專題17全等三角形模型之奔馳模型對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進行轉(zhuǎn)移，以達到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化，目前學(xué)過的主要有：軸對稱，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進行變換。對于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。

今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)） 2模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)） 7模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型） 13 18模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因為旋轉(zhuǎn)的特征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點P，滿足（?？紨?shù)據(jù)：BP=3，AP=4，CP=5），結(jié)論：∠APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多線段共端點常考旋轉(zhuǎn)。例1．（23-24八年級下·廣東深圳·期中）如圖，點P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，則的度數(shù)為．

【答案】150【分析】將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的．首先證明，推出，，所以為等邊三角形，得，可得，，，，即可得到為直角三角形，則，所以；由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的．

∴，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴為直角三角形，∴，∴；故答案為：150．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，，都是等邊三角形，將繞點C旋轉(zhuǎn)，使得點A，D，E在同一直線上，連接．若，，則的長是．【答案】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意證明，即可求解．【詳解】解：，都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，．故答案為：．例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識．例5．（24-25九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）如圖，是正內(nèi)一點，，，，將線段BO以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論，①可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②點與的距離為5；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤【答案】C【分析】根據(jù)正三角形性質(zhì)，得，；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可判斷②，通過證明，即可判斷①；根據(jù)勾股定理逆定理，得，結(jié)合等邊三角形，可判斷③；根據(jù)等腰三角形三線合一和勾股定理的性質(zhì)，可計算得，從而判斷④；繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)計算，可判斷⑤，即可得到答案．【詳解】解：連接，如下圖：∵正∴，∵線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴為等邊三角形∴，即②錯誤；∵，∴和中∴∴，可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，即①正確；∵，∴∴∵為等邊三角形∴∴，即③正確；∵∴過點B做，交于點N∵為等邊三角形∴∴∴∴∴四邊形面積，即④正確；∵正∴繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：∵，，，∴為等邊三角形∴過點A做，交于點G，如下圖：∵為等邊三角形∴∴∴∴∵，，∴∴∴∴∴，即⑤正確；故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形、旋轉(zhuǎn)、全等三角形、勾股定理逆定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、等邊三角形、等腰三角形三線合一、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)，從而完成求解．模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P，滿足，結(jié)論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖，等腰直角，點P在內(nèi)，，，則PB的長為（）A． B． C．5 D．5【答案】A【分析】先利用等腰直角，得到，再證明，接著把繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則可判斷為等腰直角三角形，從而，然后計算，從而利用勾股定理計算出AE即可．【詳解】解∶∵等腰直角，∴，∵，∴，如下圖，把繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，故選∶A．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在正方形外取一點E，連接，，，過點作的垂線交于點P，若，則下列結(jié)論：①；②；③點C到直線的距離為；④其中結(jié)論正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用正方形性質(zhì)即可證明①，利用全等三角形性質(zhì)即可推出②，過點作的延長線于點，利用勾股定理求出，，再利用解直角三角形即可判斷③，利用勾股定理得到，進而得到正方形面積，即可判斷④．【詳解】解：四邊形為正方形，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；過點作的延長線于點，如圖所示，，，，，，，，，，，，故③錯誤；，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有個，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方形面積，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用．例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，，，．點P為內(nèi)一點，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時，則的面積是．

【答案】【分析】取中點O，連接，，由即可得到，再由，可得當(dāng)點P在線段上時，有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可推出，則是等邊三角形，求得的面積，根據(jù)可得．【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，，

