第2章測(cè)量誤差理論與數(shù)據(jù)處理

2.1測(cè)量誤差的基本概念2.2測(cè)量誤差的來源與分類2.3測(cè)量誤差的分析與處理2.4測(cè)量誤差的合成與分配2.5測(cè)量數(shù)據(jù)處理思考與練習(xí)題

2.1測(cè)量誤差的基本概念

2.1.1有關(guān)誤差的術(shù)語1.真值A(chǔ)0

一個(gè)量在被觀測(cè)時(shí),該量本身所具有的真實(shí)大小稱為真值。在不同的時(shí)間和空間,被測(cè)量的真值往往是不同的。在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下,某被測(cè)量的真值是一個(gè)客觀存在的確定數(shù)值。要想得到真值,必須利用理想的測(cè)量?jī)x器或量具進(jìn)行無誤差的測(cè)量,由此可以推斷,真值實(shí)際上是無法得到的。

這是因?yàn)椤袄硐搿钡臏y(cè)量?jī)x器或量具即測(cè)量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)(或叫計(jì)量標(biāo)準(zhǔn))只是一個(gè)純理論值,盡管隨著科技水平的提高,可供實(shí)際使用的測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來愈接近理想的理論定義值,但誤差總是存在的,而且在測(cè)量過程中還會(huì)受到各種主觀和客觀因素的影響,所以,做到無誤差的測(cè)量是不可能的。

2.約定真值A(chǔ)

滿足規(guī)定準(zhǔn)確度要求,用來代替真值使用的量值稱為約定真值。由于真值是無法絕對(duì)得到的,在誤差計(jì)算中,常常用一定等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)來代替真值。實(shí)際測(cè)量中,不可能都與國(guó)家計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)相比對(duì),所以國(guó)家通過一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng),把國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去,在每一級(jí)的比較中,都把上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所測(cè)量的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值,一般要求高一等級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量器具誤差的1/10~1/3。

在實(shí)際值中,把由國(guó)家設(shè)立的盡可能維持不變的各種實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)作為指定值或叫約定真值,例如指定國(guó)家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg,指定國(guó)家天文臺(tái)保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1s等。

3.標(biāo)稱值

測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值,如標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω,標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出的電動(dòng)勢(shì)1.0186V,標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1kg等。標(biāo)稱值并不一定等于它的真值,由于制造和測(cè)量水平的局限及環(huán)境因素的影響,它們之間存在一定的誤差,因此,在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí),通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。例如,某電阻的標(biāo)稱值為1kΩ,誤差±1%,即意味著該電阻的實(shí)際值在990Ω到1010Ω之間;某信號(hào)發(fā)生器頻率刻度的工作誤差≤±1%±1Hz,如果在額定條件下該儀器頻率刻度是100Hz,這就是它的標(biāo)稱值,而實(shí)際值是100±100×1%±1Hz,即實(shí)際值在98到102之間。

3.示值

由測(cè)量器具指示的被測(cè)量的量值稱為測(cè)量器具的示值,也稱測(cè)量?jī)x器的測(cè)量值或測(cè)得值。一般來說,測(cè)量?jī)x器的示值和讀數(shù)是有區(qū)別的,讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字,對(duì)于數(shù)字顯示儀表,通常示值和讀數(shù)是一致的,對(duì)于模擬指示儀器,示值需要根據(jù)讀數(shù)值和所用的量程進(jìn)行換算。例如以100分度表示量程為50mA的電流表,當(dāng)指針在刻度盤上的50位值時(shí),讀數(shù)是50,而示值應(yīng)是25mA。

4.測(cè)量誤差

在實(shí)際測(cè)量中,測(cè)量器具的不準(zhǔn)確、測(cè)量手段的不完善、測(cè)量環(huán)境的影響、對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)的局限性以及工作中的疏忽或錯(cuò)誤等因素,都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值不同。測(cè)量?jī)x器與被測(cè)量真值之間的差別稱為測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的存在具有必然性和普遍性,人們只能根據(jù)需要和可能,將其限制在一定的范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。不同的測(cè)量,對(duì)其測(cè)量誤差的大小,也就是測(cè)量準(zhǔn)確度的要求往往是不同的。

人們進(jìn)行測(cè)量的目的,通常是為了獲得盡可能接近真值的測(cè)量結(jié)果,如果測(cè)量誤差超過一定的限度,測(cè)量工作及由此產(chǎn)生的測(cè)量結(jié)果將失去意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代化生產(chǎn)中,錯(cuò)誤的測(cè)量結(jié)果有時(shí)還會(huì)使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性的后果。我們研究誤差理論的目的,就是要分析誤差產(chǎn)生的原因及其發(fā)生規(guī)律,正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì),尋找減小或消除測(cè)量誤差的方法,學(xué)會(huì)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法,使測(cè)量結(jié)果更接近于真值,在測(cè)量中指導(dǎo)我們合理地設(shè)計(jì)測(cè)量方案,正確地選用測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法,確保產(chǎn)品和研究課題的質(zhì)量。

2.1.2測(cè)量誤差的表示

1.絕對(duì)誤差

(1)定義:由測(cè)量所得到的被測(cè)量值x與其真值A(chǔ)0之差,稱為絕對(duì)誤差,即

式中,Δx為絕對(duì)誤差。

前面已提到,真值A(chǔ)0一般無法得到,所以用約定真值A(chǔ)代替A0,因而絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是

絕對(duì)誤差表明了被測(cè)量的測(cè)量值與被測(cè)量的實(shí)際值之間的偏離程度和方向。對(duì)于絕對(duì)誤差,應(yīng)注意以下兩點(diǎn):第一,絕對(duì)誤差是有單位的量,其單位與測(cè)得值和實(shí)際值相同;第二,絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量,其符號(hào)表示出了測(cè)量值與實(shí)際值的大小關(guān)系,若測(cè)量值大于實(shí)際值,則絕對(duì)誤差為正值,反之為負(fù)值。

在一般測(cè)量工作中,只要按規(guī)定的要求,達(dá)到誤差可以忽略不計(jì),就可以認(rèn)為該值接近于真值,并用它來代替真值。除了實(shí)際值以外,還可以用已修正過的多次測(cè)量的算術(shù)平均值來代替真值。

(2)修正值:與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等,但符號(hào)相反的量值,用C表示,即

測(cè)量?jī)x器的修正值通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的校準(zhǔn)結(jié)果給出,可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。在日常測(cè)量中,利用其儀器的修正值C和該已檢儀器的示值x,可以求得被測(cè)量的約定真值:

2.相對(duì)誤差

絕對(duì)誤差雖然可以說明測(cè)量結(jié)果偏離實(shí)際值的情況,但不能完全科學(xué)地說明測(cè)量的質(zhì)量(測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度)。因?yàn)橐粋€(gè)量的準(zhǔn)確程度,不僅與測(cè)量的絕對(duì)誤差的大小有關(guān),而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。當(dāng)絕對(duì)誤差相同時(shí),這個(gè)量本身的絕對(duì)值越大,測(cè)量準(zhǔn)確程度相對(duì)越高;這個(gè)量本身的絕對(duì)值越小,測(cè)量準(zhǔn)確程度相對(duì)越低。例如測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓量,其中一個(gè)電壓為V1=10V,其絕對(duì)誤差ΔV1=0.1V;另一個(gè)電壓為V2=1V,其絕對(duì)誤差ΔV2=0.1V。盡管兩次測(cè)量的絕對(duì)誤差皆為0.1V,但是我們不能說兩次測(cè)量的準(zhǔn)確度是相同的,顯然,前者測(cè)量的準(zhǔn)確度高于后者測(cè)量的準(zhǔn)確度。因此,為了說明測(cè)量的準(zhǔn)確程度,又提出了相對(duì)誤差的概念。

3)分貝誤差———相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示

在電子學(xué)及聲學(xué)測(cè)量中,常用分貝來表示相對(duì)誤差,稱為分貝誤差。分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式(分貝數(shù))表示的一種相對(duì)誤差,單位為分貝(dB),用γdB表示。下面以有源網(wǎng)絡(luò)電壓增益為例,引出分貝誤差的表示形式。

例2－1某電流表測(cè)出的電流值為96μA,標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)出的電流值為100μA,求測(cè)量的相對(duì)誤差和分貝誤差。

3.滿度相對(duì)誤差(引用相對(duì)誤差)

前面介紹的相對(duì)誤差很好地反映了某次測(cè)量的準(zhǔn)確程度,但是,在連續(xù)刻度的儀表中,用相對(duì)誤差來表示整個(gè)量程內(nèi)儀表測(cè)量的準(zhǔn)確程度就感到不便,因?yàn)槭褂眠@種儀表時(shí),在某一測(cè)量量程內(nèi),被測(cè)量有不同的數(shù)值,若用式(2－5)計(jì)算相對(duì)誤差,隨著被測(cè)量的不同,式中的分母相應(yīng)變化,求得的相對(duì)誤差也將隨著改變,到底用那個(gè)相對(duì)誤差反映儀表的準(zhǔn)確度呢?

