初中數(shù)學(xué)一題多解題

例題一、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323,求出這兩個(gè)數(shù)

方法一、

設(shè)較小的奇數(shù)為x,另外一個(gè)就是x+2

x(x+2)=323

解方程得:xl=17,x2=-19

所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是：

17、19,或者-17,-19

方法二、

設(shè)較大的奇數(shù)X,則較小的奇數(shù)為323/x

則有:x-323/x=2

解方程得：xl=19,x2=-17

同樣可以得出這兩個(gè)奇數(shù)分別是：

17、19,或者-17,-19

方法三、

設(shè)x為任意整數(shù)，則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：

2x-l,2x+l

(2x-l)(2x+l)=323

即4x*2-1=323

x"2=81

xl=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-l=-19,2x2+l=-17

所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是：

17、19,或者-17,-19

方法四、

設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x-1,x+1

則有x~2T=323

x~2=324=4*81

xl=18,x2=-18

xl-l=17,xl+l=19

x2-l=-19,x2+l=-17

所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是：

17、19,或者T7,-19

例題二、某人買13個(gè)雞蛋、5個(gè)鴨蛋、9個(gè)鶴鶉蛋，共用去9.25元；如果買2個(gè)雞蛋，4

個(gè)鴨蛋，3個(gè)鶴鶉蛋，則共用去3.20元，試問只買雞蛋、鴨蛋、鶴鶉蛋各一個(gè)，共需多少錢？

解：設(shè)雞、鴨、鶴鶉三種蛋的單價(jià)分別為x、y、z元，則根據(jù)題意，得

'13x+5y+9z=9.25<1>

2x+4y+3z=3.20<2>

分析：此方程組是三元一次方程組，由于只有兩個(gè)三元一次方程，因而要分別求出X、

y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代數(shù)和，因此，我們可通過變形變換

得到多種解法。

1.湊整法

解1：<,得5x+3y+4z=4.15<3>

<2>+<3>,得7(x+y+z)=7.35

x+y+z=1.05

答：只買雞蛋、鴨蛋、鶴鶉蛋各一個(gè)，共需1.05元(下面解法后的答均省略)

解2：原方程組可變形為

13(x4-y+z)-4(2y+z)=9.25

2(x+y+z)+(2y+z)=3.20

解之得：x+y+z=105

2.主元法

解3：視x、y為主元，視z為常數(shù)，解＜1＞、＜2＞

得x=0.5-05z,y=0.55-0.5z

「?x+y+2=0.55+0.5-z+z=1.05

解4：視y、z為主元，視x為常數(shù)，解＜1＞、＜2＞

得y=0O5+x,z=l-2x

?,.%+y+z=1.05+x-2x+x=1.05

解5：視z、x為主元，視y為常數(shù)，解＜1＞、＜2＞

得x=y-0.05,z=1.1-2y

?,?尤+y+z=y—0.05+y+1.1-2y=1.05

3.“消元”法

解6：令x=0,則原方程組可化為

5y+9z=9.25\y=0.05

＜=「

4y+3z=3.2[z=1

x+y+z=1.05

解7：令y=0,則原方程組可化為

13x+9z=9.25Jx=-0.05

2x+3z=3.20z=1.1

?,.%+y+z=1.05

解8：令z=0,則原方程組可化為

13x+5y=9.25Jx=0.5

<2x+4y=3.20=[y=0.55

x+y+z=1.05

4.參數(shù)法

解9：設(shè)x+y+z=&，則

13x+5y+9z=9.25<1>

<2x+4y+3z=3.20<2>

x+y+z=k<3>

/.<1>-<2>x3,得％-y=-0.05<4>

<3>x3-<2>,得x-y=3%-3.2<5>

/.由<4>、v5>得3k—3.2=—0.05

k=1.05

即x+y+z=1.05

5.待定系數(shù)法

解10.設(shè)

x+y+z=。(13尤+5y+9z)+Z?(2x+4y+3z)

