就可以表示為

a

例1分別寫出下列各數(shù)的算術(shù)平方根

5

15

（要求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，一般的方法是先按平方的概

念來(lái)找哪個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)。）

例2自由下落物體的高度h（米）與下落時(shí)間t（秒）的關(guān)系

為h:4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達(dá)地

面需要多長(zhǎng)時(shí)間

學(xué)生活動(dòng)：一個(gè)同學(xué)在黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上

做，然后交流。師生互動(dòng)：完成引例中的x213,則x13,

以后我們可以利用計(jì)算器求出這個(gè)數(shù)的近似值。

三、隨堂練習(xí)：P391

四、小結(jié)：

（1）內(nèi)容總結(jié)：

①算術(shù)平方根的定義、表示；②a的雙重非負(fù)性。

（2）方法歸納：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法：即將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為熟悉的問(wèn)題解決。五、作業(yè)：

P40習(xí)題2.312

§2.2平方根（二）

教學(xué)目標(biāo)：

Is了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根。

2、會(huì)求一個(gè)正數(shù)的平方根。

3、了解平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)。

4、了解乘方和開方是互逆運(yùn)算，會(huì)利用這個(gè)互逆運(yùn)算求

某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根°

教學(xué)重點(diǎn)；了解平方根和開平方的概念、性質(zhì)，會(huì)用根號(hào)

表示一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根和平方根。

教學(xué)難點(diǎn)：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別°負(fù)數(shù)沒有平方根,

即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算。

教學(xué)過(guò)程；

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

1、算術(shù)平方根的概念，任何一個(gè)有理數(shù)都有算術(shù)平方根

嗎？算術(shù)平方根有什么性質(zhì)。

2、9的算術(shù)平方根是，3的平方是，

還有其他的數(shù)的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

4

平方等于的數(shù)有幾個(gè)平方等于0.64的數(shù)呢

25

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動(dòng)：

16

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2a,那么，

這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根。也叫做二次方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個(gè)3和一3；9

的算術(shù)平方根只有一個(gè)，是3。

3.學(xué)生活動(dòng)：

求出下列各數(shù)的平方根。

4

16,,,—25,

9

三、議一議：

（1）一個(gè)正數(shù)的有幾個(gè)平方根？

（2）有幾個(gè)平方根？

（3）負(fù)數(shù)呢?

★教師活動(dòng)：

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，只有一個(gè)平方根，它是本身；負(fù)

數(shù)沒有平方根?！顚W(xué)生活動(dòng)：

正數(shù)的兩個(gè)平方根有什么關(guān)系嗎?

討論，交流得出：

一個(gè)正數(shù)a有兩個(gè)平方根，一個(gè)是a的算術(shù)平方根，“a”,

另一個(gè)是“a”，它們互為相反數(shù)。這兩個(gè)平方根合起來(lái)，可以

記做“臚,讀作“正、負(fù)根號(hào)臚。

開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫伏開平方。其中

a叫做被開方數(shù)。(已知指數(shù)和尾，求底數(shù)的運(yùn)算是開方運(yùn)算)

★教師活動(dòng)

開平方和平方互為逆運(yùn)算，我們可以利用平方運(yùn)算來(lái)求平

方根。

四、例題精析：

例1求下列各數(shù)的平方根：

49

(1)64,(2),(3)0.0004,(4)(-25)2,(5)11

121

五、隨堂練習(xí)：P361、2

例2若x2402412,求x；

★教師活動(dòng)：

通過(guò)例2,要學(xué)生進(jìn)一

249

(1)(64)2等于多少?

121

等于多少？步明白平方根與算術(shù)平

2

方根在應(yīng)用上的區(qū)別。

⑵

7.2

等于多少？

六、想一想

a

2

等于多少？(3)對(duì)于正數(shù)a,

師生互動(dòng)，討論交流得

2(a)a(a>)出：

七、小結(jié)：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質(zhì)Q平方根和算術(shù)

平方根的區(qū)別和聯(lián)系6

17

2.使學(xué)生學(xué)到由特殊到一般的歸納法。

八、作業(yè)；

P36習(xí)題2.4和試一試P533

§2.3立方根

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解一個(gè)數(shù)的立方根概念，并會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)

數(shù)的立方根；2.理解開立方的概念；

3,明確立方根個(gè)數(shù)的性質(zhì)，分清一個(gè)數(shù)的立方根與平方根

的區(qū)別.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：立方根的概念及求法.

