第7章質(zhì)點運(yùn)動定律7-1牛頓運(yùn)動定律7-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理7-3動量守恒定律7-4功動能定理7-5保守力與非保守力勢能7-6功能原理機(jī)械能守恒定律7-7彈性碰撞與非彈性碰撞7-8人造衛(wèi)星與宇宙飛船7-9相對論動量和能量7-10廣義相對論簡介主要內(nèi)容牛頓運(yùn)動定律；質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理；動量守恒定律；功、動能定理；保守力與非保守力、勢能；功能原理、機(jī)械能守恒定律；彈性碰撞與非彈性碰撞；相對論動量和能量。教學(xué)基本要求教學(xué)重點：牛頓運(yùn)動定律；動量守恒定律；

機(jī)械能守恒定律教學(xué)難點：相對論動量和能量教學(xué)目的：1.重點掌握牛頓運(yùn)動定律、動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律；2.掌握質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理、動能定理、功能原理、勢能和功的計算；3.理解相對論動量和能量。7.1牛頓運(yùn)動定律7-1-1牛頓第一運(yùn)動定律7-1-2牛頓第二運(yùn)動定律7-1-3牛頓第三運(yùn)動定律

7-1-4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用

*7-1-5非慣性系中的慣性力7.1牛頓運(yùn)動定律牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出了著名的運(yùn)動三定律，以及力的合成和分解法則、運(yùn)動疊加性原理、動量守恒原理、伽利略相對性原理等。第一篇運(yùn)用前面確立的基本定律研究引力問題；第二篇討論物體在介質(zhì)中的運(yùn)動；第三篇論宇宙體系，是力學(xué)在天文學(xué)中的具體應(yīng)用。其中貫穿全書、最核心的內(nèi)容是力學(xué)三定律和萬有引力定律。

7.1.1牛頓第一運(yùn)動定律站在車上常常發(fā)生這樣的現(xiàn)象：車啟動時，人會后仰；剎車時，人會向前傾。為什么會發(fā)生這樣的現(xiàn)象呢？早在300年前，伽利略設(shè)計了著名的斜面實驗。小球在毛巾上移動很短的距離就停下了；小球在粗布條上移動的距離較遠(yuǎn)；小球在光滑的木板上移動的距離最遠(yuǎn)。

伽利略認(rèn)為，是平面對小球的阻力使小球停下。平面越光滑，阻力越小，小球移動得就越遠(yuǎn)。伽利略科學(xué)地想象：要是平面十分光滑，阻力為零，小球的速度將不會減慢。伽利略根據(jù)這個實驗提出了慣性的概念。笛卡爾第一次表述了慣性定律：只要物體開始運(yùn)動，就將繼續(xù)以同一速度并沿著同一直線方向運(yùn)動，直到遇到某種外來原因造成的阻礙或偏離為止。7.1.1牛頓第一運(yùn)動定律牛頓總結(jié)指出：“任何物體，都保持其靜止?fàn)顟B(tài)，或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，除非施加外力迫使其改變這種狀態(tài)。”這個結(jié)論稱為牛頓第一運(yùn)動定律。這個定律揭示了兩個重要的概念：慣性和力。慣性：任何物體都具有的保持其原有運(yùn)動狀態(tài)的性質(zhì)。力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因。維持物體原有的運(yùn)動狀態(tài)并不需要力，要改變物體的運(yùn)動狀態(tài)才需要力的作用。7.1.1牛頓第一運(yùn)動定律7.1.1牛頓第一運(yùn)動定律牛頓第一運(yùn)動定律還揭示了：存在著慣性參照系。相對于這種參照系，不受其他物體作用的物體，運(yùn)動速度是恒定的，永遠(yuǎn)保持原來靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)。慣性參照系簡稱慣性系。相對于每一個慣性系做勻速直線運(yùn)動的參照系都是慣性系。所有的慣性系都是等效的。分析地面上的物體運(yùn)動時，可以把地球當(dāng)作慣性系。研究天體運(yùn)動時，可選擇以太陽中心為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸指向其他恒星的日心-恒星參照系。牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中還指出：“運(yùn)動的變化永遠(yuǎn)跟所加的外力成正比，而且是沿著外力作用的直線方向發(fā)生的?！庇矛F(xiàn)代的術(shù)語，可陳述為：物體動量對時間的變化率與物體所受的外力成正比，并和力的方向相同。其表達(dá)式為7.1.2牛頓第二運(yùn)動定律m——質(zhì)量；單位：千克，符號：kg國際單位制下，k=1v——速度；單位：米/秒，符號：m/smv——動量如果物體的質(zhì)量m不隨時間改變，牛頓第二運(yùn)動定律可寫作

即物體的加速度與作用于該物體上的力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，力與加速度的方向相同。加速度概念是伽利略提出的。伽利略把它同作用力聯(lián)系起來，但是未能進(jìn)一步弄清楚力和加速度的關(guān)系。牛頓繼承和發(fā)展了伽利略的工作，定量地揭示了力是如何克服物體的慣性的，如何改變物體的運(yùn)動狀態(tài)的，也揭示了力的獨(dú)立性和力的迭加原理。