∵，∴，∴點P在以為直徑的圓上運動，在中，，∴當(dāng)點P在線段上時，有最小值，∵點O是的中點，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠綜合應(yīng)用各種性質(zhì)解題．例4．（2024·河北·?？家荒＃┤鐖D1，在正方形內(nèi)有一點P，，，，求的度數(shù)．【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到了（如圖2），然后連結(jié)PP'．【解決問題】請你通過計算求出圖2中的度數(shù)；【比類問題】如圖3，若在正六邊形內(nèi)有一點P，且，，．（1）的度數(shù)為；（2）直接寫出正六邊形的邊長為．【答案】（1）；（2）；．【分析】解決問題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，然后證明得到，則；（1）仿照【分析】中的思路，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到了，連接PP'．如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，從而得出為等腰三角形，，，由，得到，可以求得，由勾股定理的逆定理就可以求出，從而得出結(jié)論；（2）延長，作于點G，在中，，就可以得出，，，則，在中，根據(jù)勾股定理得．【詳解】解決問題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，∴，，∵，，，∴，∴，∴；（1）仿照【分析】中的思路，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到了，連接PP'．如圖5，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，作于G，∴．∵，∴，∴∴，在中，∵，，，∴，，，∴∴是直角三角形，∴．∴．故答案為：（2）延長，作于點G，如圖6，在中，，∴，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得．故答案為：【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）模型1）條件：如圖1，點P在等邊三角形ABC外，若，結(jié)論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點P在等腰直角三角形ABC外，若，結(jié)論：∠APC=45°。（注意：上述兩個模型結(jié)論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP，連接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年級上·重慶·專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形外一點，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知，，；將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連，首先證明為等邊三角形，可確定，由勾股定理的逆定理可證明為直角三角形，且，然后計算的度數(shù)即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，可將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連，如下圖，∴，，，，∴為等邊三角形，∴，在中，，，，∴，∴為直角三角形，且，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、四邊形內(nèi)角和等知識，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵．例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點P為等邊三角形外一點，連接，，若，，，則的長是．

【答案】【分析】把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，可證是等邊三角形，利用證明，得出，在中，利用勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖所示：

則，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，又，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合，三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，故選D．例4．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個問題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求CD的長．”經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接DE．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請補全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．D為外一點，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于D，M為AD上一點，連接BM，N為BM上一點，若，，，連接，請直接寫出線段的長______．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3【分析】本題主要考查了三角形的綜合，靈活運用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．（1）題意補全圖形即可；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于F，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得，推出，據(jù)此求解即可；（3）延長構(gòu)造等邊三角形，然后利用兩組三角形相似求出，最后利用勾股定理求解．【詳解】解：（1）補全圖形，如圖，；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，∵，，∴，∴，∴，，由勾股定理得，，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）延長交于，延長到，使，連接，如圖，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，過作于，過作于，，，，，∵，∴，，，，，，∴．故答案為：3．1．（2024九年級·重慶·期中）如圖，在等邊內(nèi)有一點，使得，那么以，，的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為．【答案】5：3：4【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用圖形的旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，可證得是等邊三角形，從而得到，，所以就是以，，的長度為邊長的三角形，進一步求出的內(nèi)角度數(shù)，即得答案．【詳解】將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則，，，是等邊三角形，，，就是以，，的長度為邊長的三角形，，，，，，，，以，，的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為．故答案為：．2．（23-24九年級下·吉林·階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．解：如圖①，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即．請你補充完整解答過程．【應(yīng)用問題】如圖②，在正方形內(nèi)有一點，若，，，則．【拓展問題】如圖③，在正方形中，對角線，相交于點，在直線上方（包括直線）有一點，，，連接，則線段的最大值為．【答案】發(fā)現(xiàn)問題：，應(yīng)用問題：，拓展問題：【分析】發(fā)現(xiàn)問題∶由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解；應(yīng)用問題：將逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，由勾股定理得，同理可證是直角三角形，即可求解；拓展問題：將順時針旋轉(zhuǎn)得，連接、，同理可證，由全等三角形的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】發(fā)現(xiàn)問題∶證明：補充如下：如圖，在和中，()，，，，，是直角三角形，，，；應(yīng)用問題：解：如圖，將逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，()，，，，，是直角三角形，，，；故答案：；拓展問題：解：如圖，將順時針旋轉(zhuǎn)得，連接、，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，()，，，，，的最大值為，故答案：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．(1)請你計算圖1中的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABP≌△ACP′，求證△APP′為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；（2）將△APB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知是等腰直角三角形，求證∠APP′=45°，用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．【詳解】（1）（1）如圖2，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴；∴；（2）如圖3，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.4．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在中，，，點在內(nèi)部，點在外部，滿足，且．求證：．（2）已知如圖2，在等邊內(nèi)有一點，滿足，，，求的度數(shù)．

【答案】（1）詳見解析；（2）150°【分析】（1）先證∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS可證△ABD≌△CBE；（2）把線段PC以點C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處，連結(jié)AQ．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△PCQ是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根據(jù)勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，進一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD=∠CBE．又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）如圖，把線段PC以點C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處，連結(jié)AQ．由旋轉(zhuǎn)知識可得：∠PCQ=60°，CP=CQ=3，∴△PCQ是等邊三角形，∴CP=CQ=PQ=3．又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．在△BCP與△ACQ中