難點(diǎn)：立方根與平方根的區(qū)別.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)：請(qǐng)同學(xué)回答下列問(wèn)題：

(1)什么叫一個(gè)數(shù)a的平方根如何用符號(hào)表示數(shù)a(K))的平

方根

(2)正數(shù)有幾個(gè)平方根它們之間的關(guān)系是什么負(fù)數(shù)有沒有

平方根平方根是什么

(3)當(dāng)心0時(shí)，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

二、引入新課

1.計(jì)算下列各題：

(1).13;(2)(23)3；(3)3.

2.立方根的概念.

一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立

方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

數(shù)a的立方根用符號(hào)"3a”表示，讀作“三次根號(hào)a,其中a是被

開方數(shù)，3是根指數(shù),(注意：根指數(shù)3不能省略).

3.開立方.

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，開立方與立方也

是互為逆運(yùn)算，因此求一個(gè)數(shù)的立方根可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

三、講解例題：

例1求下列各數(shù)的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個(gè)數(shù)的立方根，我們可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

(2)因?yàn)?2)3=8,所以一8的立方根是一2即38=-2

(3)因?yàn)?53=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即

3.125=0.5.

327327

(4)因?yàn)?一)3二一,所以一27125的立方根是一35,即3=

55125125

33(5)因?yàn)槎?,所以的立方根是，即二0.

18

例2求下列各式的值：

27

333(1)27；(2)64；(3).

1000

四、隨堂練習(xí)

L判斷題；

(1)4的平方根是2；(2)8的立方根是2：(3)—0.064的立方

根是一0.4；(4)127的立方根是±13

1

(5)一的平方根是±4；(6)—12是144的平方根

16

2.選擇題:

⑴數(shù)0.000125的立方根是.

A.0.5B+0.5C.0.05D.0.005

(2)下列判斷中錯(cuò)誤的是0

A.一個(gè)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)的乘積為非負(fù)數(shù)B.一個(gè)數(shù)的

兩個(gè)平方根之積負(fù)數(shù)

C,一個(gè)數(shù)的立方根未必小于這個(gè)數(shù)D,零的平方根等于零

的立方根3.求下列各數(shù)的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4,求下列各式的值：

1000125

333(1)100；(2)1000；(3);(4)：(5)31;

72964

五、小結(jié)請(qǐng)思考下面的問(wèn)題：

L什么叫一個(gè)數(shù)的立方根怎樣用符號(hào)表示教a的立方根a

的取值范圍是什么2.數(shù)的立方根與數(shù)的平方根有什么區(qū)別？

3.正數(shù)只有一個(gè)正的立方根，但有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方

根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立

方根，但沒有平方根.

4.求一個(gè)數(shù)的立方根，可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

§2.4估算

教學(xué)目標(biāo)

1.能通過(guò)估算檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性，能估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)

的大致范圍，并能通過(guò)估算比較兩個(gè)數(shù)的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.

教學(xué)重點(diǎn)

L讓學(xué)生理解估算的意義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.

2.掌握估算的方法，提高學(xué)生的估算能力.

教學(xué)難點(diǎn)

掌握估算的方法，并能通過(guò)估算比較兩個(gè)數(shù)的大小.

教學(xué)過(guò)程

一.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，請(qǐng)大家說(shuō)出咱們班男生和女生的平均身高,你又

是怎樣得出結(jié)果的

19

呢？

（我猜的.）

“猜'’字的意思就是根據(jù)自己的判斷而估計(jì)得出的結(jié)果，它

并不是準(zhǔn)確值，但也不是無(wú)中生有，是有一定的理論根據(jù)的，

本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)有關(guān)估算的方法.

二.講授新課

問(wèn)題：某地開辟了一塊長(zhǎng)方形的荒地，新建一個(gè)以環(huán)保為

主題的公園，已知這塊荒地的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積為

400000米2.