7.1.2牛頓第二運(yùn)動定律a為物體的加速度，單位：米/秒27.1.2牛頓第二運(yùn)動定律必須明確牛頓第二定律中的力指的是作用在物體上的所有力的矢量和，稱為合外力。這里的質(zhì)量是慣性質(zhì)量，在概念上區(qū)別于在萬有引力定律中的引力質(zhì)量。牛頓第二定律只在慣性參照系中且物體的運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于光速時才是適用的。當(dāng)物體的速度接近光速時，牛頓第二定律不再成立，物體的運(yùn)動規(guī)律由狹義相對論決定。而微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律要用量子力學(xué)來描述。7.1.3牛頓第三運(yùn)動定律力的本質(zhì)是什么?牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中又提出了牛頓第三定律：“每個作用總有一個大小相等而方向相反的反作用，或者說，兩個物體的相互作用總是大小相等而方向相反。”這里的“作用”和“反作用”指的是兩個物體間相互作用的力，即一個物體對另一個物體施加作用力，受力物體也必然對施力物體施加反作用力。因此第三定律又稱為作用力和反作用力定律。7.1.3牛頓第三運(yùn)動定律現(xiàn)在，牛頓第三定律一般表述為：兩個物體間發(fā)生相互作用時，作用力與反作用力大小相等，方向相反，作用于同一直線上。數(shù)學(xué)表示為：式中腳標(biāo)1，2或2，1分別表示施力物體和受力物體。負(fù)號表示二力方向相反。

7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用牛頓運(yùn)動三定律互為補(bǔ)充，是一個完整的系統(tǒng)理論。既可以用于單個質(zhì)點系統(tǒng)也可以用于質(zhì)點組和質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)。當(dāng)已知系統(tǒng)或質(zhì)點的質(zhì)量和所受的合外力時，應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律可以直接求解出加速度；當(dāng)已知系統(tǒng)或質(zhì)點的質(zhì)量和運(yùn)動方程或速度、加速度時，應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律可以直接求解出系統(tǒng)或質(zhì)點所受的合外力；當(dāng)已知系統(tǒng)或質(zhì)點運(yùn)動方程或速度、加速度和所受的合外力時，應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律可以直接求解出系統(tǒng)或質(zhì)點的質(zhì)量。

7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律應(yīng)注意如下幾個問題：（1）牛頓運(yùn)動定律只適用于慣性系，而且只能應(yīng)用于宏觀低速運(yùn)動問題。（2）牛頓第二定律表示的是瞬時關(guān)系。力和加速度是對應(yīng)同一時刻的，并且二者互為依存，共生共長。（3）幾個力同時作用在一個物體上所產(chǎn)生的加速度，等于各個力單獨(dú)作用時的矢量和。這就是力的迭加原理。（4）要建立便于應(yīng)用的坐標(biāo)系。（5）在作受力圖時應(yīng)特別注意隔離體的約束關(guān)系，找出所有的約束反力。一般的表示直角坐標(biāo)表示自然坐標(biāo)表示牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用在討論地面附近的問題時，一般選取地球為參照系，當(dāng)然也可以選擇其它慣性系。在分析實際運(yùn)動問題時，首先要明確研究對象，只找出作用在質(zhì)點或系統(tǒng)上的力，而不考慮所研究的質(zhì)點或系統(tǒng)施加于其它物體的力。這稱為隔離法。將所研究的對象與其相關(guān)的物體隔離出來，這就是隔離體。在明確隔離體之后，最關(guān)鍵的是受力分析，要將所有作用在隔離體上的外力全部無一疏漏地找出來，按原作用的方向和作用點畫出受力圖，而不要畫力的分解圖。7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用使用隔離法解題的一般步驟可以歸納為：第一步，分析題意，確定研究對象。第二步，分析研究對象的受力情況。第三步，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用牛頓第二定律列出運(yùn)動方程。第四步，解方程或方程組。第五步，討論所得結(jié)果，正確分析結(jié)果的物理意義，去掉不符合實際的非物理解。7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用[例7-1]一個質(zhì)量為m的人站在電梯中，當(dāng)電梯以加速度a上升時，人對電梯底板的壓力多大？解：以人為研究對象。設(shè)人對電梯底板的壓力大小為N，其方向豎直向下。根據(jù)牛頓第三定律，電梯底板對人的支持力大小也是N，其方向垂直向上。人還受到豎直向下的重力，其大小為mg。人也受到水平方向的電梯底板對人的靜摩擦力，此力在電梯運(yùn)動方向上沒有分量，與本題無關(guān)。7.1.4牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用應(yīng)用牛頓第二定律建立運(yùn)動方程由此可得電梯底板對人的支持力大小為而人對電梯底板的壓力大小即為方向豎直向下。討論：（1）當(dāng)a＝0時，人和電梯勻速運(yùn)動，人對電梯底板的壓力大小等于人的重量。（2）當(dāng)a>0時，人和電梯加速上升，此時人對電梯底板的壓力大于人的重量，稱為超重。（3）當(dāng)a<0時，人和電梯一起加速下降，此時人對電梯底板的壓力小于人的重量，為稱為失重。

2慣性力—慣性在非慣性系中的表現(xiàn).非慣性系中牛頓第二定律

2.慣性力不是物體間的相互作用，不存在慣性力的反作用力,找不出它的施力物體．

3.