因此,為了計(jì)算和劃分儀表的準(zhǔn)確度等級(jí),在用式(2－5)求相對(duì)誤差時(shí),改用電表的量程作為分母,從而引出了滿度相對(duì)誤差(引用相對(duì)誤差)的概念:實(shí)際中常用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差Δxm與該量程的滿刻度值(該量程的上限值與下限值之差)xm之比來表示,即

式中γm為滿度相對(duì)誤差(或稱引用相對(duì)誤差)。對(duì)于某一確定的儀器儀表,它的最大引用相對(duì)誤差是確定的。

滿度相對(duì)誤差在實(shí)際測(cè)量中具有重要意義。

(1)用滿度相對(duì)誤差來標(biāo)定儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。我國(guó)電工儀表就是按引用相對(duì)誤差γm之值進(jìn)行分級(jí)的,共分七級(jí):0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0。其中,準(zhǔn)確度等級(jí)在0.2級(jí)以上的儀表屬于精密儀表,使用時(shí)要求有較嚴(yán)格的工作環(huán)境及操作步驟,一般作為標(biāo)準(zhǔn)儀表使用。如果儀表準(zhǔn)確度等級(jí)為s級(jí),則說明該儀表的最大滿度相對(duì)誤差不超過s%,即|γm例|≤s%。

例2－2某電流表的量程為100mA,在量程內(nèi)用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)量幾個(gè)電流的讀數(shù),如表2－1所示。

解由Δx=x-A計(jì)算出各點(diǎn)Δxi如表2－1所示。因?yàn)棣m=80-78=2mA,xm=100mA,由式(2－11)求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為

所以該表大致為2.5級(jí)表。

在實(shí)際中,標(biāo)定一個(gè)儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)要通過大量的測(cè)量數(shù)據(jù)并經(jīng)過一定的計(jì)算和分析后才能完成,標(biāo)定方法可以簡(jiǎn)單總結(jié)為下面三個(gè)步驟:

①條件準(zhǔn)備:待定表、標(biāo)準(zhǔn)表、具有一定標(biāo)準(zhǔn)的大小可以調(diào)節(jié)的測(cè)量源。

②數(shù)據(jù)(樣本)采集:在儀表量程范圍內(nèi),對(duì)大量的被測(cè)量分別用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表比對(duì)測(cè)量,找出最大的絕對(duì)誤差xm。

③計(jì)算及等級(jí)確定:用引用相對(duì)誤差定義進(jìn)行計(jì)算,即γm=Δxm/xm×100%=s%,按s大小并參考國(guó)家儀器等級(jí)目錄確定等級(jí)。

(2)用滿度相對(duì)誤差來檢定儀表是否合格。

例2－3檢定一個(gè)1.5級(jí)100mA的電流表,發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大,為1.4mA,其它刻度處的誤差均小于1.4mA,問這塊電流表是否合格。

解由式(2－11)求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為

所以,這塊表是合格的。實(shí)際中,要判斷該電流表是否合格,應(yīng)該在整個(gè)量程范圍內(nèi)取足夠多的點(diǎn)進(jìn)行檢定。

(3)指導(dǎo)我們?cè)谑褂枚嗔砍虄x表時(shí),合理地選擇儀表的量程。

由式(2－11)可知,滿度相對(duì)誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值:

若某儀表的等級(jí)是s級(jí),被測(cè)量的真值為A0,那么測(cè)量的最大絕對(duì)誤差為

通常取

一般講,測(cè)量?jī)x器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等,但對(duì)使用者來講,在沒有修正值可以利用的情況下,只能按最壞的情況來處理,即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于Δxm,把這種處理叫做誤差的整量化。

測(cè)量的最大相對(duì)誤差為

即

通常取

由上式可知,當(dāng)一個(gè)儀表的等級(jí)s確定后,測(cè)量的最大絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差、所選儀表量程xm的上限成正比。由于A0≤xm,因此當(dāng)儀表等級(jí)s確定后,所選擇的儀表量程xm越接近測(cè)量對(duì)象的大小A0,測(cè)量相對(duì)誤差的最大值越小,測(cè)量越準(zhǔn)確,所以在使用多量程儀表測(cè)量時(shí),應(yīng)合理地選擇量程。一般情況下,應(yīng)盡量使被測(cè)量的數(shù)值占儀表滿度值的三分之二以上。

在實(shí)際測(cè)量時(shí),一般應(yīng)先在大量程下測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值,然后選擇合適的量程再進(jìn)行測(cè)量,以盡可能減小相對(duì)誤差。

(4)在一定量的測(cè)量中,用滿度相對(duì)誤差指導(dǎo)我們合理選擇儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。

例2－5欲測(cè)量一個(gè)10V左右的電壓,現(xiàn)有兩塊電壓表。其中一塊量程為100V,1.5級(jí);另一塊量程為15V,2.5級(jí)。問選用那一塊表好些。

解用1.5級(jí)量程為100V電壓表測(cè)量10V電壓時(shí),最大相對(duì)誤差為

通過計(jì)算得知,用2.5級(jí)量程為15V的電壓表測(cè)量10V電壓的準(zhǔn)確度高于用1.5級(jí)量程為100V的電壓表測(cè)量10V電壓的準(zhǔn)確度,且2.5級(jí)量程為15V的電壓表經(jīng)濟(jì)實(shí)用,所以選擇2.5級(jí)量程為15V的電壓表。

上例說明,如果選擇合適的量程,即使使用較低等級(jí)的儀表進(jìn)行測(cè)量,也可以取得比較高等級(jí)儀表還高的準(zhǔn)確度。因此,不要單純追求儀表的級(jí)別,而應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的大小,兼顧儀表的級(jí)別和測(cè)量上限,合理地選擇儀表。

2.2測(cè)量誤差的來源與分類

2.2.1測(cè)量誤差的來源為了減小測(cè)量誤差,提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度,首先要明確測(cè)量誤差的主要來源,并分析其屬性,從而采取相應(yīng)的措施以減小測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的來源主要有以下五個(gè)方面。

1.理論誤差和方法誤差

測(cè)量方案或測(cè)量方法所依據(jù)的理論不嚴(yán)密,或者由于對(duì)測(cè)量計(jì)算公式的近似等,致使測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的誤差稱為理論誤差。例如,當(dāng)用平均值檢波器測(cè)量正弦波交流電壓時(shí),平均值檢波器的輸出正比于被測(cè)正弦電壓的平均值U,而交流電壓表通常以正弦波有效值U來定度,兩者理論間的關(guān)系為

．

2.影響誤差

影響誤差是指由于各種環(huán)境因素(如溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等)與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差。

影響誤差常用影響量來表征。所謂影響量,是指除了被測(cè)的量以外,凡是對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響的量,即測(cè)量系統(tǒng)輸入信號(hào)中的非被測(cè)量值信息的參量。影響誤差可以是來自系統(tǒng)外部環(huán)境(如環(huán)境溫度、濕度、電源電壓等)的外界影響,也可以是來自儀器系統(tǒng)內(nèi)部(如噪聲、漂移等)的內(nèi)部影響。通常,影響誤差是指來自外部環(huán)境因素的影響,其中最大的兩個(gè)因素是環(huán)境溫度及周圍電磁波的影響。

3.儀器誤差

儀器誤差是由于測(cè)量?jī)x器及其附件在設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等環(huán)節(jié)不完善或有局限,以及儀器在使用過程中元器件老化,機(jī)械部件磨損、疲勞等而帶來的誤差。例如,儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差,儀器相應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動(dòng)態(tài)誤差,儀器儀表的零點(diǎn)漂移、刻度的不準(zhǔn)確和非線性,讀數(shù)分辨率有限而造成的讀數(shù)誤差以及數(shù)字儀器的量化誤差等都屬儀器誤差。

儀器誤差也是典型的理論誤差和影響誤差的反映。為了減小儀器誤差的影響,應(yīng)根據(jù)測(cè)量要求、測(cè)量環(huán)境,正確地選擇測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法,并在額定的工作條件下按使用要求進(jìn)行操作使用等。

4.使用誤差

使用誤差也稱操作誤差,是由于對(duì)測(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的。比如有些儀器設(shè)備要求測(cè)量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱;有些測(cè)量設(shè)備要求實(shí)際測(cè)量前必須進(jìn)行校準(zhǔn)(例如用普通萬用表測(cè)量電阻時(shí)應(yīng)進(jìn)行校零,用示波器觀測(cè)信號(hào)的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等)而未校準(zhǔn)等。

減小使用誤差的方法就是要嚴(yán)格按照測(cè)量?jī)x器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進(jìn)行操作使用。

5.人身誤差

人身誤差是由于測(cè)量人員自身感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、責(zé)任心欠缺等原因,導(dǎo)致在測(cè)量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取、諧振法測(cè)量時(shí)諧振點(diǎn)的判斷等都容易產(chǎn)生誤差。減小或消除人身誤差的措施有:提高測(cè)量人員操作技能、增強(qiáng)工作責(zé)任心、加強(qiáng)測(cè)量素質(zhì)和能力的培養(yǎng)、采用自動(dòng)測(cè)試技術(shù)等。

2.2.2測(cè)量誤差的分類

雖然產(chǎn)生誤差的原因多種多樣,但按誤差的基本性質(zhì)和特點(diǎn),可將誤差分為三種類型,即系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。