(1)公園的寬大約是多少它有1000米嗎

(2)如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？

(3)該公園中心有一個(gè)圓形花圃，它的面積是800米2,你

能估計(jì)它的半徑嗎(誤差小于1米)

提示：要想知道公園的寬大約是多少，首先應(yīng)根據(jù)已知條

件求出已知量與未知量的關(guān)系式，那么它們之間有怎樣的聯(lián)系

呢？

(因?yàn)橐阎L(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，且它的面積為40000

米2,根據(jù)面積公式就能找到它們的關(guān)系式,可設(shè)公園的寬為x

米，則公園的長(zhǎng)為2x米，由面積公式得：

2x2=400000.e.x2=200000o所以公園的寬x就是面積

200000的算術(shù)平方根).

在估算時(shí)我們首先要大致確定數(shù)的范圍，因此有必要做一

些準(zhǔn)備工作.請(qǐng)大家先計(jì)算出20以內(nèi)正整數(shù)的平方和10以內(nèi)

正整數(shù)的立方.并加以記憶，對(duì)我們的估算很有幫助.

12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；

82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；

142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；

202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；

83=512；93=729;103=1000.

下面我們可以進(jìn)行估算，請(qǐng)同學(xué)們分組討論而后回答.

(1)公園的寬沒有1000米，因?yàn)?000的平方是

1000000,而200000小于1000000,所以它沒有1000米寬.

大家能不能具體確定一下公園的寬是幾位數(shù)呢？

因?yàn)?00的平方是10000,1000的平方是1000000,而

200000大于10000小于1000000,所以公園的寬比100大而比

1000小,是三位數(shù).

大家在估算時(shí)就可用這樣的方法大致估算一下是幾位數(shù)，

這樣使范圍縮小，為下一步的估算作準(zhǔn)備.由此看來(lái)公園的寬

大約是幾百米，下面請(qǐng)大家繼續(xù)討論做(2)題，

20

因?yàn)?00的平方等于160000,500的平方為250000,所

以公園的寬x應(yīng)比400大比500小.

所以x應(yīng)為400多，再繼續(xù)估算，估計(jì)十位上的數(shù)字是幾.

因?yàn)?40的平方為193600,450的平方為202500,所以x

應(yīng)比440大比450小,故十位上的數(shù)為4.

因?yàn)轭}目要求誤差小于10米，好應(yīng)精確到十位，所以我

們估算出十位上的數(shù)就行了，即公園的寬x應(yīng)為440米，現(xiàn)在

我們可以根據(jù)剛才的估算來(lái)總結(jié)一下步驟.

1.估計(jì)是幾位數(shù).

2.確定最高位上的數(shù)字（如百位）.

3,確定下一位上的數(shù)字，（如十位）

4.依次類推，直到確定出個(gè)位上的數(shù)，或者按要求精確到

小數(shù)點(diǎn)后的某一位,在以后的估算中我們就可按這樣的步驟進(jìn)

行.再看（3）題，先列出關(guān)系式.

800800

（設(shè)半徑為x米，則有71x2=800/.x2=-255,Wx2-255

3.14

因?yàn)?02=100,1002=10000,所以x應(yīng)是兩位數(shù)，又因?yàn)?/p>

152=255,162=256,所以x就比15大比16小,應(yīng)為15點(diǎn)幾,

所以應(yīng)為15米.）

在題目中要求誤差小于1,而不是精確到1,所以15米和

16米都滿足要求，即x應(yīng)為15米或16米.

二、議一議

（1）下列計(jì)算結(jié)果正確嗎你是怎樣判斷的與同伴交流.

.43^0.066；3900^96；2536a60.4

（2）你能估算3900的大小嗎（

誤差小于1）.

三、例題講解

［例1］（課本40頁(yè)例1）

511

與的大小［例2］通過(guò)估算，比較

22

分析：因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的分母相同，所以只需比較分子即可.

四、課堂練習(xí)

（一）隨堂練習(xí)

（二）補(bǔ)充練習(xí)：比較12與3.4的大小.

解:因?yàn)?.4的平方為11.56,所以12大于11.56,即12

>3.4.

五,課堂小結(jié)

本節(jié)課主要是讓學(xué)生掌握估算的方法，形成估算的意識(shí)，

發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，并能用估算來(lái)比較大小.