在研究地面上物體的運(yùn)動時，地球可近似地看成是慣性參考系

.注意1.慣性力是引入的虛擬的力.平動非慣性系中慣性力m*2–5

力學(xué)相對性原理非慣性系與慣性力*7.1.5非慣性系中的慣性力

例1

動力擺可用來測定車輛的加速度.一根質(zhì)量不計的細(xì)棒一端固定在車廂的頂部,另一端系一小球,當(dāng)列車以加速度a行駛時,細(xì)桿偏離豎直線成

角.試求加速度a與擺角

間的關(guān)系.解以車廂為參考系（非慣性系）小球處于平衡狀態(tài).分量式解得*2–5

力學(xué)相對性原理非慣性系與慣性力7.1.5非慣性系中的慣性力

光滑桌面慣性離心力mml地面參考系：桌面參考系：設(shè)在勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的虛擬力：慣性離心力（小球相對桌面靜止）如何解決？*2–5

力學(xué)相對性原理非慣性系與慣性力7.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理7-2-1質(zhì)點的動量和動量定理

1動量2動量定理7-2-2質(zhì)點系的動量定理

1質(zhì)點系

2內(nèi)力和外力

3質(zhì)點系的動量定理1、動量定義：質(zhì)點的質(zhì)量和它的速度的乘積稱為該質(zhì)點的動量。動量是矢量，它的方向與質(zhì)點速度的方向相同。設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，質(zhì)點的速度為質(zhì)點的動量動量是描述物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量。動量與參照系的選擇有關(guān)。質(zhì)點系的總動量是該質(zhì)點系中所有質(zhì)點動量的矢量和。

7.2.1質(zhì)點的動量和動量定理7.2.1質(zhì)點的動量和動量定理2、動量定理描述作用于質(zhì)點或質(zhì)點系的外力與動量之間關(guān)系。（1）動量定理的微分形式牛頓第二定律實際上就是動量定理的微分形式。即（2）動量定理的積分形式

力在時間t2-t1內(nèi)對物體的沖量

7.2.1質(zhì)點的動量和動量定理[例7－3]為什么迅速地把圖中蓋在杯上的薄板從側(cè)面打去，雞蛋就掉在杯中；而慢慢地將薄板拉開，雞蛋就會和薄板一起移動？答：因為雞蛋和薄板間的摩擦力有限，若棒打擊時間很短，雞蛋的動量改變很小，所以雞蛋就掉在杯中。而慢慢地將薄板拉開，作用時間很長，雞蛋的動量改變較大，雞蛋就會和薄板一起移動。

7.2.1質(zhì)點的動量和動量定理[例7－4]

一小球在距離地面為h1

處靜止下落，與地面發(fā)生碰撞后反彈，經(jīng)時間t后，上升到距離地面為h2的地方，求地面對小球的彈力。解：以小球為研究對象，由勻變速直線運(yùn)動關(guān)系式可知小球與地面碰撞前后的速度分別為二者方向相反。設(shè)地面對小球的彈力為N，其方向與小球重力方向相反。根據(jù)動量定理可得

7.2.1質(zhì)點的動量和動量定理因此討論：如果地面比較堅硬，t極小，則N很大，一般遠(yuǎn)大于小球重力mg，此時重力可以忽略；如果地面比較軟，t較大，則N較小。

7.2.2質(zhì)點系的動量定理1、質(zhì)點系彼此互相影響的若干個質(zhì)點的集合稱為質(zhì)點系。所謂相互影響指的是質(zhì)點系中任一質(zhì)點的位置或運(yùn)動都與所有其余質(zhì)點的位置或運(yùn)動有關(guān)。毫無聯(lián)系的一些質(zhì)點，由于它們的運(yùn)動是相互獨(dú)立的，不必把它們作為質(zhì)點系來研究。質(zhì)點系的例子很多。一個質(zhì)量連續(xù)變化的物體就是一個質(zhì)點系；爆炸物分裂成的一群碎片也可以看成質(zhì)點系；太陽系也是一個質(zhì)點系。7.2.2質(zhì)點系的動量定理在一些質(zhì)點系中，各個質(zhì)點間的距離是可以改變的，稱為可變質(zhì)點系。也有一些質(zhì)點系，各個質(zhì)點間的距離可以看作是不變的，稱為不變質(zhì)點系。剛體是理想的不變質(zhì)點系。

7.2.2質(zhì)點系的動量定理2、內(nèi)力和外力同一質(zhì)點系中各個質(zhì)點之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。作用于質(zhì)點系的力，不來自質(zhì)點系中其他質(zhì)點的，稱為外力。質(zhì)點系內(nèi)力和外力的區(qū)別是相對的，要根據(jù)被考察的體系來確定。就整個太陽系而言，太陽和地球之間的引力是內(nèi)力；但是，如果只考察地球繞太陽的運(yùn)動，作用于地球的太陽引力就是外力了。

