2直角三角形第1課時

直角三角形的性質(zhì)和判定北師版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解直角三角形兩銳角互余及互逆命題的轉(zhuǎn)化；2.運用勾股定理逆定理判定直角三角形.1.熟練掌握勾股定理逆命題的證明方法；2.互逆命題的真假性判定.重難點情境導(dǎo)入

在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說:“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大!”“不行啊!”老大說:“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么?”老二很納悶.你知道其中的道理嗎?老大的度數(shù)為90°，老二若是比老大的度數(shù)大，那么老二的度數(shù)要大于90°，而三角形的內(nèi)角和為180°，相互矛盾，因而是不可能的.活動1：如下圖所示是我們常用的三角板，請計算兩銳角的度數(shù)之和.30°+60°=90°45°+45°=90°是不是所有的直角三角形的兩個銳角都滿足上面關(guān)系呢？知識點一直角三角形的性質(zhì)定理探究新知如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少？因為∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)？

定理

直角三角形的兩個銳角互余.應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．

ABC直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC

．知識點二直角三角形的判定定理活動2：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，因為∠A+∠B+∠C=180°，

∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.ABC

定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.應(yīng)用格式：在△ABC

中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC

是直角三角形．ABC知識點三勾股定理

勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.我們曾經(jīng)利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面積=（a–b）2即c2=a2+b2.=c2–4×ab勾股定理的證明：DEFGHIABCabc如圖，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分別以Rt△ABC

的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG.連接EB，CH.EFGMNHIABCabc過點C

作

AB的垂線，分別交

AB

和HI

于點M，N.DEFGMNHIABCabc∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.DEFGMNHIABCabc又∵S正方形ACDE=2S△EAB，S長方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S長方形AHNM.同理a2=S長方形MNIB.∴c2=a2+b2.D反過來，在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎？知識點四勾股定理的逆定理已知：如圖，在△ABC

中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.ABC證明：如圖，作Rt△A'B'C'，A'B'C'使∠A'=90°，A'B'=AB，A'C'=AC，則A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠A=∠A'

=90°（全等三角形的對應(yīng)角相等）.因此，△ABC

是直角三角形.ABC

定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.A知識點五互逆命題與互逆定理觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系？第三個定理和第四個定理呢？定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.定理直角三角形的兩個銳角互余.定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.再觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.想一想你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都是真命題嗎？逆命題：如果兩個有理數(shù)的平方相等，那么這兩個有理數(shù)相等.原命題是真命題，逆命題是假命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.隨堂演練1.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的長.解：∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC，∠C=90°.∵BC=3，∴AC=3.∵BC2+AC2=AB2，∴AB=2.已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm.求證：AB=AC.ABCD解：∵AD是BC邊上中線，∴BD=5cm.∵AB=13cm，AD=12cm.∴AB2=AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形.∴∠ADB=∠ADC=90°.∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC.3.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）如果

ab=0，那么a=0，b=0.解：（1）多邊形是四邊形.原命題是真，逆命題是假.（2）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.原命題是真，逆命題是真.（3）如果a=0，b=0，那么ab=0.原命題是假，逆命題是真.課堂小結(jié)定理直角三角形的兩個銳角互余.