六,課后作業(yè)：習(xí)題2.6

21

§2.5用計(jì)算器開方

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)

1.會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.

2.經(jīng)歷運(yùn)用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)，發(fā)展合情推理的

能力.

教學(xué)重點(diǎn)

L探索計(jì)算器的用法，

2.用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律.

教學(xué)過(guò)程

一、新課導(dǎo)入

我們?cè)谇皫坠?jié)課分別學(xué)習(xí)了平方根和立方枝的定義，還知

道乘方與開方是互為逆運(yùn)算.比如23=8,2叫8的立方根，8叫

2的立方，有時(shí)可以根據(jù)逆運(yùn)算來(lái)求方根或平方、立方,對(duì)于

10以內(nèi)數(shù)的立方，20以內(nèi)數(shù)的平方要求大家牢記在心，這樣

可以根據(jù)逆運(yùn)算快速地求出這些特殊數(shù)的平方枝或立方根，那

么對(duì)于不特殊的數(shù)我們應(yīng)怎么求其方根呢？可以根據(jù)估算的方

法來(lái)求，但是這樣求方根的速度太慢，這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)一種

快速求方根的方法，用計(jì)算器開方.二、新課講解

［師］請(qǐng)大家互相看一下計(jì)算器，拿類型相同的計(jì)算器的

同學(xué)請(qǐng)坐到一起.這樣便于大家互相討論問(wèn)題.如果你的計(jì)算器

的類型與書中的計(jì)算器的類型相同，請(qǐng)你按照書中的步驟熟悉

一下程序，若你的計(jì)算器的類型不同于書中的計(jì)算器，請(qǐng)拿相

同類型計(jì)算器的同學(xué)先要探索一下如何求平方根、立方根的步

驟，把程序記下來(lái)，好嗎？給大家8分鐘時(shí)間進(jìn)行探索.

2

［師］現(xiàn)在根據(jù)自己掌握的程序計(jì)算5.89,

3,31285,5+1,67—心然

7

后和書中的數(shù)據(jù)相對(duì)照，檢查自己做的是否正確.

三、做一做

利用計(jì)算器，求下列各式的值(結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字)；

22

(1)800；(2)

3

；(3),58；(4)3432,

5

［例題］利用計(jì)算器比較33和2的大小.

剛才我們練習(xí)了10個(gè)小題，對(duì)于求平方根或者立方根的

程序已基本熟練，在此基礎(chǔ)上，下面我們來(lái)做一個(gè)判斷題，看

看題中已經(jīng)求出的立方根與平方根是否正確.

投影片：(§2.5B)

下列計(jì)算結(jié)果正確嗎？

(1)1234~35.1；(2)31200^10.6；(3)8955=9.5；(4)312345

-231.

四、議一議

(1)任意找一個(gè)你認(rèn)為很大的正數(shù)，利用計(jì)算器對(duì)它進(jìn)行

開平方運(yùn)算，對(duì)所得

22

結(jié)果再進(jìn)行開平方運(yùn)算….隨開方次數(shù)的增加，你發(fā)現(xiàn)了

什么？

五、課堂練習(xí)

5511.利用計(jì)算器，比較下列各組數(shù)的大小.(1)311,5；(2),.

82

2.用計(jì)算器求下列各式的值.

8

(1).2116；(2)-56169；(3).0121：(4)：(5)790.8：

25

(6).0006705；

(7)-37456.3；(8)3.84521；(9)22；(10)

8

5；(11)3400000；

79六、課時(shí)小結(jié)

1.探索用計(jì)算器求平方根和立方根的步驟，并能熟練地進(jìn)

行操作.

2.經(jīng)歷運(yùn)用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)，發(fā)展合情推理的

能力.