1.系統(tǒng)誤差

在同一測(cè)量條件下,對(duì)同一量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí),測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變,或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差,稱為系統(tǒng)誤差,簡(jiǎn)稱系差。前者為恒值系差,后者為變值系差。例如零位誤差屬于恒值系差,測(cè)量值隨溫度的變化而增加或減少產(chǎn)生的誤差屬于變值系差。變值系差又可分為累進(jìn)性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。圖2－1描繪了幾種不同系差的變化規(guī)律:直線a表示恒值系差;直線b屬變值系差中的累進(jìn)性系差,這里表示遞增情況,也有遞減情況;曲線c表示周期性系差;曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。圖2－1系統(tǒng)誤差的特征

在我國(guó)新制定的國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范(JF1001—1998《通用計(jì)量術(shù)語及定義》)中,系統(tǒng)誤差(ε)的定量定義是:在重復(fù)性條件下,對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量,所得結(jié)果x1、x2、…、xn(n→∞)的平均值x-(數(shù)學(xué)期望)與被測(cè)量的真值A(chǔ)0之差,即

其中

需要說明的是,由于上述技術(shù)規(guī)范定義中的測(cè)量是在重復(fù)性條件下進(jìn)行的,即測(cè)量條件不改變,故這里的ε是定值系統(tǒng)誤差。此外重復(fù)測(cè)量實(shí)際上只能進(jìn)行有限次,測(cè)量的真值也只能用約定真值來代替,所以實(shí)際中的系統(tǒng)誤差也只是一個(gè)近似的估計(jì)值。

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按照確定規(guī)律變化的因素造成的,這些因素主要有:

(1)測(cè)量?jī)x器方面的因素:儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理的缺陷、儀器零件制造偏差、刻度偏差、部件安裝不當(dāng)及元器件性能不穩(wěn)定等。如把運(yùn)算放大器當(dāng)作理想運(yùn)放,而被忽略的輸入阻抗、輸出阻抗及使用過程中的零點(diǎn)漂移等引起的誤差。

(2)環(huán)境方面的因素:測(cè)量時(shí)的實(shí)際環(huán)境條件(如溫度、濕度、大氣壓、電磁場(chǎng)等)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境條件的偏差。如測(cè)量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。

(3)測(cè)量方法的因素:采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差。

(4)測(cè)量人員方面的因素:由于測(cè)量人員的個(gè)人特點(diǎn),在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí),習(xí)慣偏于某一方向;動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí),記錄快速變化信號(hào)有滯后的傾向。

系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是:只要測(cè)量條件不變,誤差即為確切的數(shù)值,用多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變和消除,而當(dāng)條件改變時(shí),誤差也遵循某種確定的規(guī)律而變化,具有可重復(fù)性,較易修正和消除。

2.隨機(jī)誤差

在同一測(cè)量條件下(指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器等不變的條件下),對(duì)同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測(cè)量時(shí),每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差,稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差,簡(jiǎn)稱隨差。

隨機(jī)誤差主要由對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成,這些因素主要包括:

(1)測(cè)量裝置方面的因素:儀器元器件產(chǎn)生的噪聲、零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。

(2)環(huán)境方面的因素:溫度的微小波動(dòng)、濕度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度變化、電源電壓的無規(guī)則波動(dòng)、電磁波干擾、振動(dòng)等。

(3)測(cè)量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是:雖然某一次測(cè)量結(jié)果的大小和方向不可預(yù)知,但多次測(cè)量時(shí),其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。在多次測(cè)量中,誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限,即具有有界性;當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí),正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相同,即具有對(duì)稱性;隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零,即具有抵償性。由于隨機(jī)誤差的這些特點(diǎn),可以通過對(duì)多次測(cè)量值取平均值的方法來減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,或者用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。

3.粗大誤差

在一定測(cè)量條件下,測(cè)量結(jié)果明顯偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差,簡(jiǎn)稱粗差,也稱疏失誤差。產(chǎn)生粗差的主要原因有:

(1)測(cè)量操作疏忽和失誤,如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。

(2)測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤,如用普通萬用表電壓擋直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓,用普通萬用表交流電壓擋測(cè)量高頻交流信號(hào)等。

(3)測(cè)量環(huán)境條件的突然變化,如電源電壓突然增高或降低,雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等,這類變化雖然也帶有隨機(jī)性,但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值,因此將其列入粗差范疇。

含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值。由于壞值不能反映被測(cè)量的真實(shí)性,所以在數(shù)據(jù)處理時(shí),應(yīng)予以剔除掉。

2.2.3測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響圖2－2測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

從式(2－12)、式(2－14)及式(2－16)可以總結(jié)出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)從系統(tǒng)誤差ε的大小看:

說明測(cè)量越正確,即系統(tǒng)誤差反映了測(cè)量的正確度,或測(cè)量的正確度是系統(tǒng)誤差大小的反映,這是正確度與誤差的關(guān)系。由于系統(tǒng)誤差反映了測(cè)量數(shù)學(xué)期望偏離真值的程度,所以,正確度反映了測(cè)量數(shù)學(xué)期望偏離真值的程度,這是正確度的含義。

(2)從隨機(jī)誤差δi的大小看:

說明測(cè)量越精密,即隨機(jī)誤差反映了測(cè)量的精密度,或測(cè)量的精密度是隨機(jī)誤差大小的反映,這是精密度與誤差的關(guān)系。由于隨機(jī)誤差反映了測(cè)量值偏離測(cè)量數(shù)學(xué)期望的程度,所以,精密度反映了測(cè)量值偏離測(cè)量數(shù)學(xué)期望的程度,這是精密度的含義。

(3)從系統(tǒng)誤差ε的大小和隨機(jī)誤差δi的大小共同看:

說明測(cè)量越準(zhǔn)確(或越精確),即系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同反映了測(cè)量的準(zhǔn)確度(或精確度),或準(zhǔn)確度是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合反映,這是準(zhǔn)確度與誤差的關(guān)系。實(shí)際上,準(zhǔn)確度反映了測(cè)量值偏離真值的大小程度,這是準(zhǔn)確度的含義。

正確度、精密度與準(zhǔn)確度的概念也可用圖2－3所示的打靶結(jié)果來描述。子彈著靶點(diǎn)有三種情況:在圖(a)中,著靶點(diǎn)圍繞靶心均勻分散,且分散程度大,這種情況說明了測(cè)量的系統(tǒng)誤差小、隨機(jī)誤差大,即正確度高、精密度低;在圖(b)中,子彈著靶點(diǎn)雖很集中,但著靶點(diǎn)的中心位置偏離靶心較遠(yuǎn),這種情況說明了測(cè)量的系統(tǒng)誤差大、隨機(jī)誤差小,即正確度低、精密度高;在圖(c)中,著靶點(diǎn)既集中又距離靶心較近,這種情況說明了測(cè)量的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小,即準(zhǔn)確度高。圖2－3射擊誤差示意圖

值得注意的是,正確度、精密度與準(zhǔn)確度都是定性概念,如要定量分析,則應(yīng)用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測(cè)量不準(zhǔn)確度等概念給出誤差大小。定量分析將在下面幾節(jié)中進(jìn)行介紹。

在任何一次測(cè)量中,系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的,而且兩者之間并不存在嚴(yán)格的界限。由于認(rèn)識(shí)不足或受測(cè)試條件所限時(shí),常把系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差,并在數(shù)據(jù)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析處理。隨著人們對(duì)誤差來源及其變化規(guī)律認(rèn)識(shí)的提高,就可以把以往因認(rèn)識(shí)不足而歸為隨機(jī)誤差的誤差明確為系統(tǒng)誤差來進(jìn)行分析和處理。

此外,系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,對(duì)某一具體誤差,在一種場(chǎng)合下為系統(tǒng)誤差,在另外一種場(chǎng)合下有可能為隨機(jī)誤差,反之亦然。掌握了誤差轉(zhuǎn)換的特點(diǎn),在有些情況下就可以將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差,用增加測(cè)量次數(shù)并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法減小誤差的影響;或者將隨機(jī)誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差,用修正的方法減小其影響。

2.3測(cè)量誤差的分析與處理

2.3.1隨機(jī)誤差的分析與處理隨機(jī)誤差是指在相同條件下對(duì)同一量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí),誤差的絕對(duì)值和符號(hào)均發(fā)生變化,而且這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預(yù)知。隨機(jī)誤差使得測(cè)量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散,即偏離它的數(shù)學(xué)期望。雖然對(duì)單次測(cè)量而言,隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是不確定的,沒有規(guī)律性,但是,在進(jìn)行多次測(cè)量后,隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

1.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

由于隨機(jī)誤差的存在,測(cè)量值也是隨機(jī)變量。在測(cè)量中,測(cè)量值的取值可能是連續(xù)的,也可能是離散的。從理論上講,大多數(shù)測(cè)量值的可能取值范圍是連續(xù)的,而實(shí)際上由于測(cè)量?jī)x器的分辨力不可能無限小,因而得到的測(cè)量值往往是離散的。此外,一些測(cè)量值本身就是離散的。例如測(cè)量單位時(shí)間內(nèi)脈沖的個(gè)數(shù),其測(cè)量值本身就是離散的。實(shí)際測(cè)量中,要根據(jù)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的特征來分析測(cè)量值的統(tǒng)計(jì)特性。