∴△BCP≌△ACQ（SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．又∵PA=5，∴．∴∠AQP=90°又∵△PCQ是等邊三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．【點睛】考核知識點：等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)，勾股定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形判定和性質(zhì)求出邊和角的關(guān)系是關(guān)鍵.5．（2023·四川綿陽·一模）如圖，四邊形是正方形，點為平面內(nèi)一點，(1)若點在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點在正方形外，如果，如圖2，且，求的長．（用表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．(1)把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逆定理求出證出，即可得出結(jié)果．(2)把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖1，

∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖2，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴∴．6．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長.小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長為.【方法遷移】：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長.【答案】（1）6；（2）90°；（3）【分析】如圖一，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾股定理求出PB即可；[方法遷移]：將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等邊三角形，利用勾股定理逆定理可證∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，問題得解；[能力拓展]：將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，易證△CDE≌△CD'E，可得DE=D'E，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，過點D'作D'F⊥AB于F，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，問題得解.【詳解】解：如圖一，將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，連接PP'，∴PA=P'A=4，PC=P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B=∠APC=135°，∴∠PP'A=45°，∴PP'，∠PP'B=135°-45°=90°，∴；[方法遷移]：如圖二，將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，∴PA=P'A=2，PC=P'B=1，∠PAP'=60°，∴△PAP'是等邊三角形，∴PP'=PA=2，∵，即，∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，∴∠APB=60°+30°=90°；[能力拓展]：如圖三，將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ECD'=60°，又∵CE=CE，∴△CDE≌△CD'E（SAS），∴DE=D'E，又∵∠A=∠ABC=，∴∠A=∠CBD'=30°，∴∠EBD'=60°，過點D'作D'F⊥AB于F，∴BF=，D'F=，∴EF=2，∴，∴.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理及其逆定理等，解題的關(guān)鍵是正確運用材料中的方法，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形，運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解.7．（2024·河南·校考一模）（1）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，求的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長為_______；在中，易證，且的度數(shù)為_____，綜上可得的度數(shù)為__；（2）類比遷移:如圖，點是等腰內(nèi)的一點，．求的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請直接寫出BD的長．【答案】（1）2，30°，90°；（2）90°；（3）2．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如圖3，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長，就可以得BD的長．【詳解】解：（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；∴P′A=PB=3、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（3）2=4=PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案為2；30°；90°；（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=2，PB=AP'=2，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（2）2+（2）2=2=AP2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如圖3，∵AB=AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，過A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴CG===2，∴BD=CG=2．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．6．（23-24九年級上·山東德州·期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請直接寫出AB的長．【答案】（1），直角，；（2）；（3）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，即可利用勾股定理得到，然后證明，利用勾股定理得到即可得到；（2）將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，則是等邊三角形，可得，，然后證明，可得，則；（3）將△APD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，證明，利用勾股定理求出，然后證明，即可得到．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，∴，，，∴，∴，是直角三角形，∴，故答案為：，直角；（2）如圖所示，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，將△APD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，∵PD＝PC，∠CPD＝90°，∴∠PDC=∠PCD=45°，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行求解．7．（2023·山東濟南·模擬預(yù)測）（問題提出）如圖1，在等邊內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題．【嘗試解決】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．，又，，，為三角形，的度數(shù)為．【類比探究】如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點P，若，，，求的度數(shù)．【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點P，若，，，求的度數(shù)．

【答案】【嘗試解決】直角，；【類比探究】；【聯(lián)想拓展】【分析】嘗試解決：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，為等邊三角形，進而得到，，再利用勾股定理的逆定理，證明為直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)；類比探究：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，為等腰直角三角形，進而得到，，再利用勾股定理的逆定理，證明為直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)；聯(lián)想拓展：如圖，以為直角邊構(gòu)造直角三角形，使得，，先證明，得出，進而證明，得到，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，分別求出，，再利用勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】嘗試解決：解：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，為等邊三角形，，，，，，，為直角三角形，，，的度數(shù)為，故答案為：直角，；類比探究：解：如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，為直角三角形，，；