課后作業(yè):習(xí)題2,5（作為測(cè)驗(yàn)試卷）

§2.6實(shí)數(shù)（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.了解無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)的意義，并用類比的方法引入實(shí)數(shù)的

相關(guān)概念等；2,了解實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，并會(huì)求一

個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值；3.靈活運(yùn)用開方的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)

題；體現(xiàn)從有理數(shù)運(yùn)算到實(shí)數(shù)運(yùn)算的自然過(guò)渡。

教學(xué)重難點(diǎn)

L無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念；

2,對(duì)無(wú)理數(shù)相反數(shù)和絕對(duì)值的求法。

教學(xué)方法

Ln次方根

求a的n次方根的運(yùn)算，叫做把a(bǔ)開n次方，a叫做被開

方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

2.奇次方根和偶次方根

將一個(gè)數(shù)開奇次方時(shí)，求得的方根叫做奇次方根；

將一個(gè)非負(fù)數(shù)開偶次方時(shí)，求得的方根叫做偶次方根Q

3.開方：求一個(gè)數(shù)的方根的運(yùn)算，叫做開方6

開n次方與n次乘方互為逆運(yùn)算。

4.有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，有理數(shù)都可以表示成有限小數(shù)

或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。5.無(wú)理數(shù)

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)（即開不盡方的數(shù)）無(wú)理數(shù)不

能表示成分?jǐn)?shù)的形式。

任何一個(gè)無(wú)理數(shù)，都可以用給定精確度的有理數(shù)來(lái)近似地

給予表示。

33

23

6,實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，反之，數(shù)軸上

的每點(diǎn)又都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)。（一一對(duì)應(yīng)）

7.實(shí)數(shù)的相反數(shù)

如果a表示一個(gè)實(shí)數(shù)，一a叫a的相反數(shù)，的相反數(shù)是。

8.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值

§2.6實(shí)數(shù)(二)

教學(xué)目標(biāo)

1.了解有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

2.用類比的方法，引入實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，并能用

這些法則，運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正確計(jì)算.

3,正確運(yùn)用公式

aa

abab(a,b);(a,b).

bb

教學(xué)重點(diǎn)

1.用類比的方法，引入實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，并能在

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正確進(jìn)行運(yùn)算.

2,發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

aa

abab(a,b);(a,b).并能用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.

bb

教學(xué)過(guò)程

一.新課導(dǎo)入

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的定義、實(shí)數(shù)的兩種分類，還有在

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如何求相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值，它們的求法和在有

理數(shù)范圍內(nèi)的求法相同.那么在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則、運(yùn)

算律等能不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)繼續(xù)用呢？本節(jié)課讓我們來(lái)一起進(jìn)

行探究.

二.新課講解

1.有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

大家先回憶一下我們?cè)谟欣頂?shù)范圍內(nèi)學(xué)過(guò)哪些法則和運(yùn)算

律.

(加、減、乘、除運(yùn)算法則，加法交換律，結(jié)合律，分配

律.)

下面我們就來(lái)驗(yàn)證一下這些法則和運(yùn)算律是否在實(shí)數(shù)范圍

內(nèi)適用.我們知道實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，而有理數(shù)不用再

考慮，只要對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證就可以

11了.

323(2)3,

22如：2332,

所以說(shuō)明有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用.下

面看一些例題.2232(23)252.

例：計(jì)算：

11

(1)31；(2)77；(3)(25)2；(4)(2)2.

32

2.做一做(書上48頁(yè))

24

請(qǐng)同學(xué)們先計(jì)算，然后分組討論找出規(guī)律.

通過(guò)上面計(jì)算的結(jié)果，大家認(rèn)真總結(jié)找出規(guī)律.

如果把具體的數(shù)字換成字母應(yīng)怎樣表示呢？

aa

總結(jié)；abab(a>0,b>0)；(a>0,b>0)

bb

化簡(jiǎn)；

2626(1)6；(2)273-4；(3)(3-1)2；(4)；(5).

3543

3.例題講解

［例題］化簡(jiǎn)：(書上49頁(yè)例題)

三、課堂練習(xí)

(一)隨堂練習(xí)

(二)補(bǔ)充練習(xí)

1.化簡(jiǎn)：

217(1)805502；(2)(1+5)(5-2)；(3)2(28)；(4)；

13410540

(5)(3)2；(6).

310

2.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5cm和45cm,

求這個(gè)直角三角形的面積.

四、小結(jié)

五、課后作業(yè)：習(xí)題2,9

§2.7二次根式

教學(xué)目標(biāo)

aa

1.式子abab(a>0,b>0)；(aX),b>0)的運(yùn)用.

bb

2,能利用化簡(jiǎn)對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)

L兩個(gè)法則的逆運(yùn)用，

2.能運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

一.導(dǎo)入新課

請(qǐng)大家先回憶一下算術(shù)平方根的定義.