在概率論中,不管是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量,都可以用分布函數(shù)來描述它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但實(shí)際中較難確定概率分布,且不少情況下也不需求出概率分布規(guī)律,只需知道某些數(shù)字特征就夠了。數(shù)字特征是反映隨機(jī)變量的某些特性的數(shù)值,常用的有數(shù)學(xué)期望和方差等。

測(cè)量中常常用標(biāo)準(zhǔn)偏差σ來描述隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)的分散程度,即隨機(jī)誤差的大小,因?yàn)樗c隨機(jī)變量X具有相同量綱。σ值的大小反映了測(cè)量的精密度,σ值小表示精密度高,測(cè)得值集中,σ值大表示精密度低,測(cè)得值分散。

2.隨機(jī)誤差的分布

1)正態(tài)分布

在很多情況下,測(cè)量中的隨機(jī)誤差正是由對(duì)測(cè)量值影響較微小的、相互獨(dú)立的多種因素的綜合影響造成的,也就是說,測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種因素造成的許多微小誤差的總和。在概率論中,中心極限定理指出:假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和,其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用,則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,又叫做高斯分布。測(cè)量中隨機(jī)誤差的分布及在隨機(jī)誤差影響下測(cè)量數(shù)據(jù)的分布大多服從正態(tài)分布。

隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的概率密度分布曲線分別如圖2－4(a)、(b)所示,可以看出,隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同,因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同(都為σ),只是橫坐標(biāo)相差E(X)這一常數(shù)值。對(duì)于隨機(jī)誤差δ,其數(shù)學(xué)期望為零。圖2－4隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的概率密度分布曲線

由圖2－4可見,隨機(jī)誤差具有以下規(guī)律:

對(duì)稱性:絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。

單峰性:絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。

有界性:絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零,即隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定界限。

抵償性:當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→￥時(shí),全部誤差的代數(shù)和趨于零。

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是表示測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征值。σ不同,分布曲線形狀不同。圖2－5中表示了不同σ(σ1<σ2<σ3)的三條曲線。由圖可見,σ值越小,則曲線形狀越尖銳,說明測(cè)量數(shù)據(jù)越集中,隨機(jī)誤差越小;σ值越大,則曲線形狀越平坦,說明測(cè)量數(shù)據(jù)越分散,隨機(jī)誤差越大。圖2－5不同σ的曲線

2)測(cè)量誤差的非正態(tài)分布

測(cè)量中的隨機(jī)誤差除了大量滿足正態(tài)分布外,還有一些不滿足正態(tài)分布的,統(tǒng)稱為非正態(tài)分布。常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。其中均勻分布的應(yīng)用僅次于正態(tài)分布。表2－2列出了三種分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)偏差和適用條件。從表2－2可以看出,這三種分布都服從對(duì)稱性、有界性和抵償性。

3.有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

前面所討論的被測(cè)量的數(shù)字特征都是在無窮多次測(cè)量的條件下求得的,但是在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量,所以就不能準(zhǔn)確地求出被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。下面討論如何根據(jù)有限次測(cè)量結(jié)果來估計(jì)被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

1)有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值———算術(shù)平均值

若對(duì)一個(gè)被測(cè)量x進(jìn)行n次等精度測(cè)量,其中取得xi的次數(shù)為ni,由概率論的貝努里定理可知:事件發(fā)生的頻度ni/n依概率收斂于事件發(fā)生的概率pi,即當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→￥時(shí),可以用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率。這時(shí),被測(cè)量x的數(shù)學(xué)期望為

當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí),統(tǒng)計(jì)特征本質(zhì)上是隨機(jī)的,所以,所有算術(shù)平均值x-本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論,x-也屬于正態(tài)分布。因?yàn)槭堑染葴y(cè)量,假定測(cè)量是獨(dú)立的,那么一系列測(cè)量就具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差,又根據(jù)概率論中“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差之和”的定理可推導(dǎo)出x的方差為

或

2)用有限次測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差———貝塞爾公式

實(shí)際測(cè)量中通常以算術(shù)平均值代替真值(無系差時(shí)),以測(cè)量值與算術(shù)平均值之差即剩余誤差(簡(jiǎn)稱殘差)v來代替真誤差δ,即

當(dāng)n→￥時(shí),v→δ。對(duì)vi求和,則得到

4.測(cè)量結(jié)果的置信度

1)置信概率與置信區(qū)間由于隨機(jī)誤差的影響,測(cè)量值均會(huì)偏離被測(cè)量真值。測(cè)量值分散程度用標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表示。一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果,不僅希望知道其量值的大小,還希望知道該測(cè)量結(jié)果可信賴的程度。下面從兩方面來分析測(cè)量的可信度問題。

雖然不能預(yù)先確定即將進(jìn)行的某次測(cè)量的結(jié)果,但希望知道該測(cè)量結(jié)果落在數(shù)學(xué)期望附近某一確定區(qū)間內(nèi)的可能性有多大。由于均方差表示測(cè)量值的分散程度,常用標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的若干倍來表示這個(gè)確定區(qū)間α,α=cσ,c稱為置信系數(shù)。也就是說,希望知道測(cè)量結(jié)果落在[E(X)-cσ,E(X)+cσ]這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率P{[E(X)-cσ]≤x≤[E(X)+cσ]}有多大,如圖26所示。圖2－6置信區(qū)間1

在大多數(shù)實(shí)際測(cè)量中,我們真正關(guān)心的不是某次測(cè)量值出現(xiàn)的可能性,而是關(guān)心被測(cè)量的真值處在某測(cè)量值x附近某確定區(qū)間[x-cσ,x+cσ]內(nèi)的概率P{[x-cσ]≤E(X)≤[x+cσ]}有多大,如圖2－7所示。圖2－7置信區(qū)間2

研究置信區(qū)間及置信概率問題具有重要意義,具體為:

①科學(xué)地確定判斷與剔除異常數(shù)據(jù)(粗大誤差)的規(guī)則;

②按照規(guī)則對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)去粗取精、去偽存真,減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,提高測(cè)量水平;

③是分析測(cè)量的不確定度的理論基礎(chǔ)。

2)正態(tài)分布下的置信問題

正態(tài)分布下的測(cè)量值x的概率密度函數(shù)為

欲獲得x在以E(X)為對(duì)稱軸的對(duì)稱區(qū)間[E(X)-cσ(x),E(X)+cσ(x)]內(nèi)的概率,就是要求出圖2－8中陰影部分的面積,即對(duì)分布密度所代表的曲線進(jìn)行積分,積分上、下限分別為E(X)-cσ與E(X)+cσ,且設(shè)

圖2－8正態(tài)分布下的置信區(qū)間與置信概率

3)非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有界的,設(shè)其極限為±α。鑒于在實(shí)際測(cè)量中一般不會(huì)遇到非常大的誤差,所以這種有界分布的假設(shè)是合理的。按照標(biāo)準(zhǔn)偏差的基本定義可以求得各種分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ,再求得置信因素(又稱覆蓋因子)k:

幾種非正態(tài)分布的置信因子k的取值參見表2－3。

2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法

上述隨機(jī)誤差分析和處理方法,是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差為前提的。實(shí)際上,測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差,在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。由于系統(tǒng)誤差是和隨機(jī)誤差同時(shí)存在于測(cè)量數(shù)據(jù)中,且不易被發(fā)現(xiàn),多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)又不能減少它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性,所以研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性,用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減少或消除系統(tǒng)誤差,就顯得十分重要。

1.系統(tǒng)誤差的判斷

1)不變的系統(tǒng)誤差常用校準(zhǔn)的方法來檢查恒定系統(tǒng)誤差是否存在。通常用標(biāo)準(zhǔn)儀器或標(biāo)準(zhǔn)裝置進(jìn)行比對(duì)來發(fā)現(xiàn)并確定系統(tǒng)誤差的數(shù)值,或依據(jù)儀器說明書上的修正值,對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。例如,用兩臺(tái)儀器對(duì)同一量分別進(jìn)行多次測(cè)量,然后分別計(jì)算平均值,若兩個(gè)平均值相差較大,可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。

2)變化的系統(tǒng)誤差

(1)殘差法。殘差法是將所測(cè)得數(shù)據(jù)的殘差按測(cè)量的先后次序列表或作圖,觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化情況,從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。但此方法只適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況,如圖2－9(a)所示。

當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小時(shí),如圖2－9(b)所示,就不能通過殘差法來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差了,而是要通過一些判斷準(zhǔn)則來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這些判斷準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)誤差的分布是否偏離正態(tài)分布,常用的有馬利科夫判據(jù)和阿卑赫梅特判據(jù)。圖2－9殘差法

(2)馬利科夫判據(jù)。

馬利科夫判據(jù)是判別有無累進(jìn)性系統(tǒng)誤差的常用方法。把n個(gè)等精度測(cè)量值所對(duì)應(yīng)的殘差按測(cè)量的先后順序排列,再把殘差分成兩部分求和,最后求其差值D。測(cè)量次數(shù)n有可能是偶數(shù)也有可能是奇數(shù)。