聯(lián)想拓展：解：如圖，以為直角邊構(gòu)造直角三角形，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，是直角三角形，，．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．8．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊內(nèi)有一點，且，，，若把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．(3)求點劃過的路徑長；(4)當(dāng)時，如果是由旋轉(zhuǎn)所得，求掃過的區(qū)域的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，再由是等邊三角形，利用等邊三角形性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定得到，進而有，，再利用勾股定理的逆定理得到為直角三角形，且，即可得到答案；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，從而確定；（3）根據(jù)題意，把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點劃過的路徑是，利用弧長公式代值求解即可得到答案；（4）由（1）的證明過程，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到掃過的區(qū)域的面積，根據(jù)扇形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，在中，，，，則，由勾股定理的逆定理可知為直角三角形，且，；（2）解：把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則是等邊三角形，；（3）解：如圖所示：把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點劃過的路徑是，則長度為；（4）解：由（1）的證明過程可知，，點劃過的路徑是，點劃過的路徑是，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，掃過的區(qū)域的面積．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、弧長公式、扇形面積公式等知識，理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運用相關(guān)幾何判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解是解決問題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰中，，點是內(nèi)一點，連接，且，設(shè).（1）如圖1，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，易證為等邊三角形，則，；（2）如圖2，若，則，；（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）將△PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△DAP為等邊三角形，即可解決問題；（2）將△PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△DAP為等腰直角三角形，即可解決問題；（3）將△PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△BPA≌△BPD（SSS），即可解決問題；【詳解】解：（1）如圖1中，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，，，∵在等腰中，，，∴，CP為三線合一的線∴，∴在中，，，∴為等腰直角三角形∴，∴，∴△APD是等邊三角形，∴∠ADP=∠APD=60°，∵∠CDP=∠CPD=45°，∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，∴∠APB=360°-105°-105°=150°，∴α=150°，β=105°，故答案為150°，105°．（2）將△PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴為等腰直角三角形∴，∵，，∴，，∴△ADP是等腰直角三角形，∴∠APD=90°，∠ADP=45°，∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，∴∠APB=360°-135°-90°=135°，∴α=135°，β=90°，故答案為135°，90°．（3）將△PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，延長PB交AD與S，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴為等腰直角三角形∴，∵，∴PA=PD，∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，∴∠ADC+∠CPS=180°，∴∠PSD+∠PCD=180°，∴∠PSD=90°，∴PS⊥AD，∵PA=PD，∴△ADP是等腰直角三角形，∴SA=SD，∴△ABP是等腰直角三角形，∴BA=BD，∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，∴△BPA≌△BPD（SSS），∴∠APB=∠BPD，∴∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，即：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，屬于中考壓軸題．10．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點D是等邊內(nèi)一點，連結(jié)，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點D是內(nèi)一點，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點D為平面內(nèi)一點，且，，則的值為．

【答案】【問題背景】：，60；【嘗試應(yīng)用】：；【拓展創(chuàng)新】：或；【分析】問題背景：是等邊三角形，根據(jù)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，推出，再證明C，D，T共線，可得結(jié)論；

拓展創(chuàng)新：分兩種情形：當(dāng)點D在的上方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則.再求出，，可得結(jié)論；當(dāng)點D在的下方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則，過點D作交的延長線于點H.再求出，，可得結(jié)論.【詳解】問題背景：由題意可知，是等邊三角形，，；故答案為：，；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接.

，,共線，.拓展創(chuàng)新：①當(dāng)點D在的上方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，設(shè)，則.

，，，，過點B作于點H，則，，，，，.②當(dāng)點D在的下方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接，設(shè)則過點D作交的延長線于點H.