(若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,則x叫a的算術(shù)平方根.)

下面我們用算術(shù)平方根的定義來(lái)求下列兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng),

以及邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.

問(wèn)：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a,小正方形的邊長(zhǎng)為b.請(qǐng)同學(xué)

們互相討論后得出結(jié)果.

(由正方形面積公式得a2=8,b2=2,所以大正方形邊長(zhǎng)a=8,

小正方形邊長(zhǎng)b=2,)

問(wèn)：那么a與b之間有怎樣的倍分關(guān)系呢？請(qǐng)觀察圖中的

虛線.

(大正方形的面積為小正方形面積的4倍，大正方形的邊

長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的

25

2倍■所以8=22.)那么8根據(jù)什么法則就能化成22呢？這

就是本節(jié)課的任務(wù).

二，新課講解

請(qǐng)大家回憶一下上節(jié)課學(xué)的兩個(gè)法則是什么？

aa

(abab(a>0,b>0)；(a>0,b>0))

bb

請(qǐng)大家根據(jù)上面法則化簡(jiǎn)下列式子.

25

(1)33；(2)24；(3)

3

;(4)3.

2712

請(qǐng)大家思考一下，剛才這位同學(xué)的步驟反過(guò)來(lái)推是否成立?

即從右往左推(.因?yàn)閺淖蟮接沂堑仁降耐茖?dǎo)，而從右向左也

是等式的推導(dǎo)，只不過(guò)是反過(guò)來(lái)推也應(yīng)成立.)

確實(shí)成立.下面再分析這些式子：

(1)3333;(2)242422;

332525

(3);(4)33.并和上節(jié)課的兩個(gè)法則相比較，有什么

不同嗎請(qǐng)大家交流后回答,大家能否用

27121227

式子表示出來(lái)

aa

小結(jié)：abab(a>O,b>)(a>0,b>0.)

b32125b

化簡(jiǎn)：(1)27；(2)45；(2)128；(4)54；(5)；(6).

916

.大家能不能總結(jié)一下剛才化簡(jiǎn)的這些式子有何規(guī)律呢？

這說(shuō)明根號(hào)里面的數(shù)有一部分移到了根號(hào)外面，那么什么

數(shù)能往外移呢它們又具備什么條件呢

(是平方數(shù).如(1)中根號(hào)內(nèi)的9移到外面變成了3；(2)、

(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面變成

4,(6)中分母16,分子25移到外面變成4,5.)

也就是說(shuō)被開方數(shù)中能分解因數(shù),且有些因數(shù)能開出來(lái)，這

時(shí)就需要對(duì)其進(jìn)行化

1222

簡(jiǎn).那么像下面的式子叫不叫化簡(jiǎn)呢(

2424

化簡(jiǎn))

能否說(shuō)一下它的特征呢？

如果被開方數(shù)中含有分母，要把分子分母同時(shí)乘以某一個(gè)

數(shù)，使得分母變成一個(gè)能開出來(lái)的數(shù)，然后把分母開出來(lái)，使

被開方數(shù)中沒有了分母.這也叫化簡(jiǎn),根據(jù)剛才我們的討論，對(duì)

于兩種情形可通過(guò)法則的逆運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，那么究竟是哪兩種

情形呢？

(.如果被開方數(shù)n含有分母，或者含有開得盡的因數(shù)，

則可通過(guò)逆運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn).)

上節(jié)課和本節(jié)課我們做的工作都是化簡(jiǎn)，并且用的是相同

的兩個(gè)公式，那么究竟什么情況下用法則、什么情況下又用法

則的逆運(yùn)算呢？

26

一般地，當(dāng)被開方數(shù)中含有分母或者含有能開得盡的因數(shù)

時(shí)，用法則的逆運(yùn)算；當(dāng)兩個(gè)含有根號(hào)的數(shù)相乘或相除，它們

的被開方數(shù)單獨(dú)開不出來(lái)，但是通過(guò)相乘或相除能出現(xiàn)開得盡

的因數(shù)時(shí)用法則.

例題講解

［例1］化簡(jiǎn)；