具體如下。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

若測(cè)量中含有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差,則前后兩部分殘差和明顯不同,D值應(yīng)明顯不為零。所以馬利科夫判據(jù)為:若D近似等于零,則上述測(cè)量數(shù)據(jù)中不含累進(jìn)性系統(tǒng)誤差;若D明顯不為零(與vi值相當(dāng)或更大),則說明上述測(cè)量數(shù)據(jù)中存在累進(jìn)性系統(tǒng)誤差。

(3)阿卑赫梅特判據(jù)。

通常用阿卑赫梅特判據(jù)來檢驗(yàn)周期性系統(tǒng)誤差的存在。把測(cè)量數(shù)據(jù)按測(cè)量順序排列,將對(duì)應(yīng)的殘差兩兩相乘,然后求其和的絕對(duì)值,再與測(cè)量值方差估計(jì)值相比較,若下式成立,則可認(rèn)為測(cè)量中存在周期性系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

1)從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上采取措施

測(cè)量?jī)x器本身存在誤差、測(cè)量?jī)x器使用不當(dāng)、測(cè)量方法存在缺點(diǎn)、測(cè)量環(huán)境變化以及測(cè)量人員的主觀因素等都可能造成系統(tǒng)誤差。在測(cè)量開始前,應(yīng)盡量發(fā)現(xiàn)并消除這些誤差來源或設(shè)法防止測(cè)量工作受這些誤差來源的影響,這是消除或減弱系統(tǒng)誤差最好的方法。

2)用修正方法減小系統(tǒng)誤差

修正方法是預(yù)先通過檢定、校準(zhǔn)或計(jì)算得出測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差的估計(jì)值,作出誤差表或誤差曲線,然后取與誤差數(shù)值大小相同、方向相反的值作為修正值,將實(shí)際測(cè)量結(jié)果加上相應(yīng)的修正值,即可得到已修正的測(cè)量結(jié)果。如米尺的實(shí)際尺寸不等于標(biāo)稱尺寸,若按照標(biāo)稱尺寸使用,就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差,因此,應(yīng)按經(jīng)過檢定得到的尺寸校準(zhǔn)值(即將標(biāo)稱尺寸加上修正值)使用,即可減少系統(tǒng)誤差。值得注意的是,修正不可能很理想、完善,因此系統(tǒng)誤差不可能完全消除。

3)采用一些有利于消除系統(tǒng)誤差的典型方法

在實(shí)際測(cè)量中,這些測(cè)量方法要根據(jù)具體的測(cè)量條件、測(cè)量?jī)?nèi)容來決定,方法種類較多,其中比較典型的方法有下面幾種:

(1)替代法。

替代法是先用被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量,然后在測(cè)量條件不變的情況下,用一個(gè)已知標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量,并調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量的量值的大小,使儀器示值不變,在這種情況下,標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就等于被測(cè)量。由于在代替的過程中,儀器的狀態(tài)和示值都沒改變,那么儀器的誤差和其它系統(tǒng)誤差的因素基本上不會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響。

圖2－10所示電橋法測(cè)量電阻就是替代法的反映。測(cè)量時(shí),先將被測(cè)電阻Rx接入電橋的左上臂,調(diào)節(jié)電橋臂的電阻(如調(diào)結(jié)R1)使電橋平衡,然后用一個(gè)可變標(biāo)準(zhǔn)電阻代替被測(cè)電阻Rx,調(diào)整這個(gè)可變標(biāo)準(zhǔn)電阻的阻值(如可變電阻箱),使電橋達(dá)到原來的平衡,這時(shí)的可變標(biāo)準(zhǔn)電阻的阻值就等于被測(cè)電阻的阻值。圖2－10電橋法測(cè)量電阻

(2)交換法。

由于某些因素可能使測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生單一方向的系統(tǒng)誤差時(shí),可以進(jìn)行兩次測(cè)量。利用交換被測(cè)量在系統(tǒng)中的位置或測(cè)量方向等方法,設(shè)法在兩次測(cè)量中使誤差源對(duì)被測(cè)量的作用相反。對(duì)照兩次測(cè)量值,可以檢查出系統(tǒng)誤差的存在,對(duì)兩次測(cè)量值取平均值,將大大削弱系統(tǒng)誤差的影響。例如用旋轉(zhuǎn)度盤讀數(shù)時(shí),分別將刻度盤向右旋轉(zhuǎn)和向左旋轉(zhuǎn)進(jìn)行兩次讀數(shù),用對(duì)讀數(shù)取平均值的辦法就可以在一定程度上消除由傳動(dòng)系統(tǒng)回差造成的誤差。又如用電橋測(cè)電阻時(shí),將被測(cè)電阻分兩次放在不同的橋臂上進(jìn)行測(cè)量,也有利于削弱系統(tǒng)誤差的影響。

(3)減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法。

對(duì)周期性系統(tǒng)誤差,可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行一次測(cè)量,取兩次讀數(shù)的平均值,即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差。因?yàn)橄嗖畎雮€(gè)周期的誤差理論上大小相等、符號(hào)相反,所以這種方法在理論上能消除周期性系統(tǒng)誤差。

(4)零示法。

在測(cè)量中,使得被測(cè)的量對(duì)指示儀表的作用與已知標(biāo)準(zhǔn)量對(duì)指示儀表的作用相互平衡,從而使指示儀表示值為零,這時(shí)被測(cè)量就等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量,這種方法稱為零示法。用電位差計(jì)測(cè)量電壓是典型的零示法反映,其原理電路如圖2－11所示。圖2－11電位差計(jì)原理

圖中E是標(biāo)準(zhǔn)電池,R1、R2是標(biāo)準(zhǔn)電位器的分壓電阻,若被測(cè)電壓為Ux,調(diào)整電位器P端的位置,使檢流計(jì)指示為零,這時(shí),由于檢流計(jì)上無電流流過,則被測(cè)電壓的數(shù)值為

(5)微差法。

上述的零示法要求被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量對(duì)指示儀表的作用完全相同,以使指示儀表為零。但在實(shí)際測(cè)量中,標(biāo)準(zhǔn)量的連續(xù)性是有限的,只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測(cè)量差別較小,則它們相互抵消的作用也會(huì)使指示儀表的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響大大削弱,這種測(cè)量方法稱為微差法。

設(shè)被測(cè)量為X,和它相近的標(biāo)準(zhǔn)量為A,被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量之微差為B,B的數(shù)值可由指示儀表讀出,則

2.3.3粗大誤差的分析與處理

在無系統(tǒng)誤差的情況下,測(cè)量中大的誤差出現(xiàn)的概率是很小的。在正態(tài)分布情況下,誤差絕對(duì)值超過2.57σ的概率僅為0.27%。對(duì)于誤差絕對(duì)值較大的測(cè)量數(shù)據(jù),就值得懷疑,可以列為可疑數(shù)據(jù)?？梢蓴?shù)據(jù)對(duì)測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都有較大的影響,甚至?xí)斐蓪?duì)測(cè)量結(jié)果的誤判。在測(cè)量中,必須分析可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差,若是粗大誤差,則應(yīng)將其對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。還要分清可疑數(shù)據(jù)是由于測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、人為錯(cuò)誤等因素造成的異常數(shù)據(jù),還是正常的大的誤差。在不確定產(chǎn)生原因的情況下,就應(yīng)該根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來判別可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。

1.粗大誤差的判別

采用統(tǒng)計(jì)方法判別粗大誤差的基本思想是:給定一置信概率,確定相應(yīng)的置信區(qū)間,凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差,并予以剔除。常用的方法有:

應(yīng)注意的問題:

①所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬訂的,至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的,當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí),檢驗(yàn)可靠性將受到影響。特別是測(cè)量次數(shù)比較少時(shí)更不可靠。

②若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定的置信區(qū)間,應(yīng)逐個(gè)剔除,重新計(jì)算x-和s,再進(jìn)行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍,也應(yīng)逐個(gè)剔除。

③一組測(cè)量數(shù)據(jù)中,可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少,若可疑數(shù)據(jù)較多,則說明系統(tǒng)工作不正常,因此剔除異常數(shù)據(jù)需慎重對(duì)待。注意對(duì)測(cè)量過程和測(cè)量數(shù)據(jù)的分析,盡量找出產(chǎn)生異常數(shù)據(jù)的原因,不要盲目剔除。在自然界,有時(shí)一個(gè)異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn),可能意味著一個(gè)重大的發(fā)明。

④一個(gè)可疑數(shù)據(jù)是否被剔除,與我們給定的置信概率的大小或者說對(duì)應(yīng)的置信系數(shù)的大小有關(guān)。當(dāng)置信概率給定得過小時(shí),有可能把正常測(cè)量值當(dāng)成異常數(shù)據(jù)來剔除,如圖2－8中x1;當(dāng)置信概率給定得過大時(shí),又可能將異常數(shù)據(jù)判別不出來,如圖2－8中x2。所以在測(cè)量中,設(shè)法提高測(cè)量的精密度,即設(shè)法減小測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差,將有利于對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的判別。

例2－8對(duì)某電壓進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量,所得結(jié)果列于表2－5,試檢查測(cè)量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差(異常數(shù)據(jù))。