=(13^z4-2b)x+(5a+4h)y+(9a4-3b)z<1>

則比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得

13a+2/?=1\a=—

21

]5a+4b=I=><

,4

94+3。=1b=K

'I21

將其代入<1>中，得

141

x+y+z=—x9.25+—x3.2=—x22.05=1.05

■212121

附練習(xí)題

1.有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運(yùn)貨15.5噸；5輛大車與6輛小車一次

可以運(yùn)貨35噸。求3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn)貨多少噸？(答案：24.5噸)

2.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙

10件、丙1件共需4.20元。問若購甲、乙、丙各1件共需多少元？(答案：1.05元)

平面幾何

在完成一個(gè)數(shù)學(xué)題的解答時(shí)，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論，做進(jìn)一

步的探討，以真正掌握該題所反映的問題的實(shí)質(zhì)。如果能對一個(gè)普通的數(shù)學(xué)題進(jìn)

行一題多變，從變中總結(jié)解題方法；從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，

必將使人受益匪淺。

“一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結(jié)論；2、保留條件，深化結(jié)

論；

3、’減弱條件，加強(qiáng)結(jié)論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；

6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等。

題1、已知，^ABC中，NACB=90度，CD_LAB,D為垂足:

求證：CD'=ADDB

0L圖中有幾條線段？

02、圖中有幾個(gè)角，是哪幾個(gè)角？

03、圖中有哪幾個(gè)三角形，請你寫出來.

04、圖中和NCAB相等的是哪些角？和NCAB互余的角是哪些角？

05^AABC中，BC邊上的高是哪條線段？ZiABC的垂心是（）點(diǎn).

06、求證：AC-BC=AB-CD

07、求證：SAADC：SACDB=AD：DB

08、求證：△ABCsaACDs^CBD

+、FAC'=ADAB

0nn9、求證：

BC'=BDAB

10s求證：AC-+BCZ=AB1

11、如果AC=2BC,那么5CD=2AB

12、如果AB=2BD,那么3=550"

13^求證：（S2UDO'

15、設(shè)AB的中點(diǎn)為M,求證：AC'-BC'=2DMAB

16（噌加題1的條件）DEJLAC于E,DF_LBC于F,

十、TCECF

求證：(1)、—=-777

BCAC

(2)、CDZ=CECFAB

(3)^BF：AE=5C3：AC

17、（噌加題1的條件）CE平分NBCD

求證：AE'=ADAB

18、（噌加題1的條件）在原圖中，作NBCE=NBCD

求證：BD：DA=CEhAE'

19、（增加題1的條件）AE平分NBAC交BC于E,

求證：CE：EB=CD：CB

20、（增加題1的條件）CE平分/BCD,AF平分NBAC交BC于F

求證：(1)BFCE=BEDF

(2)AEXCF

(3)設(shè)AE與CD交于Q,則FQllBC

21、已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC

于E、F,

求證：CE：BC=CF：AC（注意本題和16題有無聯(lián)系）

22、已知，ZXABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，以AD為直徑的圓交AC于E,

以BD為直徑的圓交BC于F,

求證：EF是。01和。02的一條外公切線

23、己知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，作以AC為直徑的圓01,和

以CD為弦的圓02,

求證：點(diǎn)A到圓02的切線長和AC相等（AT=AC）

24、已知，AABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足,

E為ACD的中點(diǎn)，連ED并延長交CB的延長線于F,

求證：DF：CF=BC：AC

25、如圖，。01與。02外切與點(diǎn)D,內(nèi)公切線D0交外公切線EF于點(diǎn)0,

求證：0D是兩圓半徑的比例中項(xiàng)。

E

題14解答：

因?yàn)镃D人2=ADDB

ACA2=ADAB

BCA2=BDAB

所以1/ACA2+1/BCA2

=1/(ADAB)+1/(BDAB)

=(AD+DB)/(ADBDAB)

=AB/ADBDAB

=1/ADBD

=1/CDA2

15題解答：

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以AM=MB,AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM

ACA2-BCA2=AD*AB-DB*AB

=(AD-DB)AB

=2DM*AB

26、(在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線)