7.2.2質(zhì)點系的動量定理根據(jù)牛頓第三定律，兩個質(zhì)點間的內(nèi)力是一對作用力與反作用力，即作用在兩個質(zhì)點連線的方向上，而且大小相等、方向相反。質(zhì)點系的內(nèi)力具有如下性質(zhì)：（1）質(zhì)點系中所有內(nèi)力的矢量和恒等于零；（2）質(zhì)點系中所有內(nèi)力對任一定點（或定軸）的力矩之和恒等于零。對于不變質(zhì)點系，如剛體，內(nèi)力是一個平衡力系，內(nèi)力不改變質(zhì)點系的運(yùn)動狀態(tài)；對于可變質(zhì)點系，內(nèi)力可以使質(zhì)點間發(fā)生相對位移，從而改變質(zhì)點系的運(yùn)動狀態(tài)。7.2.2質(zhì)點系的動量定理3、質(zhì)點系的動量定理設(shè)質(zhì)點系內(nèi)第i個質(zhì)點所受外力有即質(zhì)點系動量的改變量等于合外力對整個質(zhì)點系的總沖量。稱為質(zhì)點系的動量定理。應(yīng)該注意：（1）內(nèi)力對質(zhì)點系的總動量沒有貢獻(xiàn)，但內(nèi)力使得動量在質(zhì)點系內(nèi)各個質(zhì)點間相互傳遞，重新分配。（2）牛頓第二定律主要體現(xiàn)力的瞬時性，針對單個質(zhì)點；而動量定理主要體現(xiàn)力對時間的積累效果，適用于質(zhì)點系。（3）動量定理和牛頓第二定律只適用于慣性系。（4）對于碰撞、爆炸、變質(zhì)量等問題，使用動量定理比較方便。

7.2.2質(zhì)點系的動量定理7.3動量守恒定律

若合外力為0，或內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，作用時間很短，這時系統(tǒng)動量守恒。稱為動量守恒定律。注意：（1）動量守恒是對于系統(tǒng)而言的，是動量總量不變而在系統(tǒng)的各個物體間重新分配。（2）守恒條件為合外力為零，各個分量的合外力為零也滿足守恒條件。（3）爆炸、碰撞等特殊過程，雖然體系合外力不為零，但與內(nèi)力的沖量相比可以忽略不計，可用動量守恒定律。（4）動量守恒是自然界中最基本的守恒定律之一。

[例7－5]一個作斜拋運(yùn)動的物體,在最高點炸裂為質(zhì)量相等的兩塊,最高點距離地面為19.6米。爆炸1.0秒后,第一塊落到爆炸點正下方的地面上,此處距拋出點的水平距離為100米。問在不計空氣的阻力的條件下第二塊落在距拋出點多遠(yuǎn)的地面上。分析：由于爆炸力屬內(nèi)力,且遠(yuǎn)大于重力,因此,重力的沖量可忽略,物體爆炸過程中應(yīng)滿足動量守恒。根據(jù)拋體運(yùn)動規(guī)律,容易求出物體炸裂前在最高點處的位置坐標(biāo)和速度。炸裂后第一塊碎片拋出的速度可由落體運(yùn)動求出,由動量守恒定律可得炸裂后第二塊碎片速度和落地位置。

7.3動量守恒定律解：取圖示的坐標(biāo)系,根據(jù)拋體運(yùn)動的規(guī)律,爆炸前,物體在最高點A的速度的水平分量為物體爆炸后,第一塊碎片豎直落下的運(yùn)動方程為當(dāng)該碎片落地時,有

y1

＝0,t＝t1

7.3動量守恒定律7.3動量守恒定律則爆炸后第一塊碎片拋出的速度又根據(jù)動量守恒定律,在最高點處有

聯(lián)立各方程得爆炸后第二塊碎片拋出時的速度分量分別為爆炸后,第二塊碎片作斜拋運(yùn)動,其運(yùn)動方程為落地時,y2＝0,可解得第二塊碎片落地點的水平位置

x2＝500米

7.4功動能定理

7-4-1功

7-4-2動能和動能定理

7.4.1功恒力F作用在某一物體上，且物體做直線運(yùn)動，如果力的作用點的位移為x，則力與位移的標(biāo)積叫做力在這段位移上對物體所做的功，用W表示：當(dāng)力與位移同方向時，力做最大功；當(dāng)力與位移互相垂直時，不做功；當(dāng)θ>90°時，力對物體做負(fù)功，這種情形也叫做物體克服阻力做功。

7.4.1功由功的定義可知，只有力的作用點有位移，而且在位移方向上有力作用，才談得上做功。物體受力而無位移，例如木塊靜置在桌面上，雖然桌面對木塊有作用力，這個力并不做功。物體受力并有位移，但力和位移垂直，這個力也不做功。如在水平路面上推車，作用在車上的重力不做功;曲線運(yùn)動中的向心力也不做功。有時，物體在外力的方向上雖有位移，但力的作用點沒有位移，外力也不做功，如在地面上做純滾動的輪子，輪緣與地面接觸處無滑動，輪緣與地面間的靜摩擦力不做功。7.4.1功功是標(biāo)量，是能量轉(zhuǎn)化的一種量度。外界對物體或系統(tǒng)做功，或者物體或系統(tǒng)對外界做功，都能使物體或系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化，它們的能量也相應(yīng)地有所增加或減少。當(dāng)幾個力同時作用于一個物體上時，由于合力等于各個分力的矢量和，合外力所作的總功等于各個分力所作的功之和。