2.防止和消除粗大誤差的方法

對(duì)粗大誤差,除了設(shè)法從測(cè)量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和鑒別并加以剔除外,更重要的是要加強(qiáng)測(cè)量者的工作責(zé)任心,要以嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度對(duì)待測(cè)量工作。發(fā)現(xiàn)可疑數(shù)據(jù)后,首先要對(duì)測(cè)量過程進(jìn)行分析,是否有外界干擾(如電力網(wǎng)電壓的突然跳變、雷電、強(qiáng)的電磁場(chǎng)等),要慎重對(duì)待可疑數(shù)據(jù);其次,可以在等精度條件下增加測(cè)量次數(shù),或采用不等精度測(cè)量和互相之間進(jìn)行校核的方法。例如,對(duì)某一被測(cè)量,可由兩位測(cè)量人員進(jìn)行測(cè)量、讀數(shù)和記錄;或者用兩種不同儀器,或兩種不同方法進(jìn)行測(cè)量。在測(cè)量過程中,盡量保證測(cè)量條件的穩(wěn)定,避免在外界條件激烈變化時(shí)進(jìn)行測(cè)量。

2.4測(cè)量誤差的合成與分配

在測(cè)量中通?？梢杂孟到y(tǒng)誤差ε及隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ來反映測(cè)量結(jié)果的正確度和精密程度。在國(guó)際通用計(jì)量學(xué)術(shù)語中,用測(cè)量不確定度來表征被測(cè)量之值可能的分散程度,即測(cè)量結(jié)果的誤差大小。但是,在實(shí)際測(cè)量中,誤差常常來源于很多方面。

在測(cè)量工作中,常常需要從以下兩個(gè)方面考慮總誤差與分項(xiàng)誤差的關(guān)系:一方面如何根據(jù)各分項(xiàng)誤差來分析總誤差,即誤差合成問題;另一方面,當(dāng)技術(shù)上將某量的總誤差限定在一定范圍后,如何確定各分項(xiàng)誤差的數(shù)值,即誤差的分配問題。正確地解決這兩個(gè)問題可以指導(dǎo)我們?cè)O(shè)計(jì)出最佳的測(cè)量方案,在注意測(cè)量經(jīng)濟(jì)、簡(jiǎn)便的同時(shí),提高測(cè)量的準(zhǔn)確度,使測(cè)量總誤差降低到最小。

2.4.1測(cè)量誤差的合成

1.誤差傳遞公式

誤差的合成是研究如何根據(jù)分項(xiàng)誤差求總誤差的問題。分項(xiàng)與總項(xiàng)的函數(shù)關(guān)系是各種各樣的,例如可以是和差關(guān)系、積商關(guān)系、乘開方關(guān)系、指數(shù)對(duì)數(shù)關(guān)系等,這里我們不按具體情況一一進(jìn)行討論,而只給出一個(gè)普遍適用的公式———誤差傳遞公式。

同理,當(dāng)某量y由m個(gè)分項(xiàng)合成時(shí),可得

2.常見幾種函數(shù)關(guān)系的誤差合成

對(duì)于積、商或冪的函數(shù)關(guān)系,可以根據(jù)其誤差合成關(guān)系的特點(diǎn),直接采用相對(duì)誤差合成的方法,舉例如下。

3.系統(tǒng)誤差的合成

由誤差傳遞公式很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。

一般來說各分項(xiàng)誤差Δx由系統(tǒng)誤差ε及隨機(jī)誤差δ構(gòu)成,即

若測(cè)量中各隨機(jī)誤差可以忽略,則總和的系統(tǒng)誤差εy可由各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差合成,即

若ε1,ε2,…,εm為確定性系統(tǒng)誤差,則可由上式直接求出總的系統(tǒng)誤差。至于各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差不能確定的情況,將放在測(cè)量不確定度的合成中討論。

4.隨機(jī)誤差的合成

式(2－44)已給出

若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零,則可求得總的隨機(jī)誤差

將上式兩邊平方,有

當(dāng)進(jìn)行了n次測(cè)量,對(duì)上式由i=1~n求和,則

比較式(2－45)及式(2－46)可見,確定性誤差是按代數(shù)形式合成起來的,而隨機(jī)誤差是按幾何形式合成起來的,幾何合成法又叫均方根合成法或方和根合成法。

需要說明的是:式(2－38)、式(2－45)及式(2－46)常用在設(shè)計(jì)階段對(duì)傳感器、測(cè)量系統(tǒng)及儀器等的誤差所進(jìn)行的基本分析與計(jì)算中,以便采取減少誤差的相應(yīng)措施。更嚴(yán)格和更科學(xué)的計(jì)算誤差合成的方法是在測(cè)量不確定度理論中測(cè)量不確定度的合成,相關(guān)理論將在下面的內(nèi)容中討論。

2.4.2測(cè)量不確定度及合成

不確定度用來表示由于測(cè)量誤差的影響而對(duì)測(cè)量結(jié)果的不可信程度或有效性的懷疑程度,即不能具體肯定的程度。它反映了測(cè)量值的分散程度,是定量說明測(cè)量系統(tǒng)(結(jié)果)質(zhì)量的一個(gè)參數(shù),也是建立在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)上的新概念。

不確定度反映了測(cè)量值在某個(gè)區(qū)域內(nèi)以一定的概率分布,當(dāng)然,這個(gè)分布區(qū)域需要一定的技術(shù)措施來分析與確定,一般是通過一定的方法進(jìn)行估算與評(píng)定。

1.不確定度的定義和分類

不確定度是說明測(cè)量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)。這個(gè)參數(shù)用標(biāo)準(zhǔn)偏差s表示,也可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)ks或具有某置信概率P(例如P=95%或99%)的置信區(qū)間的半寬度表示。根據(jù)計(jì)算及表示方法的不同,不確定度有以下幾種描述:

(1)標(biāo)準(zhǔn)不確定度:用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度,用符號(hào)u表示。測(cè)量不確定度往往由多個(gè)分量組成,對(duì)每個(gè)不確定度來源評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差,稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量,用ui表示。標(biāo)準(zhǔn)不確定度有兩類評(píng)定方法:A類評(píng)定和B類評(píng)定。

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度,用符號(hào)uA表示。

②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度,即根據(jù)資料或假設(shè)的概率分布估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度,用符號(hào)uB表示。

A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度僅僅是評(píng)定方法不同,并不是不確定度性質(zhì)上的分類,即A類和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度并不能表示成“隨機(jī)”和“系統(tǒng)”不確定度。

(2)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度:由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,用符號(hào)uC表示。例如,當(dāng)間接測(cè)量時(shí),測(cè)量結(jié)果會(huì)受若干因素的影響。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差,表示測(cè)量結(jié)果的分散性。

(3)擴(kuò)展不確定度:由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測(cè)量不確定度,即用包含因子k乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到的一個(gè)區(qū)間半寬度,用符號(hào)U表示。包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。擴(kuò)展不確定度確定了測(cè)量結(jié)果附近的一個(gè)置信區(qū)間,被測(cè)量的值落在該區(qū)間內(nèi)的概率是較高的。通常測(cè)量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度來表示。

當(dāng)說明具有置信水平為P的擴(kuò)展不確定度時(shí),可用UP表示,此時(shí)包含因子可用kP表示。例如U95表示測(cè)量結(jié)果落在以U為半寬度區(qū)間的概率為95%。

U和uC單獨(dú)定量表示時(shí),數(shù)值前可不加正負(fù)號(hào)。注意,測(cè)量不確定度也可以用相對(duì)形式表示。綜上所述,測(cè)量不確定度的分類如圖2－12所示。圖2－12測(cè)量不確定度的分類

2.不確定度的來源

測(cè)量不確定度來源于以下幾個(gè)因素:

(1)被測(cè)量定義得不完善,即實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想,或被測(cè)量樣本不能代表所定義的被測(cè)量。

(2)測(cè)量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。

(3)測(cè)量環(huán)境的不完善對(duì)測(cè)量過程的影響以及測(cè)量人員技術(shù)水平等影響。

(4)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度,在數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度,以及在測(cè)量過程中引入的近似值的影響。

(5)在相同條件下,由隨機(jī)因素所引起的被測(cè)量本身的不穩(wěn)定性。

3.誤差與不確定度的區(qū)別

A類或B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度是表示兩種不同的評(píng)定方法,與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是表示兩種不同性質(zhì)的誤差,測(cè)量不確定度評(píng)定時(shí)一般不必區(qū)分其性質(zhì)。在需要區(qū)分不確定度性質(zhì)的情況下,可用“由隨機(jī)影響引起的不確定度分量”和“由系統(tǒng)影響引起的不確定度分量”兩種表示方法。這兩種表述方法不表明不確定度分量用什么方法評(píng)定,即不確定度分量既可能用A類也可能用B類評(píng)定方法得到,性質(zhì)與評(píng)定方法間沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4.不確定度的評(píng)定方法

例2－11某校準(zhǔn)證書說明的標(biāo)稱值為10Ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs的電阻值,在23℃時(shí)為(10.000742±0.000129)Ω,且其不確定度區(qū)間具有99%的置信水平。求解電阻的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