己知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，AE平分/BAC交BC于E、交CD

于F,FGIIAB交BC于點(diǎn)G,

求證：CE=BG

27、（在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線）

已知，△ABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，AE平分NBAC交BC于E、交CD

于F,FGIIBC交AB于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

求證：四邊形CEGF是菱形

28、（對19題增加一個(gè)結(jié)論）

已知，ZXABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，AE平分/BAC交BC于E、交CD

于F,

求證：CE=CF

29、（在23題中去掉一個(gè)圓）己知，AABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，作以

AC為直徑的圓01,

求證：過點(diǎn)D的圓01的切線平分BC

30、（在19題中增加一個(gè)圓）

己知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，AE平分/BAC交BC于E,交CD

于F,

求證：OCED平分線段AF

31、（在題1中增加一個(gè)條件）

已知，AABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，NA=30度，

求證：BD=AB/4

（滬科版八年級數(shù)學(xué)第117頁第3題）

32、（在18題基礎(chǔ)上增加一條直線）

已知，ZXABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，作NBCE=/BCD

P為AC上任意一點(diǎn)，直線PQ交CD于Q,交CB于M,交CE于N

求證：PQ/PN=QM/MN

32題證明:

作NSIICD交直線AC與點(diǎn)S,

則PQ/PN=CQ/SN

又NBCE=NBCD

.,.QM/MN=CQ/CN（三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理）

ZBCE+ZNCS=ZBCD+ZACD

NSIICD,/.ZNSC=ZACD

.,.ZNSC=ZNCS

???SN=CN

???PQ/PN=QM/MN

題33

在“題一中”，延長CB到E,使EB=CB,連結(jié)AE、DE,

求證：DEAB=AEBE

題33證明

CB八2=BDAB

因EB=CB

???EBA2=BDAB

???EB：BD=AB：BE

又NEBD=NABE

AAEBD^AABE

AEB：AB=DE：AE

.,.DEAB=AEBE

題34

（在19題基礎(chǔ)上增加一條垂線）

已知，ZXABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足,

AE平分CD于F,EG_LAB交AB于點(diǎn)G,

求證：EGA2=BEEC

證明：延長AC、GE.設(shè)交點(diǎn)為H,

.'.△EBG^AEHC

/.EB：EH=EG：EC

.,.EHEG=BEEC

又HGIICD,CF=FD

：.EH=EG

￡0^2=BEEC

題35（在題19中增加點(diǎn)F）

已知，Z\ABC中，/ACB=90度，CD1AB,D為垂足,

AE平分NBCA交BC于點(diǎn)E,交CD于F,

求證：2CF-FD=AF-EF

題36、（在題16中，減弱條件，刪除NACB=90度這個(gè)條件）

已知，AABC中，CD1AB,D為垂足，DE_LAC于E,DF_LBC于F,

求證：CE/BC=CF/AC

ADB

題37

（在題17中，刪除/ACB=90度和CDLAB,D為垂足這兩個(gè)條件，增加D是AB上一點(diǎn),

滿足NACD=NABC）

已知，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，滿足NACD=/ABC,又CE平分/BCD

求證：AEA2=ADAB

題38

已知，aABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，PC為。ABC的切線

（在題19中點(diǎn)E“該為E為BC上任意一點(diǎn)”）

已知，4ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，

E為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AE,CF1AE,F為垂足，連結(jié)DF,

求證：△ADFs^AEB

題40：

已知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足

求證：SOADC：SOBDC=AD：DB

c

題41

已知，如圖，Z\ABC中，CD_LAB,D為垂足，且AD/CD=CD/BD,

求NACB的度數(shù)。

題42

已知，CD是aABC的AB邊上的高，D為垂足，且AD/CD=CD/BD,

則NACB一定是90度嗎？為什么？

題43：

已知，aABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，AADC的內(nèi)切圓。O1,

△BDC的內(nèi)切圓。02,

求證：SOO1：SOO2=AD：DB

題44：

已知，^ABC中，NACB=90度，CD_LAB,D為垂足，AADC的內(nèi)切圓。01的半徑R1,

△BDC的內(nèi)切圓。02的半徑R2,Z\ABC的內(nèi)切圓。0的半徑R,求證：R1+R2+R=CD

題45、

已知，^ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，作以AC為直徑的圓01,和以BD

為直徑的圓02,設(shè)01和02在AABC內(nèi)交于P

求證：^PAD的面積和aPBC的面積相等

題45解:

ZCAP=ZCDP=ZDBP（圓周角、弦切角）

ARtAAPC^RtABPD

AAPPD=BPPC

又NAPD和NCPB互補(bǔ)（NAPC+NBPD=180度）

S△PAD=l/2APPDsinZAPD

SAPBD=l/2BPPCsinZCPB

ASAPAD=SAPBD

題46（在題38的基礎(chǔ)上變一下）

已知，^ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，PC為。ABC的切線，又CE平分

NACB交。ABC與E,交AB與D,若PA=5,PC=10,

求CDCE的值

題47

在題46中,求sin/PCA

題48（由題19而變）

已知，△ABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足,

AE平分NACB交BC于E,EG_LAB交AB于點(diǎn)G,

求證：（1）AC=AG

⑵、AGA2=ADAB

（3）、G在NDCB的平分線上

⑷、FGIIBC

（5）、四邊形CEFG是菱形

題49

已知a為銳角'求證：Q+焉）（1+焉）上5

題49解答：

解：構(gòu)造斜邊上高UD為1的直角三角形如國，

設(shè)BC=a,AO=b,AS=c,,

…—sillCt'—COS'

又ab=CD?AB,ab=c

=Cl+aX1+b）=l+a+b+abN1+2+2=5

當(dāng)a=b時(shí)，艮口△ABO為等腹直角三角彩時(shí)，導(dǎo)號成立。

題目50（題33再變）

己知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，延長CB到E,使EB=CB,連結(jié)

AE交CD的延長線于F,如果此時(shí)AC=EC,

求證：AF=2FE

題50解：

過點(diǎn)E作EM_LCF,M為垂足，則AD：DB=ACA2：CBA2=4：1

又DB：EM=1：2

所以，AD：EM=2：I

△ADFS/XEMF

；.AF：EF=AD：EM=2：1

.'.AF=2EF

題目51（題50中連一線）

已知，ZSABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，延長CB到E,使EB=CB,連結(jié)

AE交CD的延長線于F,連結(jié)FB,如果此時(shí)AC=EC,

求證：ZABC=ZEBF

F

E

（題51的幾種解法）

解法1、

作NACB的平分線交AB于點(diǎn)G,易證4ACG絲ZM2EF

ACG=EF

???證△CBG0ZXEBF

???ZABC=ZEBF

題51解法2

作NACB的平分線交AB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)P,

則點(diǎn)G為4ACE的垂心，???GFIICE

又NAEC=NGCE,

???四邊形CGFE為等腰梯形

??.CG=EF

???再證4CBG04EBF

???ZABC=ZEBF

題51解法3

作NACB的平分線交AB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)P,

則點(diǎn)G為4ACE的垂心，

易證△APGgZXCPF(AAS)

???PG=PF

又NGPB=NFPB,

PB=PB

/.△PBG^AFBP(SAS)

.,.ZPBG=ZFBP

AZABC=ZEBF

E

題51解法4(原題圖)

由題50得，AF=2EF

AAF：EF=AC：BE=2

又NCAF=NBEF=45度

/.△ACF^AEBF

???ZACF=ZEBF

又NACF=NCBA

，ZABC=ZEBF

題51解法5

作ME±CE交CD的延長線于M,

證△ABCgZiCME(ASA)

???ZABC=ZM

再證△MEFg/\BEF(SAS)

