第六章6.46.4.3第3課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于20km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．20km B．20eq\r(2)kmC．20eq\r(3)km D．15eq\r(5)km【答案】C【解析】由題意得，AC＝BC＝20，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝400＋400－2×20×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1200，∴AB＝20eq\r(3)，即燈塔A與燈塔B的距離為20eq\r(3)km．故選C．2．學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為()A．3eq\r(3)m B．4eq\r(3)mC．8m D．12m【答案】B【解析】由題意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝120°．由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4×sin120°,sin30°)＝4eq\r(3)(m)．3．一艘船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是()A．5eq\r(2)海里/時 B．5海里/時C．10eq\r(2)海里/時 D．10海里/時【答案】D【解析】如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以這艘船的速度是10海里/時．故選D．4．(2024年德州期中)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，A＝eq\f(π,3)，sinC＝2sinB，則△ABC的面積是()A．eq\f(3,2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(9,4) D．eq\f(9\r(3),4)【答案】B【解析】因為sinC＝2sinB，由正弦定理可得c＝2b，又因為a＝3，A＝eq\f(π,3)，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即9＝b2＋4b2－2b·2bcoseq\f(π,3)，整理可得5b2－2b2＝9，可得b＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．故選B．5．(2024年重慶九龍坡區(qū)月考)為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，某校成立“不忘初心”學習興趣小組．今欲測量學校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如圖所示，可以選取與該塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20m，在點C測得“使命塔”塔頂A的仰角為60°，則“使命塔”高AB＝()A．30m B．20eq\r(6)mC．20eq\r(3)m D．20eq\r(2)m【答案】B【解析】在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，可得∠CBD＝30°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠CDB)，則eq\f(20,sin30°)＝eq\f(BC,sin135°)，可得BC＝40×eq\f(\r(2),2)＝20eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝tan∠ACB·BC＝tan60°×20eq\r(2)＝20eq\r(6)，故選B．6．(2024年韶關(guān)期末)為運輸方便，某工程隊將從A到D修建一條湖底隧道，如圖，工程隊從A出發(fā)向正東行10eq\r(3)km到達B，然后從B向南偏西45°方向行了一段距離到達C，再從C向北偏西75°方向行了4eq\r(2)km到達D，已知C在A南偏東15°方向上，則A到D的距離為()A．15eq\r(6)km B．2eq\r(38)kmC．10eq\r(2)km D．15eq\r(3)km【答案】B【解析】如圖，在△ABC，△ACD中，AB＝10eq\r(3)，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，在△ABC中，∠ACB＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，解得AC＝eq\f(10\r(3)sin45°,sin60°)＝10eq\r(2)，又CD＝4eq\r(2)，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝(10eq\r(2))2＋(4eq\r(2))2－2×10eq\r(2)×4eq\r(2)×cos60°＝152，解得AD＝2eq\r(38)，所以A地與D地之間的距離為2eq\r(38)km．故選B．7．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．【答案】eq\r(2)【解析】如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．8．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖)．若A船的航行速度為40海里/時，1小時后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距________海里．【答案】20eq\r(2)【解析】由題意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(40,sin135°)，解得AB＝20eq\r(2)海里．9．在△ABC中，∠A＝120°，a＝eq\r(19)，b－c＝1，則△ABC的面積為__________．【答案】eq\f(3\r(3),2)【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，則19＝b2＋c2＋bc，即19＝(b－c)2＋3bc，而b－c＝1，解得bc＝6．所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bc·sin120°＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2．(1)當A＝eq\f(π,6)時，求a的值；(2)若△ABC的面積為3，求a＋c的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(4,5)＞0，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．所以sinB＝eq\f(3,5)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sin\f(π,6))＝eq\f(10,3)，解得a＝eq\f(5,3)．(2)由△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB，得eq\f(1,2)ac×eq\f(3,5)＝3，得ac＝10．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40．所以a＋c＝2eq\r(10)．B級——綜合運用練11．中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要46秒．某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(2)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為()A．eq\f(3\r(3),23)米/秒 B．eq\f(5\r(3),23)米/秒C．eq\f(7\r(3),23)米/秒 D．eq\f(8\r(3),23)米/秒【答案】B【解析】如圖，依題意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，∴AC＝eq\f(10\r(2),sin30°)×sin45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(米)．∵國歌長度約為46秒，∴升旗手升旗的速度應(yīng)為eq\f(10\r(3),46)＝eq\f(5\r(3),23)(米/秒)．故選B．12．(多空題)如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B．燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為________海里，兩艘輪船之間的距離為________海里．【答案】5eq\r(13)【解析】連接AC(圖略)，由題意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°．在△ACD中，∠CAD＝45°，根據(jù)余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝13．故乙船與燈塔A之間的距離為5海里，兩艘輪船之間的距離為eq\r(13)海里．13．(2024年深圳龍華區(qū)月考)如圖，一智能掃地機器人在A處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的B處和北偏東30°方向上的C處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應(yīng)測量發(fā)現(xiàn)機器人到B的距離比到C的距離少0.4m，于是選擇沿A→B→C路線清掃．已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2m/s，忽略機器人吸入垃圾及在B處旋轉(zhuǎn)所用時間，10s完成了清掃任務(wù)．(1)求B，C兩處垃圾之間的距離；(精確到0.1m)(2)求智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角B的余弦值．解：(1)由題意得AB＋BC＝0.2×10＝2，設(shè)BC＝x,0＜x＜2，則AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x，由題意得A＝90°＋30°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB×AC)＝eq\f(2－x2＋2.4－x2－x2,2×2－x×2.4－x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝1.4或5.2(舍去)，所以BC＝1.4m．(2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6m，AC＝2.4－1.4＝1m，BC＝1.4m，所以cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(0.62＋1.42－12,2×0.6×1.4)＝eq\f(11,14)．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年鎮(zhèn)江期末)在以下三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答．①2a－b＝2ccosB；②2csinA＝atanC；③△ABC的面積為eq\f(1,2)c(asinA＋bsinB－csinC)(如多選，則按選擇的第一個記分)問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_________．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC面積的最大值；(3)在(2)的條件下，若△ABC為銳角三角形，求2a－b的取值范圍．解：(1)若選①：由正弦定理，得2sinA－sinB＝2sinC·cosB，則2sin(B＋C)－sinB＝2sinCcosB，∴2sinBcosC＋2cosBsinC－sinB＝2sinCcosB，∴2sinBcosC－sinB＝0．∵B∈(0，π)，sinB≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)．∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)．選②：2csinA＝atanC，則2csinA＝atanC＝a·eq\f(sinC,cosC)，由正弦定理得2sinC·sinA＝sinA·eq\f(sinC,cosC)，∵sinA≠0，sinC≠0，∴2cosC＝1，cosC＝eq\f(1,2)．∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)．若選③：△ABC的面積為eq\f(1,2)c(asinA＋bsinB－csinC)，則eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)c(asinA＋bsinB－csinC)，由正弦定理得eq\f(1,2)abc＝eq\f(1,2)c(a2＋b2－c2)，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)．∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)．(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，則4＝a2＋b2－ab≥ab，當且僅當a＝b＝2時取等號，即(ab)max＝4，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，則Smax＝eq\r(3)，當且僅當a＝b＝2時取得最大值．(3)由正弦定理得