解由校準(zhǔn)證書的信息已知α=129μΩ,P=0.99,假設(shè)為正態(tài)分布,查附錄中附表2得k=2.58。

3)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度由各分量不確定度合成得到,用uC表示,各分量不確定度可能由A類評(píng)定得到,也可能由B類評(píng)定得到。計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的公式稱為測(cè)量不確定度傳遞律(或傳播律)。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差,表示測(cè)量結(jié)果的分散性;合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度,用veff表示,它表明所評(píng)定的uC的可靠程度。測(cè)量不確定度傳遞律(或傳播律)可以理解為誤差理論中的間接測(cè)量誤差的傳遞律。

(3)不確定度分量的忽略。一切不確定度分量均貢獻(xiàn)于合成不確定度,即只會(huì)使合成不確定度增加。忽略任何一個(gè)分量,都會(huì)導(dǎo)致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差,當(dāng)某些分量小到一定程度后。對(duì)合成不確定度實(shí)際上起不到什么作用,為簡(jiǎn)化分析與計(jì)算,就可以忽略不計(jì)。例如,忽略某些分量后,對(duì)合成不確定度的影響不足十分之一,則可根據(jù)實(shí)際情況決定是否忽略這些分量。

4)擴(kuò)展不確定度的確定方法

擴(kuò)展不確定度U由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC與置信因子k的乘積得到:

測(cè)量結(jié)果可表示為Y=y±U,y是被測(cè)量Y的最佳估計(jì)值。被測(cè)量Y的可能值以較高的概率落在區(qū)間[y-U,y+U]內(nèi)。置信因子是根據(jù)所確定區(qū)間需要的置信概率選取的。

置信因子的選取方法有以下幾種:

(1)如果無法得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度,且測(cè)量值接近正態(tài)分布,則一般取k的典型值為2或3。通常在工程應(yīng)用時(shí),按慣例取k=3。

(2)根據(jù)測(cè)量值的分布規(guī)律和所要求的置信水平,選取k值。例如,假設(shè)為均勻分布時(shí),置信水平P=0.95,查表2－6得k=1.65。

(3)如果uC(y)的自由度較小,并要求區(qū)間具有規(guī)定的置信水平,求置信因子的方法如下:

2.4.3誤差分配及最佳測(cè)量方案

1.誤差分配

如果說上面討論的由各分項(xiàng)誤差合成總誤差是誤差傳播的正問題,那么給定總誤差后,如何將這個(gè)總誤差分配給各分項(xiàng),即對(duì)各分項(xiàng)誤差應(yīng)提出什么要求,就可以說是誤差傳播的反問題。這種制定誤差分配方案的工作是經(jīng)常會(huì)遇到的,但是當(dāng)總誤差給定后,由于存在多個(gè)分項(xiàng),所以從理論上來說誤差分配方案可以有無窮多種,因此只可能在某些前提下進(jìn)行分配。下面介紹一些常見的誤差分配原則。

2)等作用分配

等作用分配是指分配給各項(xiàng)的誤差在數(shù)值上雖然不一定相等,但它們對(duì)測(cè)量誤差總和的作用或者說對(duì)總和的影響是相同的,即

由式(2－45)及式(2－46)可求出應(yīng)分配給各分項(xiàng)的誤差:

3)抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配

當(dāng)各分項(xiàng)誤差中第k項(xiàng)誤差特別大時(shí),按照微小誤差準(zhǔn)則,若其它項(xiàng)對(duì)總和的影響可以忽略,這時(shí)就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差分配問題,只要保證主要項(xiàng)的誤差小于總和的誤差即可。即當(dāng)

時(shí),就可以只考慮主要項(xiàng)的影響,即

主要誤差項(xiàng)也可以是若干項(xiàng),這時(shí)可把誤差在這幾個(gè)主要誤差項(xiàng)中分配,對(duì)影響較小的次要誤差項(xiàng)則可不予考慮或酌情分給少量誤差比例。

2.最佳測(cè)量方案的選擇

對(duì)于實(shí)際測(cè)量,我們通常希望測(cè)量的準(zhǔn)確度越高越好,即誤差的總和越小越好。所謂測(cè)量的最佳方案,從誤差的角度看就是要做到

當(dāng)然,若能使上述和式中每一項(xiàng)都能達(dá)到最小,總誤差就會(huì)最小。有時(shí)通過選擇合適的測(cè)量點(diǎn)能滿足這一要求,但是通常各分項(xiàng)誤差εj及σ(xj)受到一些客觀條件的限定,所以選擇最佳方案的方法一般只是根據(jù)現(xiàn)有條件,了解各分項(xiàng)誤差可能達(dá)到的最小數(shù)值,然后比較各種可能的方案,選擇合成誤差最小者作為現(xiàn)有條件的“最佳”方案。

由前述誤差傳遞公式可知,要使測(cè)量誤差最小可以從以下兩方面考慮:

(1)選擇最有利的函數(shù)公式。一般情況下,直接測(cè)量的項(xiàng)數(shù)愈少,則合成誤差也會(huì)愈小。所以在間接測(cè)量中,如果可由不同的函數(shù)公式來表示,則應(yīng)優(yōu)先選取包含測(cè)量值數(shù)目最少的函數(shù)公式來表示;若不同的函數(shù)公式所包含的測(cè)量值數(shù)目相同,則應(yīng)選取分項(xiàng)誤差對(duì)總項(xiàng)影響較小的函數(shù)公式。

(2)使各個(gè)測(cè)量分量的誤差對(duì)總函數(shù)的靈敏系數(shù)最小。由函數(shù)誤差關(guān)系式可知,若使分項(xiàng)誤差靈敏系數(shù)Ci最小,則合成誤差可相應(yīng)減小。根據(jù)這個(gè)原則,合理地選擇測(cè)量方案及函數(shù)關(guān)系式,盡量使各項(xiàng)誤差靈敏度系數(shù)Ci=?y/?xi最小,可有效降低各分項(xiàng)對(duì)總誤差的影響。

以上是從誤差方面考慮的最佳測(cè)量方案的選擇,實(shí)際測(cè)量中的最佳方案,除了要考慮誤差大小外,還要從測(cè)量的經(jīng)濟(jì)性、可靠性及操作的方便性等方面綜合考慮。

2.5測(cè)量數(shù)據(jù)處理

通過實(shí)際測(cè)量取得測(cè)量數(shù)據(jù)后,通常還要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算、分析、整理,有時(shí)還要把數(shù)據(jù)歸納成一定的表達(dá)式或畫成表格、曲線等,也就是要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是建立在誤差分析的基礎(chǔ)上的。在數(shù)據(jù)處理過程中要進(jìn)行去粗取精、去偽存真的工作,并通過分析、整理引出正確的科學(xué)結(jié)論,這些結(jié)論還要在實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)。

從上述定義可看出:有效數(shù)字是和測(cè)量的準(zhǔn)確度密切相關(guān)的,它所隱含的極限(絕對(duì))誤差不超過有效數(shù)字末位的半個(gè)單位。例如:

3.142:四位有效數(shù)字,極限誤差≤0.0005;

8.700:四位有效數(shù)字,極限誤差≤0.0005;

8.7×103:二位有效數(shù)字,極限誤差≤0.05×103;

0.0807:三位有效數(shù)字,極限誤差≤0.00005。

值得注意的是,舍入處理后的近似數(shù),中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字,不能隨意添加也不能隨意取舍。多寫則夸大了測(cè)量準(zhǔn)確度,少寫則夸大了誤差。但開頭的零不是有效數(shù)字,因?yàn)樗鼈儍H與選取的測(cè)量單位有關(guān)。

對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)的絕對(duì)值比較大(或比較小),而核心數(shù)據(jù)尾數(shù)又比較少的測(cè)量數(shù)據(jù),通常采用核心數(shù)據(jù)與底數(shù)為十的冪指數(shù)相乘的方式表示,如a×10n。當(dāng)然,其誤差大小由a的末位與冪指數(shù)共同決定。

測(cè)量結(jié)果(或讀數(shù))的有效位數(shù)應(yīng)由該測(cè)量的不確定度來確定,即測(cè)量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對(duì)齊。例如,某物理量的測(cè)量結(jié)果值為63.44,測(cè)量擴(kuò)展不確定度U=0.4,則根據(jù)上述原則,該測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)應(yīng)保留到小數(shù)后一位即63.4,測(cè)量結(jié)果表示為63.4±0.4。

2.數(shù)字舍入規(guī)則

為了使測(cè)量結(jié)果的表示準(zhǔn)確、唯一和計(jì)算方便,在數(shù)據(jù)處理時(shí),需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行舍入處理。當(dāng)需要n位有效數(shù)字時(shí),對(duì)超過n位的數(shù)字就要根據(jù)舍入規(guī)則進(jìn)行處理。數(shù)據(jù)舍入規(guī)則:

(1)小于5舍去,即舍去部分的數(shù)值小于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí),末位不變。

(2)大于5進(jìn)1,即舍去部分的數(shù)值大于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí),在末位增1。

(3)等于5時(shí),取偶數(shù),即舍去部分的數(shù)值恰好等于所保留末位的0.5個(gè)單位,則當(dāng)末位是偶數(shù)時(shí),末位不變;末位是奇數(shù)時(shí),在末位增1(將末位湊為偶數(shù))。

