可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(P84)8.如果y=f(x)于x處可導(dǎo)，則y=f(x)在該點必連續(xù)。但反之不然.例3:y=

x

于(-

,+

)連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)。如果f

(x0)=,則f(x)在點M(x0,f(x0))處有垂直于x軸的切線:x＝x0

.7.點M作直線運動,運動規(guī)律為:s=s(t),則在時刻t0時的瞬時速度(s對t的變化率):v(t0)=s

(t0).oxyy=

x

2/18/20251可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(P84)8.如果y=f(x)于x處可導(dǎo)，則y=f(x)在該點必連續(xù)。但反之不然.例3:y=

x

于(-

,+

)連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)。oxyy=

x

例4:y=于(-

,+

)連續(xù)，但y

=，即在x=0不可導(dǎo)。2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(P84)8.如果y=f(x)于x處可導(dǎo)，則y=f(x)在該點必連續(xù)。但反之不然.例3:y=

x

于(-

,+

)連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)。oxyy=

x

例4:y=于(-

,+

)連續(xù)，但y

=，即在x=0不可導(dǎo)。oxyy=3求導(dǎo)法則(P86)二、四則運算法則：1o[u(x)

v(x)]

=u(x)

v(x)

;法則1o,2o可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)。2o[u(x)·v(x)]

=u(x)

v(x)+v(x)

u(x);3o[]

=，(v(x)

0)。

u(x)——

v(x)

u(x)

v(x)-v(x)

u(x)—————————

v2(x)

特例:[]

=。1——

v(x)

-v(x)

———

v2(x)設(shè)u=u(x),v=v(x)于x處可導(dǎo),則特例:[c·u(x)]

=c·u(x)

(x為常數(shù));5舉例(P88)例1：y=x3+4sinx-7-cos

,求y

及y

x=

。解：y

=(x3)

+4(sinx)

-(7)

-(cos

)

=3x2

=3x2+4cosx

y

x=

=3

2-4

(x3)

=3x2(sinx)

=cosxc

=0+4cosx

-0

-0

法則1o,2o可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)。特例:[]

=。1——

v(x)

-v(x)

———

v2(x)3o[]

=，(v(x)

0)。

u(x)——

v(x)

u(x)

v(x)-v(x)

u(x)—————————

v2(x)

6舉例(P88)例1：y=x3+4sinx-7-cos

,求y

及y

x=

。解：y

=(x3)

+4(sinx)

-(7)

-(cos

)

=3x2

=3x2+4cosx

y

x=

=3

2-4

(x3)

=3x2(sinx)

=cosxc

=0(ex)

=ex

(cosx)

=-sinx例2：y=exsinx,求y

。解：y

=(ex)

sinx+(sinx)

ex=exsinx+

excosx若：y=ex(sinx+cosx)則：y

=(ex)

(sinx+cosx)+(sinx+cosx)

ex=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx+4cosx

-0

-0

7舉例(P88)例2：y=exsinx,求y

。解：y

=(ex)

sinx+(sinx)

ex=exsinx+

excosx若：y=ex(sinx+cosx)則：y

=(ex)

(sinx+cosx)+(sinx+cosx)

ex=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx若：y=2x·ex·sinx則：y

=(2x)

·ex·sinx=2ex·sinx+2x·ex·sinx+2x·ex·cosx+2x·(ex)

·sinx+2x·ex·(sinx)

8舉例(P88)例3：y=tanx

求y

解：y

[]

=

u

—

v

u

v

-v

u

————

v2

sinx

=——

cosx

(sinx)

cosx-(cosx)

sinx=——————————

(cosx)2

cosx·cosx+sinx·sinx=—————————

(cosx)2

1=———

(cosx)2=sec2x若：y=2x·ex·sinx=2ex·sinx+2x·ex·sinx+2x·ex·cosx則：y

=(2x)

·ex·sinx+2x·(ex)

·sinx+2x·ex·(sinx)

9舉例(P88)例4：y=secx

求y

解：y

1

=——

cosx

-(cosx)

=————

(cosx)2

[]

=

1—

v

-v

——

v2

=secx·tanx

sinx=———

(cosx)2類似可得:(cotx)

=-csc2x

(cscx)

=-cscx·cotx

例3：y=tanx

求y

解：y

sinx

=——

cosx

=sec2x

[]

=

u

—

v

u

v

-v

u

————

v2

(sinx)

cosx-(cosx)

sinx=——————————

(cosx)2

cosx·cosx+sinx·sinx=—————————

(cosx)2

1=———

(cosx)210求導(dǎo)法則(P89)三、反函數(shù)求導(dǎo)法則:[

f

-1(x)]

=

1

–––––

f

(y)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的倒函數(shù)如果x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且f

(y)

0,則它的反函數(shù)y=f

-1(x)在區(qū)間Ix={x

x=f(y),y

Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且例4：y=secx

求y

解：y

1

=——

cosx

-(cosx)

=————

(cosx)2

[]

=

1—

v

-v

——

v2

=secx·tanx

sinx=———

(cosx)2類似可得:(cotx)

=-csc2x

(cscx)

=-cscx·cotx

11求導(dǎo)法則(P89)[

f

-1(x)]

=

1

–––––

f

(y)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的倒函數(shù)例1：設(shè)x=siny

,

y[-,]為直接函數(shù)，則y=arcsinx為它的反函數(shù).