7.4.2動能和動能定理定義質(zhì)點的動能為動能是物體運(yùn)動狀態(tài)的單值函數(shù)。動能定理：合外力對物體所作的總功等于物體的動能增量，即功與動能雖然都與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但只要是慣性系，動能定理均成立。

7.4.2動能和動能定理質(zhì)點系的動能定理可表述為：質(zhì)點系動能的增量等于作用在質(zhì)點系中各個質(zhì)點的所有內(nèi)力和外力所做功的代數(shù)和。用公式表示就是應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理時，必須考慮內(nèi)力的功。這是因為，在可變質(zhì)點系中，由于質(zhì)點間相對距離的變化，作用力和反作用力作用點的位移可以不同，內(nèi)力功的代數(shù)和不為零。外力所做總功內(nèi)力所做總功7.4.2動能和動能定理例如，在汽車和車廂內(nèi)裝載的物體組成的系統(tǒng)中，當(dāng)汽車緊急剎車時，物體在車廂內(nèi)滑動一段距離。在這過程中，物體和車廂地板間的一對摩擦力雖然等值而反向，但這兩個力所做的功卻反號而不等值，它們的代數(shù)和不等于零。在某些情況下，動能定理比第二定律解決問題方便，它不必考慮物體復(fù)雜的運(yùn)動過程。具有動能的物體，可以對外界做功，以改變其他物體的機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)，或者使其他物體發(fā)熱、發(fā)光、發(fā)聲、產(chǎn)生電磁效應(yīng)，把動能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。例7－6勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直放置，下端懸一小球，球的質(zhì)量為m，開始時彈簧為原長而小球恰好與地接觸。今將彈簧上端緩慢提起，直到小球能脫離地面為止，求此過程中外力的功。解由于小球緩慢被提起，所以每時刻可看成外力的大小與彈性力的大小相等，即外力的大小F=-kx，選向上為

軸正向。當(dāng)小球剛脫離地面時，

由做功的定義可知外力的功：例7－6如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點滑下，到達(dá)最低點B時，它對容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點自A滑到B的過程中，摩擦力對其做的功。分析直接求解摩擦力做的功

很困難，應(yīng)用動能定理，需要知道它的末速度的情況。解B點的速度滿足：可得質(zhì)點的動能：

由質(zhì)點的動能定理：得

7.5保守力與非保力勢能

7-5-1保守力的功

1重力的功

2彈力的功

3萬有引力的功

7-5-2質(zhì)點系的勢能

1重力勢能

2彈性勢能

3引力勢能

7.5.1保守力的功當(dāng)質(zhì)點運(yùn)動時，力所做的功僅由質(zhì)點的初位置和末位置決定，而與質(zhì)點的運(yùn)動路徑無關(guān)，這樣的力稱為保守力。重力、萬有引力、彈力、靜電力做功都有這樣的性質(zhì)，都是保守力。7.5.1保守力的功（1）重力的功一個質(zhì)點從高為ha的點在重力作用下落到高為hb的點，則重力作功為

7.5.1保守力的功（2）彈力的功

7.5.1保守力的功（3）萬有引力的功7.5.2

質(zhì)點系的勢能重力、彈性力和萬有引力作功的結(jié)果有一個共同的特點：功的表達(dá)式右邊都是一個相同物理量起點值與終點值之差。這個由質(zhì)點系間的相對位置和相互作用來決定的能量，稱為勢能，也叫位能。這些功的表達(dá)式表明勢能的增量等于保守力作功的負(fù)值，即勢能定義為將該物體由某一位置移動到零勢能面的過程中保守力所作的功。勢能與零勢能面的選擇有關(guān)。7.5.2

質(zhì)點系的勢能（1）重力勢能通常取地面作零勢能面。距地面的高度h處的重力勢能為重力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點重力勢能增量的負(fù)值。7.5.2

質(zhì)點系的勢能（2）彈性勢能質(zhì)點在彈性力場中的勢能以彈簧為例，取彈簧的固定端為原點，勁度系數(shù)為k、自然長度為x0

。彈力對質(zhì)點所做的元功等于彈性勢能增量的負(fù)值。如果以彈簧的自然狀態(tài)彈性勢能為零，則質(zhì)點伸長到長度為x

時彈簧的彈性勢能為

7.5.2

質(zhì)點系的勢能（3）引力勢能質(zhì)點在萬有引力場中具有的勢能，稱為引力勢能。取引力中心的位置為坐標(biāo)原點，設(shè)引力源的質(zhì)量為M。取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零。則距引力中心為r、質(zhì)量為m的物體的引力勢能為引力場的等勢面是以引力中心為球心的不同半徑的球面，力線沿球面半徑指向球心。7.5.2

