第六章6.46.4.1、2A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．某人在無(wú)風(fēng)條件下騎自行車(chē)的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|＞|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D．eq\f(v1,v2)【答案】C【解析】題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實(shí)數(shù)．故逆風(fēng)行駛的速度的大小為|v1|－|v2|．2．(2024年佛山南海區(qū)月考)如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為θ，已知禮物的質(zhì)量為mkg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為(重力加速度g)()A．eq\f(8mg,sinθ) B．eq\f(mg,8sinθ)C．eq\f(mg,8cosθ) D．eq\f(8mg,cosθ)【答案】C【解析】設(shè)降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小|F|，根據(jù)題意，可得8|F|cosθ＝mg，解得|F|＝eq\f(mg,8cosθ)．故選C．3．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，則△ABC()A．是正三角形 B．是直角三角形C．是等腰三角形 D．形狀無(wú)法確定【答案】C【解析】由條件知eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(CB,\s\up6(→))2，即|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，即△ABC為等腰三角形．4．當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30° B．60°C．90° D．120°【答案】D【解析】由題意作出示意圖(如圖)，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等邊三角形，所以θ＝120°．5．(多選)關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時(shí)間，正確的有()A．船垂直到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少B．當(dāng)船速v的方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最少C．沿任意直線航行到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間都一樣D．船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)航行的距離最短【答案】BD【解析】根據(jù)向量將船速v分解，當(dāng)v垂直河岸時(shí)，用時(shí)最少．船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)航行的距離最短．6．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，則當(dāng)AC⊥BC時(shí)，AD＝()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝t(t＞0)，則A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，t)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，t)．由AC⊥BC知eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．7．用兩條成120°角的等長(zhǎng)繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重力大小為10N，則每根繩子的拉力大小為_(kāi)_______N．【答案】10【解析】如圖，由題意得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝10，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根繩子的拉力大小為10N．8．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝4，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．【答案】y＝－eq\f(1,2)x＋2【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，則y＝－eq\f(1,2)x＋2．9．在四邊形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(7,4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,6)，則四邊形ABCD的面積是________．【答案】30【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,6)＝eq\o(AD,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四邊形ABCD為矩形．又因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋－22)＝2eq\r(5)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)，所以S＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)×3eq\r(5)＝30．10．如圖所示，在傾斜角為37°(sin37°≈0.6)，高為2m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的0.5倍．(1)求斜面對(duì)物體m的支持力所做的功；(2)重力對(duì)物體m所做的功．(g＝9.8m/s2)解：(1)物體m的位移大小為|s|＝eq\f(2,sin37°)＝eq\f(10,3)(m)，則支持力對(duì)物體m所做的功為W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)．(2)重力對(duì)物體m所做的功為W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8×eq\f(10,3)×0.6＝98(J)．B級(jí)——綜合運(yùn)用練11．(2024年連云港贛榆區(qū)期中)如圖，為測(cè)量旗桿的高AB，在水平線AC上選取相距10m的兩點(diǎn)D，E，用兩個(gè)垂直于水平面且高度均為2m的測(cè)量標(biāo)桿觀測(cè)旗桿的頂點(diǎn)B，記D，E處測(cè)量標(biāo)桿的上端點(diǎn)分別為F，G，直線BF，BG與水平線AC分別交于點(diǎn)H，C，且測(cè)得DH，EC的長(zhǎng)分別為3m，5m，則旗桿的高AB為()A．12m B．13mC．14m D．15m【答案】A【解析】由題可得tan∠BHA＝eq\f(AB,AH)＝eq\f(DF,DH)＝eq\f(2,3)，所以AH＝eq\f(3,2)AB，tan∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(EG,EC)＝eq\f(2,5)，所以AC＝eq\f(5,2)AB，又因?yàn)锳C＝AH＋HE＋EC，所以eq\f(5,2)AB＝eq\f(3,2)AB＋(10－3)＋5，解得AB＝12(m)．故選A．12．如圖，一個(gè)力F作用于小車(chē)G，使小車(chē)G發(fā)生了40m的位移，F(xiàn)的大小為50N，且與小車(chē)的位移方向的夾角為60°，e是與小車(chē)位移方向相同的單位向量，則F在小車(chē)位移上的投影向量為_(kāi)_______，力F做的功為_(kāi)_______．【答案】25e1000J【解析】∵|F|＝50，且F與小車(chē)的位移方向的夾角為60°，∴F在小車(chē)位移上的投影向量為|F|·cos60°e＝25e．∵力F作用于小車(chē)G，使小車(chē)G發(fā)生了40m的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1000(J)．13．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB是直角，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE．證明：(方法一)記eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|．因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b－a)＋a＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b＋\f(1,3)a))＝eq\f(1,3)b2－eq\f(1,3)a2＝0．所以AD⊥CE．(方法二)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC＝BC＝2，則C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)．因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，則D(0,1)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,2)．又因?yàn)閑q\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)＋eq\f(2,3)(－2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))＝(－2)×eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)＝0，因此AD⊥CE．C級(jí)——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝neq\o(CB,\s\up6(→))，其中m，n∈(0,1)，設(shè)DE中點(diǎn)為M，AB中點(diǎn)為N．(1)若m＝n，求證：C，M，N三點(diǎn)共線；(2)若m＋n＝1，求|eq\o(MN,\s\up6(→))|的最小值．(1)證明：當(dāng)m＝n時(shí)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，故eq\o(CM,\s\up6(→))＝meq\o(CN,\s\up6(→))，故C，M，N三點(diǎn)共線，即得證．(2)當(dāng)m＋n＝1時(shí)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(CA,\s\up6(→))＋neq\o(CB,\s\up6(→)))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，故eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(meq\o(CA,\s\up6(→))＋neq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(neq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(CB,\s\up6(→)))，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)|neq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(CB,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(9n2＋16m2＋2mneq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)