???ZEBM=ZM

ZABC=ZEBF

題51解法6

作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)N,連結(jié)AN,

則NB=2BE,又由題50,AF=2EF,

BFIIAN

AZEBM=ZN

又NABC=NN（對稱點(diǎn)）

.*.ZABC=ZEBF

N

題51解法7

過點(diǎn)C作CHIIBF交AB于M,

YB為CE的中點(diǎn)，

F為HE的中點(diǎn)

又由題50,AF=2EF,

...H為AF的中點(diǎn)

又CHIIBF

；.M為AB的中點(diǎn)

.,.ZMCB=ZMBC

又NEBM=NMCB

.'.ZABC=ZEBF

題目52(題50、51結(jié)論的引伸)

已知，ZXABE中，AC=EC,/ACE=90度,

CD_LAB交斜邊AB于F,D為垂足，

B為CE的中點(diǎn)，連結(jié)FB,

求證：

⑴、AF=2EF

(2)、ZABC=ZEBF

(3)、ZEBF=ZE+ZBAE

⑷、ZABF=2ZDAC

(5)、AB：BF=AE：EF

(6)、CD：DF=AE：AF

(7)、AD：DB=2AF：EF

(8)、CD/DF-FA/AE-EB/BC=1

題目53(題52的一部分)

已知如圖，

①、AC=CE

②、AC1CE

③、CB=BE

④、CF1AB

求證：

⑤、AF=2EF

⑥、ZABC=ZEBF

（題53的14個(gè)逆命題中，是真命題的請給出證明）

題目54（題53的逆命題1）

己知如圖，

⑤、AF=2EF

②、AC1CE

③、CB=BE

④、CF1AB

求證：

①、AC=CE

⑥、ZABC=ZEBF

平面幾何一題多變

題目55（題53的逆命題2）

已知如圖，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF1AB

求證：

②、AC1CE

⑥、ZABC=ZEBF

題目56（題53的逆命題3）

已知如圖，

①、AC=CE

②、AC1CE

⑤、AF=2EF

④、CF±AB

求證：

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

題目57（題53的逆命題4）

已知如圖，

①、AC=CE

②、AC1CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

求證：

④、CF1AB

⑥、ZABC=ZEBF

題目58（題53的逆命題5）

已知如圖，

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

②、AC1CE

④、CF±AB

求證：

⑤、AF=2EF

①、AC=CE

題目59（題53的逆命題6）

已知如圖，

①、AC=CE

④、CF1AB

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

⑤、AF=2EF

②、AC1CE

題目60（題53的逆命題7）

已知如圖，

①、AC=CE

②、ACICE

⑥、ZABC=ZEBF

④、CFXAB

求證：

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

題目61（題53的逆命題8）

已知如圖，

①、AC=CE

②、AC1CE

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

⑤、AF=2EF

④、CF1AB

題目62（題53的逆命題9）

己知如圖，

⑤、AF=2EF

④、CF±AB

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

①、AC=CE

②、AC1CE

題目63（題53的逆命題10）

已知如圖，

②、AC1CE

⑤、AF=2EF

④、CF1AB

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

①、AC=CE

③、CB=BE

題目64（題53的逆命題11）

已知如圖，

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

②、AC±CE

⑤、AF=2EF

求證：

①、AC=CE

④、CF1AB

題目65（題53的逆命題12）

已知如圖，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

④、CF1AB

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

②、AC1CE

③、CB=BE

題目66（題53的逆命題13）

已知如圖，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

②、AC±CE

④、CF1AB

題目67（題53的逆命題14）

已知如圖，

①、AC=CE

②、AC±CE

⑤、AF=2EF

⑥、ZABC=ZEBF

求證：

③、CB=BE

④、CF±AB

題目68

已知如圖，AABC中，/ACB=90度，CD1AB,D為垂足,

CM平分NACB,如果SZ\ACM=30,SADCM=6,

求SABCD=?