質(zhì)點系的勢能

常常在討論保守力做功及系統(tǒng)勢能的變化時，擴(kuò)大研究的系統(tǒng)，把施力者也包括在內(nèi)，使保守力成為系統(tǒng)的內(nèi)力，使勢能成為系統(tǒng)內(nèi)部的能量。這種處理方法，在處理實際問題時得到的結(jié)果與上面講的處理方法是相同的。在保守力場中引入勢能的概念，可以把比較復(fù)雜的力的矢量場的計算用比較簡單的勢能的標(biāo)量場來代替，使某些問題的處理得到簡化。質(zhì)點從同一等勢面上的一點移到另外一點不做功，因此保守力場的力線處處與等勢面正交。例7－8一彈簧的彈力與形變的關(guān)系為

其中F

和

x的單位分別為

N和

m。i

是

x軸的單位矢量。（1）計算當(dāng)將彈簧由

x1=0.522m拉伸至x2=1.34m

過程中，外力做的功；（2）此彈力是否為保守力?解（1）由做功的定義可知：（2）

可判斷該彈力為保守力。例7-9輕彈簧原長l0，勁度系數(shù)為k，下端懸掛質(zhì)量為m的重物。重物在O點達(dá)到平衡，此時彈簧伸長了x0

。取x軸向下為正，原點位于：彈簧原長位置O′，力的平衡位置O。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，分別計算重物在任一位置P時系統(tǒng)的總勢能。x

(2)若以重力與彈性力合力的平衡位置為原點，則有：

任意位置x處的系統(tǒng)總勢能：xmO

OPx0解：(1)以彈簧原長點O

為坐標(biāo)原點，系統(tǒng)總勢能：

7.6功能原理機(jī)械能守恒定律

7-6-1機(jī)械能守恒定律

7-6-2非保守力的功

7-6-3功能原理

7.6.1機(jī)械能守恒定律

定義：質(zhì)點或質(zhì)點系動能和勢能的總和叫做機(jī)械能。如果只有保守力對質(zhì)點做功，則質(zhì)點的機(jī)械能保持不變。稱為機(jī)械能守恒定律。機(jī)械能守恒定律，或者更普遍的能量守恒定律，是與時間平移對稱性相聯(lián)系的。所謂時間平移對稱性，就是物理規(guī)律不隨時間的變化而改變。例如，萬有引力定律、靜電力的庫侖定律，在今天和古代是一樣的。例7－10如圖，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體

A，

緊靠著一物體

B，它們的質(zhì)量分別為mA

和mB

，彈簧勁度系數(shù)為

k，原長為

l。用力推B，使彈簧壓縮x0

，然后釋放。求：（1）當(dāng)

A與

B開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之后，

A還能往前移動多遠(yuǎn)?

解（1）當(dāng)

A與B開始分離時，兩者具有相同的速度，但

A的加速度為零，此時彈簧和B都不對

A產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長位置時刻，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：

（2）分離之后，

的動能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以：則：

7.6.2非保守力的功

如果一個力對運(yùn)動質(zhì)點所做的功不僅與質(zhì)點的初位置和末位置有關(guān)，而且與質(zhì)點運(yùn)動的路徑有關(guān)，這個力就是非保守力。也可以說，非保守力對沿著任何閉合路徑運(yùn)動一周的質(zhì)點所做的功不等于零。滑動摩擦力和流體的阻力也是非保守力，它總是對運(yùn)動的物體做負(fù)功，使系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，在初末兩位置間經(jīng)過的路徑越長，機(jī)械能減少得越多。物體在受到非保守力的作用時，它的機(jī)械能不再守恒。對運(yùn)動物體做負(fù)功的非保守力，也叫耗散力。7.6.3功能原理如果作用在質(zhì)點系上的外力和內(nèi)力，除保守力外還有非保守力，而且非保守力也作功，質(zhì)點系的機(jī)械能就會發(fā)生變化。質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和，稱為質(zhì)點系的功能原理。當(dāng)外力和非保守內(nèi)力所作的總功等于零時，質(zhì)點系總機(jī)械能的增量也等于零。這就得到機(jī)械能守恒定律。

7.6.3功能原理功能原理可簡要推證如下：根據(jù)動能定理，質(zhì)點系所受外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點系動能的增量。把內(nèi)力分為保守力和非保守力，則質(zhì)點系動能的增量

由于保守外力和保守內(nèi)力做功的代數(shù)和等于系統(tǒng)勢能增量的負(fù)值，即

因此，非保守力做功等于質(zhì)點系總機(jī)械能的增量。

例7－11若在近似圓形軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星受到塵埃的微弱空氣阻力

f的作用，設(shè)阻力與速度的大小成正比，比例系數(shù)

k為常數(shù)，即

f=-kv，試求質(zhì)量為

m的衛(wèi)星，開始在離地心

r0=4R（

R為地球半徑）隕落到地面所需的時間。解該衛(wèi)星在任何時刻的總機(jī)械能為：

又由于引力勢能為

聯(lián)立得：兩邊微分：由功能原理得：

即考慮已知條件，將上式兩邊積分：因此衛(wèi)星隕落到地面所需的時間為

7.7彈性碰撞與非彈性碰撞

7-7-1碰撞

7-7-2完全彈性碰撞

7-7-3非彈性碰撞

完全非彈性碰撞兩物體碰撞后,以同一速度運(yùn)動.碰撞兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用.完全彈性碰撞兩物體碰撞之后，它們的動能之和不變.非彈性碰撞由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能，化學(xué)能等其他形式的能量.3–7