3.近似運(yùn)算規(guī)則

當(dāng)需要對(duì)幾個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí),要考慮有效數(shù)字保留多少位的問題,以便不使運(yùn)算過于麻煩而又能正確反映測(cè)量的準(zhǔn)確度。保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。

(1)加法運(yùn)算:以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)(若各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn),則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)),其余各數(shù)可多取一位。例如:

(2)減法運(yùn)算:當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí),原則同加法運(yùn)算;當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí),有可能造成很大的相對(duì)誤差,因此,第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法,第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

(3)乘除法運(yùn)算:以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn),其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如:

(4)乘方、開方運(yùn)算:運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如:

2.5.2測(cè)量結(jié)果的處理

1.等精度測(cè)量

當(dāng)對(duì)某一量進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí),測(cè)量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差,為了給出正確合理的結(jié)果,應(yīng)按下述基本步驟對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理

例2－14對(duì)某溫度進(jìn)行了16次等精度測(cè)量,測(cè)量數(shù)據(jù)列于表2－7中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。圖2－13殘差圖

2.不等精度測(cè)量

前面所討論的測(cè)量結(jié)果的計(jì)算都是基于等精度測(cè)量條件的,即在相同地點(diǎn)用相同的測(cè)量方法和相同的測(cè)量設(shè)備,由相同的測(cè)量人員在相同環(huán)境條件(溫度、濕度、干擾等)下短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量。若在測(cè)量條件不相同的情況下進(jìn)行測(cè)量,則測(cè)量結(jié)果的精密度將不相同,這樣的測(cè)量稱為不等精度測(cè)量。例如,用不同精度的儀器進(jìn)行對(duì)比,顯然所得到的測(cè)量結(jié)果不會(huì)相同。那么怎樣對(duì)待及處理不等精度測(cè)量的結(jié)果呢?

1)不等精度測(cè)量中權(quán)的概念和定義

在等精度測(cè)量中,各個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差是相同的,可以認(rèn)為是同樣可靠的,并取所有測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中,各測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差不相同,即各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣,因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果,應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后的結(jié)果中占的比重大一些,可靠程度小的占的比重小一些。為此引入了權(quán)的概念,即各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示,此數(shù)值就稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”,記為W。測(cè)量結(jié)果的權(quán)可理解為:當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí),對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予的信賴程度。

由于測(cè)量數(shù)值xj的可靠度越高,標(biāo)準(zhǔn)偏差σj越小,所以定義權(quán)Wj為

即權(quán)值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。式中,λ為任意常數(shù),由λ=Wjσ2j可知,當(dāng)Wj=1即為單位權(quán)時(shí),λ的數(shù)值恰為σ2j,因此,λ可以看成是單位權(quán)的方差。在討論一列非等精度測(cè)量值時(shí),若λ增大或減小某固定倍數(shù),各測(cè)量值的權(quán)將同時(shí)增大或減小若干倍,但各測(cè)量值之間權(quán)的比值不變,因而不影響問題的討論。

2.5.3最小二乘法與回歸分析

1.最小二乘法原理

在電子系統(tǒng)中,大量存在變量y與變量x是函數(shù)關(guān)系的情況,同時(shí)在函數(shù)關(guān)系中,常常還包含有若干個(gè)常數(shù)參量α、β等,即

式中常數(shù)參量α、β等有時(shí)并不知道,需要通過測(cè)量手段來確定。在上式函數(shù)類型已知的情況下,如果有n個(gè)未知參數(shù),若測(cè)量過程中不包含有誤差,則只要對(duì)應(yīng)n個(gè)不同的xi值,測(cè)量出n個(gè)相應(yīng)的yi值,就可以用聯(lián)立方程的方式求出這n個(gè)未知參數(shù)α、β、…。例如已知y=α+βx,式中α、β為兩個(gè)未知參數(shù),則對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的x值測(cè)出相應(yīng)的兩個(gè)y值,就可以用聯(lián)立方程

解出α和β的數(shù)值。圖2－14最大似然估計(jì)中所用的殘差

2.曲線擬合與回歸分析

在自然科學(xué)中,實(shí)際上很多量之間并沒有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,而只是存在一種不完全確定的相關(guān)關(guān)系。例如電池電壓隨時(shí)間的改變、晶體三極管的電流放大系數(shù)隨溫度的變化等,這種相關(guān)關(guān)系并不能完全從理論上用一個(gè)嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系式限定,但又確實(shí)存在一定的關(guān)聯(lián),而不是毫不相干。這種相關(guān)關(guān)系也可以用一個(gè)表達(dá)式來近似地描述。為了尋找表達(dá)式中變量y和x之間的關(guān)系,人們常常通過實(shí)測(cè)的方法對(duì)不同的x值測(cè)出相應(yīng)的y值,然后根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)畫出y與x之間的關(guān)系曲線。

在測(cè)試過程中,雖然經(jīng)常令x為可以控制或可以精確觀察的量,但是由于隨機(jī)誤差的影響,通常會(huì)使y值變成一個(gè)隨機(jī)變量。這樣測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)x1、y1,x2、y2,…,xn、yn就往往不在一條光滑的曲線上,如圖2－15所示。若把各測(cè)量值直接連成一條條波動(dòng)的折線顯然是不恰當(dāng)?shù)?因?yàn)樗环蟳與x之間關(guān)系的客觀規(guī)律。

那么應(yīng)該用一條什么樣的曲線或者說用一個(gè)什么表達(dá)式來描述y與x之間的關(guān)系才合適呢?這就是曲線的擬合或修勻問題。在要求不太高的情況下,人們常根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)畫一條平滑曲線,使測(cè)量數(shù)據(jù)大體上在這條平滑曲線兩側(cè)均勻分布。但是即使對(duì)同一組數(shù)據(jù),不同人畫出的曲線也是不同的。例如對(duì)圖2－15中的測(cè)量數(shù)據(jù),就可能畫出a、b、c等多種曲線。圖2－15根據(jù)測(cè)量結(jié)果擬合曲線

根據(jù)一組測(cè)量數(shù)據(jù),用最小二乘法找到的回歸方程的參數(shù),只是依賴于樣本的一種估計(jì)值,分析結(jié)果受抽樣誤差或者說測(cè)量誤差的影響,這樣的回歸方程應(yīng)叫樣本回歸方程。為討論簡(jiǎn)單起見,仍稱它為回歸方程。

根據(jù)一組測(cè)量數(shù)據(jù)求回歸方程的具體方法主要包括下面兩個(gè)方面:

(1)確定數(shù)學(xué)表達(dá)式即回歸方程的類型;

(2)確定回歸方程中常參數(shù)及常數(shù)項(xiàng)α、β等的數(shù)值。

回歸方程的類型通常要根據(jù)專業(yè)知識(shí)來選擇,當(dāng)從理論上不能確定函數(shù)曲線應(yīng)屬于哪種形式時(shí),可參閱表2－8中幾種常見曲線的函數(shù)形式,選擇與實(shí)測(cè)結(jié)果相近的形式。在能同時(shí)用幾種曲線來近似的情況下,可比較各種方法近似后的殘差,取其殘差平方和最小者,并力求函數(shù)關(guān)系式不要過于復(fù)雜,以節(jié)省計(jì)算工作量。當(dāng)找不到相近的函數(shù)關(guān)系式時(shí),還可以用冪級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)

去逼近。只要在所討論的范圍內(nèi)冪級(jí)數(shù)是收斂的,這種逼近就是允許的。

在選定了回歸方程的形式以后,主要任務(wù)就根據(jù)各點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù),利用最小二乘法的關(guān)系式來估計(jì)方程式中的未知參數(shù)。對(duì)于等精度測(cè)量,各點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)應(yīng)滿足

因此,解下面的聯(lián)立方程就可以求出α、β等的估計(jì)值

由于實(shí)際中大量存在的是線性關(guān)系,特別是在小范圍內(nèi),非線性關(guān)系又可以近似為線性關(guān)系,所以回歸方程的一個(gè)常見特例就是估計(jì)線性回歸方程中的參數(shù),即求關(guān)系式y(tǒng)=α+βx中α、β的情況。這樣式(2－68)的方程組就成為兩項(xiàng),即

解得

上式求線性回歸方程中參數(shù)α、β的方法是很有用的,有些高等級(jí)的計(jì)算器還配有用上式求α、β的程序。

例2－18根據(jù)表2－9中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用回歸分析法求x與y間的近似關(guān)系式。

解將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)于圖2－16上,由圖可見y與x的關(guān)系近似于一條直線。選取回歸方程的類型為y=α+βx,式中包括兩個(gè)待估計(jì)的常數(shù)α及β。

將題中數(shù)據(jù)代入式(269),求得α=2.66,β=0.422,則可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式為

y=2.66+0.422x

將這個(gè)關(guān)系式畫于圖2－16中,可以看出,此直線很好地逼近了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。圖2－16實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與回歸分析結(jié)果

對(duì)某些非線性關(guān)系,也常?？梢酝ㄟ^一些變換將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系來計(jì)算。這樣就可以直接利用式(2－69)求線性關(guān)系中的參數(shù)α、β,然后將關(guān)系式經(jīng)過反變換,找出非線性關(guān)系的表達(dá)式。幾種常見曲線的函數(shù)形式所對(duì)應(yīng)直線方程的轉(zhuǎn)換見表2－8。