1=–––––

cosy(arcsinx)

––

2

––

2所以在對應(yīng)區(qū)間Ix=(-1,1)內(nèi)arcsinx也可導(dǎo),且:因為x=siny于Iy=(-,)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且(siny)=cosy>0,

––

2

––

2因為cosy>0,取正號.12求導(dǎo)法則(P89)例1：設(shè)x=siny

,

y[-,]為直接函數(shù)，則y=arcsinx為它的反函數(shù).

1=–––––

cosy(arcsinx)

––

2

––

2所以在對應(yīng)區(qū)間Ix=(-1,1)內(nèi)arcsinx也可導(dǎo),且:因為x=siny于Iy=(-,)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且(siny)=cosy>0,

––

2

––

2因為cosy>0,取正號.(arcsinx)

(arccosx)

(arctanx)

(arccotx)

類似可得13求導(dǎo)法則(P91)四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果u=g(x)在點x處可導(dǎo),y=f(u)在點u=g(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點x處也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：=f

(u)·g

(x)dy

——

dx

法則可以推廣到有限步可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合。dy

=——

du

du

·——

dx

(arcsinx)

(arccosx)

(arctanx)

(arccotx)

類似可得14求導(dǎo)法則(P91)四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果u=g(x)在點x處可導(dǎo),y=f(u)在點u=g(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點x處也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：=f

(u)·g

(x)dy

——

dx

法則可以推廣到有限步可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合。如果y=f(u)，u=g(t)，t=h(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(h(x))]可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：dy

——

dx

=f

(u)·g

(t)·

h

(x)dy

=——

du

du

·——

dx

15舉例(P92)例1：y=ex3,求y

。解：令y=eu,

u=x3,例2：y=lnsinx,求y

。解：y

=(lnsinx)

dy

——

dx

則dy

＝——

du

du

——

dx

=eu3x2

=3x2ex3(sinx)

1

＝——

sinx

cosx

＝——

sinx

=cotx如果y=f(u)，u=g(t)，t=h(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(h(x))]可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：dy

——

dx

=f

(u)·g

(t)·

h

(x)16舉例(P92)例1：y=ex3,求y

。解：令y=eu,

u=x3,例2：y=lnsinx,求y

。解：y

=(lnsinx)

dy

——

dx

則dy

＝——

du

du

——

dx

=eu3x2

=3x2ex3(sinx)

1

＝——

sinx

cosx

＝——

sinx

=cotx例3：y=lncos(ex),求y

。解：y

1

＝———

cos(ex)(cos(ex))

-sin(ex)＝————

cos(ex)(ex)

-exsin(ex)＝————

cos(ex)=-extan(ex).17舉例(P92)例4：y=esin

,求y

。1

—

x

解：y

=(esin)1

—

x

=·esin·cos-1

——

x2

1

—

x

1

—

x.1

—

x

(cos)-1

——

x2

()例3：y=lncos(ex),求y

。解：y

1

＝———

cos(ex)(cos(ex))

-sin(ex)＝————

cos(ex)(ex)

-exsin(ex)＝————

cos(ex)=-extan(ex).18舉例(補充)例5：y=sin(lnx+ex),求y

。解：y

=cos(lnx+ex)(+ex)1

—

x

cos(lnx+ex).=(+ex)1

—

x

例6：y=sin,求y

。2x———

1+x2

解：y

=cos2x———

1+x2

·()2(1+x2)-2x2x———————

(1+x2)2=cos2x———

1+x2.2-2x2————

(1+x2)2例4：y=esin

,求y

。1

—

x

解：y

=(esin)1

—

x

=·esin·cos-1

——

x2

1

—

x

1

—

x.1

—

x

(cos)-1

——

x2

()19舉例(補充)例7：y=ln(ln2x)+sin2x,求y

。解：y

=1

——

ln2x

(2lnx)1

—

x

+2sinx·cosx

=2

——

xlnx

+sin2x.例8：y=sinnx

·sinnx,求y

。解：y=n·cosnx·sinnx

+sinnx

·nsinn-1x·cosx例6：y=sin,求y

。2x———

1+x2

解：y

=cos2x———

1+x2

·()2(1+x2)-2x2x———————

(1+x2)2=cos2x———

1+x2.2-2x2————

(1+x2)220舉例(補充)例7：y=ln(ln2x)+sin2x,求y

。解：y

=(2lnx)+2sinx·cosx

例8：y=sinnx

·sinnx,求y

。解：y=n·cosnx·sinnx

+sinnx

·nsinn-1x·cosx例9：y=(e2x+cos2(x2))3

,求y

。解：y=3(e2x+cos2(x2))2

·(2e2x+2cos(x2)·(-sin(x2))·(2x))

=3(e2x+cos2(x2))2

·(2e2x-2x·sin2x2).

1

——

ln2x

1

—

x

2

——

xlnx

+sin2x.

=21舉例(補充)例10：y=f(esinx)

,求y

。解：令y=f(u)

,u=esinx

。則：y

=f

(u)·

u

(x)

。所以：y

=f

(u)·esinx

·cos

x=f

(esinx)·esinx

·cos

x例9：y=(e2x+cos2(x2))3

,求y

。解：y=3(e2x+cos2(x2))2

·(2e2x+2cos(x2)·(-sin(x2))·(2x))

=3(e2x+cos2(x2))2

·(2e2x-2x·sin2x2).

22舉例(補充)例11：y=x2·f

(e3x)

,求y

。解：y

=(x2)

·f

(e3x)