碰撞7.7.1碰撞由動量守恒守恒和總動能守恒：碰撞理論討論限于兩個質(zhì)點的彈性碰撞和完全非彈性碰撞1.彈性碰撞如圖所示這是彈性碰撞所應(yīng)遵循的兩個一般關(guān)系m22vm1兩球m1，m2對心碰撞，碰撞前速度分別為v10

、v20，碰撞后速度變?yōu)関1、v2動量守恒和動能守恒由上面兩式可得2一維對心碰撞(4)/(3)得碰撞前兩球相互趨近的相對速度（v10-v20

）等于碰撞后兩球相互分開的相對速度（v2-v1

）由（3）、（5）式可以解出討論●即兩球經(jīng)過碰撞而交換速度，其中最奇妙的是最初處于靜止的情況，即碰撞靜止的，結(jié)果會突然停止，接過的速度前進(jìn)。原子反應(yīng)堆中的中子減速劑就是利用這個原理。這時可得：●氣體分子與器壁的碰撞屬于此類這時可得：（五個小球質(zhì)量全同）3–7

碰撞7.7.2完全彈性碰撞7.7.2完全彈性碰撞[例7-12]質(zhì)量為7.2×10-23kg,速率為6.0×107m·s-1

的粒子A,與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B發(fā)生完全彈性碰撞,碰撞后粒子A的速率為5.0×107m·s-1．求：粒子B的速率及相對粒子A原來速度方向的偏轉(zhuǎn)角。分析：粒子系統(tǒng)在碰撞的平面內(nèi)不受外力作用,而且碰撞又是完全彈性的,因此系統(tǒng)同時滿足動量守恒和機(jī)械能守恒。由兩守恒定律方程即可解得結(jié)果。7.7.2完全彈性碰撞解：由于粒子系統(tǒng)屬于斜碰,在碰撞平面內(nèi)根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律可取兩個分量式,有

又由機(jī)械能守恒定律,有7.7.2完全彈性碰撞聯(lián)立各方程可得碰撞后B粒子的速率為B粒子相對A粒子碰撞前速度方向的偏轉(zhuǎn)角為

這相當(dāng)于用質(zhì)量很大的球去碰靜止的輕球●這時可得：討論即一個質(zhì)量很大的球體，當(dāng)它的與質(zhì)量很小的球體相碰時，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質(zhì)量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度運(yùn)動。1.完全非彈性碰撞動量守恒

動能損失為7.7.3非彈性碰撞當(dāng)?shù)奶厥馇闆r下，碰撞前后機(jī)械能的損失是：令，機(jī)械能完全損失；打鐵時要考慮前者，打樁時則要考慮后者的應(yīng)用。，機(jī)械能幾乎不損失。以沖擊擺為例：MlM+m碰撞前后，水平方向動量守恒：通常用來測量高速運(yùn)動物體的速度。細(xì)繩張力始終垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功機(jī)械能守恒！入射物體的速度：只需測量復(fù)擺所擺動的最大角度即可。umMmv)(+=m碰撞后，兩者一起運(yùn)動，速度為m2、恢復(fù)系數(shù)牛頓提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度v10-v20之比為以定值，比值由兩球材料得性質(zhì)決定。該比值稱為恢復(fù)系數(shù)。完全非彈性碰撞：e=0，v2=v1完全彈性碰撞：e=1，v2-v1=v10-v20

非完全彈性碰撞：0<e<1例7－12二個質(zhì)量相同的小球，一個靜止，一個以速度

v0與另一個小球作對心碰撞，求碰撞后兩球的速度。（1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的；（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的；（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)

e=0.5。解（1）完全非彈性碰撞具有共同的速度

碰撞后兩球的共同速度的大小是碰撞前運(yùn)動的小球速度大小的一半，方向不變。（2）完全彈性碰撞動量守恒，動能也守恒

聯(lián)立可求得：

表明碰撞后兩球交換速度。（3）再利用動量守恒定律

可求得：7.8人造衛(wèi)星與宇宙飛船

7-8-1人造地球衛(wèi)星與第一宇宙速度

7-8-2人造行星與第二宇宙速度

7-8-3飛出太陽系與第三宇宙速度

7-8-4火箭飛行原理

設(shè)地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.``````解取拋體和地球為一系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能E守恒.

7.8.1人造地球衛(wèi)星與第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度.解得``````由牛頓第二定律和萬有引力定律得地球表面附近故計算得第一宇宙速度

我國1977年發(fā)射升空的東方紅三號通信衛(wèi)星神州六號飛船3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律``````第二宇宙速度，是拋體脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度.設(shè)地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.