(題68解答)

解：

設(shè)SZkBCD=x，則SZiACM/SZkCMB=30/(6+x)=AM/MB

SAACD/SACDB=36/x=AD/DB

又ACA2=AD-AB

BCA2=BDAB

.'.ACA2ZBCA2=AD/BD

二?CM平分NACB

(AM/BM)A2=AD/BD

.,.[30/(6+x)]A2=36/x

解方程得x=4或x=9

.,.SABCD=4或SABCD=9

題目69

已知如圖，Z\ABC中，NACB=90度，D為斜邊AB上一點(diǎn)，滿足ACO=ADAB

求證：CD1AB

題目70

已知如圖，AABC中，AC>BC,NACB=90度,

CM平分NACB,且CM+CB=AC,

求證：1/AC-1/BC=A/2

題70證明：

過點(diǎn)M作MD_LBC,D為垂足，作MD1AC,E為垂足,

設(shè)ME=x,AC=b,BC=a，則CM=<2x,AE=b-x,

由AE/AC=ME/BC,得(b-x)/b=x/a,

x=ab/(a+b)

又CM+CB=AC

；.?2x+a=b,

ab/(a+b)=(b-a)/弋2

整理得：bA2-aA2=A/2ab

兩邊都除以ab,

1/AC-1/BC=^2

題目71（依題68變）

已知如圖，ZXABC中（AC>BC）,/ACB=90度，CD±AB,D為垂足,

CM平分NACB,且BC、AC是方程xA2-14x+48=0的兩個(gè)根，

求AD、MD的長。

題目71解：

顯然，方程xA2-14x+48=0的兩根為6和8,

又AOBC

：.AC=8,BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD^AABC,得ACA2=AD-AB

AAD=6.4

VCM平分NACB

.,.AM/MB=AC/CB

解得，AM=40/7

/.MD=AD-AM=24/35

題目72

己知如圖，AABC中，NACB=90度，AB=2AC,現(xiàn)在將它折成如右圖的形狀，這時(shí)頂點(diǎn)A

正好落在BC上，而且AAMN是正三角形，

求△AMN與AABC的面積之比。

題72解：

?.?NACB=90度，AB=2AC

；.NB=30度

由題意，四邊形AMAN是菱形,

.,.△A'BM^>AABC

.,.A'M/AC=BM/AB

設(shè)AM=x,AB=2AC=2a

x/a=(2a-x)/2a

x=2a/3

由三角形面積公式，得

SAA'MN：SAABC=2：9

題目73

已知，AABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足

求證：AB+CD>AC+BC

題73的證明：

由三角形面積公式，得AB-CD=ACBC

2ABCD=2ACBC

又勾股定理，得ABA2=ACA2+BCA2

/.ABA2+2ABCD=ACA2+BC人2+2AC?BC(等式性質(zhì))

.,.ABA2+2ABCD=(AC+BC)A2

.,.ABA2+2ABCD+CDA2>(AC+BC)A2

.'.(AB+CD)A2>(AC+BC)A2

又AB、CD、AC、BC均大于零

.,.AB+CD>AC+BC

題目74

已知，aABC中，NACB>90度，CD±AB,D為垂足

求證：AB+CD>AC+BC

題74證明：如圖，作CB，_LAC交AB于B，，

于是有

AB'CD=ACB'C

2AB,CD=2ACB,C

又勾股定理，得AB"2=ACA2+B'CA2

.'.AB'八2+2AB'-CD=AO2+B'b2+2ACB'C(等式性質(zhì))

.".AB，A2+2AB,CD=(AC+B'C)A2

AB，A2+2AB'CD+CDA2>(AC+B'C)A2

.,.(AB,+CD)A2>(AC+B'C)A2

又AB\CD、AC、B，C均大于零

AAB'+CD>AC+B'C......①

在△ABB，中,BB+CB-CB，.......②

?+?得AB'BB'+CD>AC+B,CCB-CB'

/.AB+CD>AC+BC

已知如圖，AABC中，CD±AB,D為垂足,

CT平分NACB,CM為AB邊上的中線，

jaZACD=ZDCT=ZTCM=ZMCB

求證：ZACB=90度

題目75的證明:

延長CT交三角形ABC的外接圓于N,連結(jié)MN,

則N為弧AB的中點(diǎn)，所以MN_LAB,

XCD1AB,

.,.MNIICD

.,.ZDCT=ZTNM

又NDCT=NTCM

ZTCM=ZTNM

：.CM=NM

.,.CN的垂直平分線必過點(diǎn)M,

又CM為AB邊上的中線，MN±AB

AAB的垂直平分線必過點(diǎn)M,

即M為兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)，

.?.M為三角形ABC的外接圓的圓心，

因此AB為4ABC的外接圓的直徑。

ZACB=90度

c

A」

N

題目76

已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，

ZACB的平分線CG交AB邊上的中垂線于點(diǎn)G,

求證：MC=MG

G

題目77

已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，CM為AB邊上的中線，CD是N

ACB的平分線，AC=75cm,BD=80cm,

求CD、CM、CE的長

ADEMB

題目78

已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足,E為。ABC上一點(diǎn)，

且弧AC=MCE,又AE交CD于M,

求證：AM=CM

E

c

A1D7B

\/

題目79（題78再變）

已知，Z\ABC中，/ACB=90度，CD1AB,D為垂足,E為。ABC上一點(diǎn)，且弧AC=M

CE,又BC交AE于G,連結(jié)BE

求證：BGA2=ABBE-AGGE

A[D]B

\J

題目80

已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，E為OABC上一點(diǎn)，且直線DC于

直線BE交于P,

求證：CDA2=DMDP

P

ATD7B

\y

題目81

已知，^ABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，E為OABC上一點(diǎn)，且直線DC于

直線BE交于P,如果CD平分AE,

求證：2DM-DP=BE-EP

己知，Z^ABC中，/ACB=90度，CDXAB,D為垂足，E為。ABC上一點(diǎn),

且弧AC=MCE,又直線AC與直線BE交于H,

求證：AB=BH

求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和。

題目84

已知，aABC中，/ACB=90度，CD±AB,D為垂足，MN切。ABC與C點(diǎn)

求證：BC平分NDCN

c

A]D?B

題目85

已知，Z\ABC中，NACB=90度，CD1AB,D為垂足，MN切。ABC與C點(diǎn),

AF1MN,F為垂足，AE1MN,E為垂足，

求證：CD=CE=CF

己知，AABC中，NACB=90度，以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,以AC為半徑的圓交

AB于點(diǎn)E,

題目87（由題38圖而變）

求證：和兩定點(diǎn)距離之比等于定比（不為1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓周。

（提示：從（1）完備性、（2）純粹性兩方面來證明。）

題目88

作圖題：

已知兩線段之和及積，求作這兩條線段。

已知：兩線段m和n

求作：兩線段x及y,使x+y=m,xy=nA2

m

補(bǔ)個(gè)圖（題88作法參考）

AD、BD即為求作線段x、y

fi1

題目89（由題88變）

已知梯形ABCD如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。

BC

題目90

利用下圖，證明：兩個(gè)正數(shù)之和為定值，則這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)乘積最大。

題目89作法：

如圖，作兩腰的延長線交于點(diǎn)O,作PBLAB使PB=OA,連結(jié)OP,

以O(shè)P為直徑作半圓M,由圓心M作MN_LOP,交半圓于點(diǎn)N,再以O(shè)為圓心ON為半徑

畫弧交AB于點(diǎn)E,作EFIIBC交CD于F,則EF即為所求線段。

題91（題73變）

設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，滿足a/b=c/d,且a最大,

求證：a+d>b+c

題92（人教版數(shù)學(xué)八年級下114頁）

在Rt^ABC中，/ACB=90度，CD±AB,D為垂足，ZACD=3ZBCD,E是斜邊AB的

中點(diǎn)，

ZECB是多少度？

題93（題49變）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且NA、NB都是銳角，

求/A/2+NB的值。

題目93解：（構(gòu)造法）

分別以17、13為邊作aABC,使AC=17,BC=13,CD為AB邊上的高，

在RtaADC中，AD=17cosA,在RtZiBDC中，BD=13cosB,

CD=I7sinA=13sinB

而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17,

???AC=AB,ZB=ZACB,

，NA+2NB=180度

.?.ZA/2+ZB=90?.

