平行四邊形的對角線性質湘教·八年級下冊平行四邊形的對邊相等，平行四邊形的對角相等.平行四邊形的兩條對角線有什么性質呢？新課導入

如圖，已知ABCD兩條對角線AC

與BD相交于點O，比較OA

，OC

，OB，OD

的長度，有哪些線段相等？你能做出什么猜測？點擊打開猜想：OA=OC，OB=OD如何證明證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥

DC，AB=DC；∴∠1=∠2，∠3=∠4；∴△OAB≌△OCD；∴

OA=OC，OB=OD．平行四邊形的對角線互相平分.如圖，在□ABCD

中，對角線AC與BD相交于點O，AC=6，BD=10，CD=4.8.試求△COD的周長.【教材P43】∴∵AC，BD為平行四邊形ABCD的對角線，解又∵CD=4.8，∴△COD的周長為3+5+4.8=12.8.如圖，在□ABCD中，對角線AC

與BD相交于點O，過點O的直線MN分別交AD，BC于點M，N.求證：點O

是線段MN

的中點.【教材P43】證明∵AC，BD為□ABCD的對角線，且相交于點O，∴OA=OC.∵AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴△AOM≌△CON.∴OM=ON.∴點O是線段MN的中點.我們證明了平行四邊形具有以下性質：（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分.歸納小結練習1.如圖，在□

ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm.

（1）求△AOD的周長；（2）△ABC與△BCD的周長哪個長？長多少？【教材P44】解:（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC.又∵BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，∴OA=4cm，OD=7cm，AD=10cm.∴△AOD的周長為OA+OD+AD=4+7+10=21(cm).∴△AOD的周長為21cm.（2）∵△ABC的周長=AB+BC+AC，△BCD的周長=BD+CD+BC，又∵AB=CD，∴△BCD的周長－△ABC的周長=BD－AC=14－8=6(cm).∴△BCD的周長長，△BCD的周長比△ABC的周長長6cm.2.平行四邊形一條對角線的兩個端點到另一條

對角線的距離相等嗎？為什么？【教材P44】相等.證明：如右圖所示，在□ABCD中，DM⊥AC于點M，BN⊥AC于點N.∵AC，BD為□ABCD的對角線，且相交于點O，∴OB=OD.又∠AOD=∠COB，∠DMO=∠BNO=90°，∴Rt△DOM

≌

Rt△BON.∴DM=BN.MN隨堂練習1.（河南中考）如圖,□ABCD

的對角線AC

與

BD相交于點O,AB⊥AC．若AB

＝4,AC

＝6,則BD

的

長是（）A．8

B．9

C．10

D．11C2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,O

是兩條對角線的交點,BD⊥AD,AD

＝12,AB

＝13,求BC,CD

及OB

的長．解:∵四邊形ABCD

是平行四邊形,∴BC＝AD

＝12,CD

＝AB＝13,OB＝BD

．∵BD⊥AD,3.如圖,已知□ABCD的對角線相交于點O,過點O作直線EF

分別交BA,DC

的延長線于點E,F．求證:OE＝OF．證明:∵四邊形ABCD

是平行四邊形,∴OA＝OC,DF∥EB．∴∠E＝∠F．∴△OAE≌△OCF(AAS)．∴OE

＝OF．在△OAE

和△OCF