取拋體和地球為一系統(tǒng)系統(tǒng)機(jī)械能E

守恒.當(dāng)若此時則第二宇宙速度3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律

7.8.2人造行星與第二宇宙速度第三宇宙速度，是拋體脫離太陽引力所需的最小發(fā)射速度.設(shè)地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

,

太陽質(zhì)量,拋體與太陽相距

.

取地球為參考系,由機(jī)械能守恒得取拋體和地球為一系統(tǒng)，拋體首先要脫離地球引力的束縛,其相對于地球的速率為.3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律

7.8.3飛出太陽系與第三宇宙速度地球為參考系取太陽為參考系,拋體相對于太陽的速度為.則若與同向,有地球相對于太陽的速度要脫離太陽引力，機(jī)械能至少為零則3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律設(shè)地球繞太陽軌道近似為一圓，由于與同向,則拋體與太陽的距離即為地球軌道半徑.則拋體相對于太陽的速度取地球為參照系第三宇宙速度3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律探路者無人飛船俯視火星探路者飛船在火星著陸點地貌3

–6

功能原理機(jī)械能守恒定律我國長征系列火箭升空3–2

動量守恒定律

7.8.4火箭飛行原理問：火箭是如何將地球氣象衛(wèi)星、載人航天飛船、深空宇宙探測器等航天飛行器送上太空的？火箭飛行原理簡介tt+dt以地為參考系,時刻t,系統(tǒng)的動量為y時刻t+dt,系統(tǒng)的動量為略去重力,系統(tǒng)總動量守恒*3–3

火箭飛行原理略去二階微分量dmdv,整理得系統(tǒng)總動量守恒tt+dty*3–3

火箭飛行原理為了提高火箭的速度,通常采用多級火箭······質(zhì)量比*3–3

火箭飛行原理7.9相對論動量和能量7-9-1相對論質(zhì)量和動量

7-9-2狹義相對論質(zhì)能關(guān)系

兩個全同小球的完全非彈性碰撞兩個小球的孤立系統(tǒng),動量守恒仍定義動量動量守恒在Lorentz變換下保持不變同時，慣性定律要求質(zhì)心保持勻速直線運(yùn)動。孤立系統(tǒng)總質(zhì)量守恒！

7.9.1相對論質(zhì)量和動量（1）S系中A球運(yùn)動，質(zhì)量為（與速度u有關(guān)，稱運(yùn)動質(zhì)量）B球靜止，質(zhì)量為（稱靜止質(zhì)量）動量守恒碰撞后一起運(yùn)動（2）S

系中A球靜止，質(zhì)量為B球運(yùn)動，質(zhì)量為碰撞后一起運(yùn)動動量守恒因vx

和vx’為S及S

中對碰撞后兩小球共同速度的描述質(zhì)速關(guān)系由于空間的各向同性,質(zhì)量與速度方向無關(guān)。相對論動量

不可能！只有在時才可能！討論

7.9.2狹義相對論質(zhì)能關(guān)系式中在同一慣性系——按照Lorentz變換變化。——按照關(guān)系式變化。且當(dāng)時，急劇增加,而，所以光速C為物體的極限速度.當(dāng)時15-5相對論性動量和能量

7.9.2狹義相對論質(zhì)能關(guān)系相對論動量守恒定律當(dāng)時常矢量常矢量若，則相對論動量守恒經(jīng)典動量守恒.15-5相對論性動量和能量質(zhì)量與能量的關(guān)系相對論質(zhì)能關(guān)系

靜能

：物體靜止時所具有的能量.質(zhì)能關(guān)系預(yù)言：物質(zhì)的質(zhì)量就是能量的一種儲藏.愛因斯坦認(rèn)為（1905）懶惰性慣性(inertia)活潑性能量(energy)物體的懶惰性就是物體活潑性的度量.相對論能量和質(zhì)量守恒是一個統(tǒng)一的物理規(guī)律.15-5相對論性動量和能量一些微觀粒子和輕核的靜能量粒子符號靜能量MeV光子電子（或正電子）質(zhì)子中子氘氚氦（粒子）

00.510938.280939.5731875.6282808.9443727.409

e（或+e）pn15-5相對論性動量和能量物理意義

慣性質(zhì)量的增加和能量的增加相聯(lián)系，質(zhì)量的大小應(yīng)標(biāo)志著能量的大小，這是相對論的又一極其重要的推論.相對論的質(zhì)能關(guān)系為開創(chuàng)原子能時代提供了理論基礎(chǔ),這是一個具有劃時代的意義的理論公式.15-5相對論性動量和能量例：

現(xiàn)有100

座樓，每樓200

套房，每套房用電功率

10000W，總功率，每天用電10小時，年耗電量，可用約33年。質(zhì)能關(guān)系預(yù)言：物質(zhì)的質(zhì)量就是能量的一種儲藏.1千克汽油的燃燒值為焦耳.

例如，1kg水由0加熱到100時所增加的能量為質(zhì)量增加15-5相對論性動量和能量我國于1958

年建成的首座重水反應(yīng)堆15-5相對論性動量和能量

我國已建成的嶺澳核電站

我國在建