同法可證，，，綜上所述，的值為或故答案為：或【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.11．（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）問題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫好，，，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)，某小組將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、，如圖1所示．如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點落在邊上時，；如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每改變一個度數(shù)時，的長也隨之改變．……問題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．如圖1，在中，，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、．（1）如圖2，當(dāng)點落在邊上時，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時，若，求的長．（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為，嘗試畫圖，并提出問題請你解答．如圖4，中，，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角，連接、，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易知，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）以為邊向右作等邊，連接并延長交于點，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再利用“”證明，易得，進而可得，，同理，平分；設(shè)，則，，在中，利用勾股定理得，即可獲得答案；（3）以為邊向下作等邊，連接，，由旋轉(zhuǎn)得，，利用“”證明，易得，再證明，可得，，進而證明是等邊三角形，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2）解：下圖，以為邊向右作等邊，連接并延長交于點，∴，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，同理，平分，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，∴，∴；問題2：解：如下圖，以為邊向下作等邊，連接，，則，，由旋轉(zhuǎn)得，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．12．（2024·吉林長春·一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，則，然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù)，就可以解決這道問題．下面是小明的部分解答過程：解：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．請你補全余下的解答過程．（2）【類比遷移】如圖②，在正方形內(nèi)有一點P，且，，，則______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形中，對角線、交于點O，在直線上方有一點P，，，連接，則線段的最大值為______．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對集中到一個三角形中解決問題．（1）將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，再證明是直角三角形；（2）將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，再證明是直角三角形；（3）將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，在由三角形三邊關(guān)系求出的最大值，從而求得的最大值．【詳解】（1）解：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．在中，．（2）解：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，∵，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，即．在中，．故答案為：．（3）解：將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．∵，，∴是等腰直角三角形，∴，．∵四邊形是正方形，∴，，∴，即．在中，當(dāng)點在時，∴的最大值為在中，∴．的最大值為．13．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1），在中，點D為BC邊上一點，連接AD，點P為線段AD上一點，連接PB、PC得到有公共邊的兩個和，求證：．【類比遷移】如圖（2），在中，點D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點，線段AD、BE、CF交于點P，若，，則．【拓展遷移】如圖（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點P為內(nèi)部一點，且，則線段AP＝．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作于，過點作于，易證得，，從而結(jié)論得證；（2）過點作與交于，連接，通過易得平行四邊形，通過對邊平行，可得，，所以可得，通過進而求得結(jié)論；（3）過點作于，于，于，通過勾股定理求得，已知，利用此條件可以設(shè)參數(shù)，表示面積，進而表示各線段的值，在與中通過勾股定理建立方程，求得參數(shù)的值，最后代回可求得的值．【詳解】證明：（1）過點作于，過點作于，∴，又∵，∴，∴，由已知得：，,∴，∴，即．解：（2）過點作與交于，連接，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．（3）過點作于，于，于，，，，∵，∴設(shè)，，，在中，，∵，，∴，∴，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，∴，在與中，,∴，解得：，∴，，∴，即．故答案為：．【點睛】本題是與三角形有關(guān)的綜合問題，通過面積法求得線段的比，利用相似三角形轉(zhuǎn)化線段比例關(guān)系，利用勾股定理建立方程求得參數(shù)，是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問題：如圖1，在等邊△ABC中，點P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．即能求PB＝請參考他們的想法，完成下面問題：【學(xué)以致用】如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的長；【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的長．【答案】閱讀材料：5；學(xué)以致用：3；能力拓展：【分析】閱讀材料：由∠ABC=60°，將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，則△APD是等邊三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，得出∠ADP=60°，DP=AP=3，∠PDB=90°，由勾股定理即可得出結(jié)果；學(xué)以致用：將△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，得出△CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；能力拓展：將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD′，連接ED′，作D′H⊥BE于H．證明△ECD≌△ECD′（SAS），推出DE=ED′，求出EH，D′H即可解決問題．【詳解】解：閱讀材料：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，如圖1所示：則△APD是等邊三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，∴∠ADP=60°，DP=AP=3，∴∠PDB=90°，∴，故答案為：5；學(xué)以致用：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，將△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，∴∠CPP'=∠CP'P=45°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴，∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°，∴．能力拓展：將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD′，連接ED′，作D′H⊥BE于H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=BD′=2，CD=CD′，∠ACD=∠BCD′，∠A=∠CBD′，∵∠ACB=120°，∠DCE=60°，∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°，∴∠ECD=∠ECD′，∵EC=EC，∴△ECD≌△ECD′（SAS），∴DE=ED′，∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠A=∠CBA=30°，∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°，在Rt△BHD′中，∵BD′=2，∠BHD′=90°，∠BD′H=30°，∴BH=BD′=1，D′H=，EH=3-1=2，∴ED′=，∴DE=．【點睛】此題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點A、B、C分別是三個任務(wù)點，點P是△ABC內(nèi)一個打卡點．按照設(shè)計要求，CP＝30米，打卡點P對任務(wù)點A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．【答案】（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．16．（2024山東?？级＃静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．（1）請按要求畫圖：將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B′，點C的對應(yīng)點為C′，連接BB′（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=．【問題解決】如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=，點P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找線段PA、PC之間數(shù)量關(guān)系；想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找線段PA、PC之間的數(shù)量關(guān)系；請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程．（求解一種方法即可）【靈活運用】如圖③，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），直接寫出BD的長（用含k的式子表示）．【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】（1）作圖見解析；（2）45°；【問題解決】S△APC=；【靈活運用】BD=．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可；（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；【問題解決】如圖②，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可得出答案.【靈活運用】如圖