題94

已知如圖，aABC的NC的平分線交AB于D,交AABC的外接圓于E,

若CDCE等于4ABC面積的2倍

求證：NACB=90度

題目95

已知，AABC中，NACB=90度，CD±AB,D為垂足，CM平分/ACB交AB于M,若

AC>BC

求證：ZDCM=l/2-(ZB-ZA)

題目96

已知，4ABC中，/ACB=90度，CD1AB,D為垂足，CE為AB邊上的中線，且DE=DC,

求4ABC中較小的銳角的度數(shù)。

E□B

題目97

己知，△ABC中，/ACB=90度，CE平分/ACB交AB于E,且EC+BC=AC,

求AC/BC

題97解：

設(shè)BC=a,AC=b，過點(diǎn)E作EHIIBC交AC于點(diǎn)H,作EFIIBC交BC于點(diǎn)F,

則四邊形CHEF為正方形，設(shè)EH=X.!MCE=y/2x,

由AH/EH=AC/BC,得(b-x)/x=b/a,x=(ab)/(a+b)

由題意得，a+42x=b

x=(b-a)/72a,

(ab)/(a+b)=(b-a)/42a,

得bA2-^/2ab-aA2=0

b/a=(^2+>/6)/2

即AC/BC=(Y2+#)/2

題目98

已知I,Z\ABC中，/ACB=90度，兩直角邊的差為242,

CD±AB,D為垂足,BD-AD=2d3,

求4ABC中的三邊長。

題目99

圓內(nèi)接三角形ABC中，直徑AB=4,AB邊上的高CD=243,

求NA的度數(shù)。

題目100

已知，AABC中，CD1AB,D為垂足，ZB=2ZA

求證：CB=AD-BD

已知I,AB是。的直徑，AB=4,D是OB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的弦CELAB,

求弦CE的長。

（題54的解答）

已知如圖，

⑤、AF=2EF

②、AC1CE

③、CB=BE

④、CF±AB

求證：

①、AC=CE

⑥、ZABC=ZEBF

證明：

過點(diǎn)E作EM_LCF如圖，由△ADFs^EMF得AD：EM=AF：FM=2

又BD為ACEM的中位線，則BD：EM=1：2

AAD：DB=4：1=ACA2:CBA2

.,.AC：CB=2：1

又CB=BE

.,.AC=CE(再由51的解答即有NABC=NEBF成立)

題55的解答

已知如圖，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF±AB

求證：

②、AC1CE

⑥、ZABC=ZEBF

證明：過點(diǎn)E作EM_LCF,如圖

由△ADFs^EMF得AD：EM=AF：FM=2

又BD為ACEM的中位線，則BD：EM=1：2

AAD：DB=4：i

不妨設(shè)DB=x,CD=y，則AD=4x,

由勾股定理得AC=\/[(4x)A2+yA2],BC=4(xA2+yA2)

又AC=2BC,得y人2=4x八2

即CDA2=ADDB

CD：AD=DB：CD,NADC=NCDB=90度

RtAADC<-RtACDB

.,.ZACD=ZCBD

又ZBCD+ZCBD=90度

.,.NBCD+NACD=90度，

即NACB=90度（再證NABC=NEBF成立）

題目102

初中三年級中考復(fù)習(xí)平面幾何證明題一題多解

如圖：已知青AB=AC,E是AC延長線上一點(diǎn)，且有BF=CE,連接FE交BC于D。求證:

FD=DEo

分析：本題有好多種證明方法，由于新課標(biāo)主

要用對稱、旋轉(zhuǎn)方法證明，但平行四邊形的性

質(zhì)、平行線性質(zhì)等都是證題的好方法，我在這

里向初中三年級同學(xué)面對中考需對平面幾何

證明題的證明方法有一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和提高。

下邊我將自己證明這道題的方法給各位愛好