專題8-2立體幾何中平行的證明與應(yīng)用模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平行關(guān)系的判斷【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【題型3】由中位線得出平行關(guān)系【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）【題型5】由面面平行得出線面平行【題型6】兩個平面交線相關(guān)的平行證明【題型7】證明線線平行【題型8】通過平行證明四點共面【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積【題型10】平行的存在性問題（確定點的位置）【題型11】平行的存在性問題（確定動點軌跡）【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）模塊二模塊二核心題型·舉一反三平行關(guān)系思維導(dǎo)圖序號圖形展示符號語言文字語言1垂直于同一平面的兩個直線平行如果兩條直線分別與第三條直線平行則這兩條直線平行線段成比例兩直線平行（中位線）平行四邊形對面平行2平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行3一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行4一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行5如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行6一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行7兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行【題型1】平行關(guān)系的判斷常用結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥B．(4)若α∥β，m?α，則m∥β.【例1】（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與l相交 B．b與l相交 C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)與β相交【例2】已知、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則；B．若，，則；C．若、是異面直線，，，，，則；D．平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則．【例3】（多選）已知平面，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．與可能是異面直線 B．若，則C．若，則 D．若兩兩垂直，則l，m，n也兩兩垂直【鞏固練習(xí)1】下列關(guān)于平面平行的命題，正確的是（

）A．若一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行C．若兩個平面與同一個平面垂直，則這兩個平面平行D．若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行【鞏固練習(xí)2】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【鞏固練習(xí)3】已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，對于下列命題正確的是（

）A．B．；C．D．.【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【方法技巧】構(gòu)造平行四邊形找線線平行【例1】如圖，在棱長為1的正方體中，E、F及G分別為棱、和的中點.求證：平面DEG；

【例2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.若為的中點，證明：平面；【鞏固練習(xí)1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．證明：平面PAD；【鞏固練習(xí)2】（24-25高三上·青海西寧·期中）如圖，平面，，，，，點分別為的中點．求證：平面【鞏固練習(xí)3】如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．求證：：平面；【題型3】由中位線得出平行關(guān)系涉及中點條件時考慮利用三角形中位線找線線平行.【例1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點，是棱PA上一點，且，求證:平面MCD【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，，點是線段的中點，點在線段上，且.求證：平面【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江金華·一模）如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.

求證：平面；【鞏固練習(xí)3】已知在正四棱柱中，，，點是的中點，求證：平面【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）解析：模型鋪墊：AB∥平面βAB∥DE【例1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為正方形．點為的中點，點為AB的中點．

證明：平面【例2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在棱上（不與端點重合），E，F(xiàn)分別是PD，AC的中點.證明：平面.【例3】（2024·浙江·一模）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點是的中點，點在線段上且，為三角形的重心.求證：平面【鞏固練習(xí)1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.若點為的中點，證明:平面；【鞏固練習(xí)2】在直三棱柱中，已知D為的中點.求證：平面.

【鞏固練習(xí)3】（24-25高三上·福建泉州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點，是的延長線與CB的延長線的交點．(1)求證：平面；(2)若點在線段AP上，且點E為靠近點A的三等分點，求直線與平面所成的角的正弦值．【鞏固練習(xí)4】如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點，點F在棱上，且，證明：平面EFC．【題型5】由面面平行得出線面平行本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行思路比較簡單不過書寫步驟會繁瑣一些，一般不做第一選擇【例1】如圖，已知三棱柱為直三棱柱，為AC的中點.證明：平面【例2】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側(cè)面與底面所成角為.

求證：平面；【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．（1）求證：平面；【鞏固練習(xí)2】（2024·四川達州·二模）如圖，在直角梯形中，，，，把梯形繞旋轉(zhuǎn)至，，分別為，中點．證明：平面；【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點、在平面的同側(cè)，，，，平面平面，.求證：平面；

【題型6】兩個平面交線相關(guān)的平行證明兩個平面交線相關(guān)的平行證明可以考慮補全圖形得到交線，也可以先找一個線面平行，得出線線平行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行【例1】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．證明：l∥CB【例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，且，，且，且，平面，,設(shè)平面與平面的交線為，求證：；【鞏固練習(xí)1】在圓柱中，是圓的一條直徑，是圓柱的母線，其中點與不重合，是線段的兩個三等分點，且．若平面和平面的交線為，證明：平面.【鞏固練習(xí)2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形.記平面與平面交線為，證明：；【鞏固練習(xí)3】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為m，分別為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：.【題型7】證明線線平行利用線面平行和面面平行證明線線平行【例1】如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．【例2】如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【鞏固練習(xí)1】如圖所示，圓臺的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.求證：.

【鞏固練習(xí)2】（2024·甘肅·一模）如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.求證：；【題型8】通過平行證明四點共面通過線線平行得出四點共面【例1】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點(1)求證：平面；(2)求證：、、、四點共面；【鞏固練習(xí)1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，，點，是棱上的三等分點，點是棱的中點．，．證明：∥平面，且，，，四點共面；【鞏固練習(xí)2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判斷點B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說明理由．【鞏固練習(xí)3】如圖，在長方體中，點分別在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，證明：點在平面內(nèi)．【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計算變形前后的體積相等【例1】已知正方體的棱長為是線段上的一個動點，則三棱錐的體積是否為定值？請說明理由【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則三棱錐的體積為________【例3】（多選）如圖,在正方體中,,為線段上的動點,則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的最小值為【鞏固練習(xí)1】在正方體中，為的中點，點滿足，，則三棱錐的體積與的值是否有關(guān)？請說明理由.【鞏固練習(xí)2】如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點，三棱錐的體積為________【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長為2的正方體中，點在平面內(nèi)，則三棱錐的體積為________.

【題型10】平行的存在性問題（確定點的位置）平行存在性問題：過定點構(gòu)造出平行平面（過相關(guān)點作2次平行）通過面面平行的性質(zhì)來得到線面平行【例1】如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【例2】（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點在棱上，滿足，點在棱上，且，點在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例3】在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最小值為（

）A． B． C． D．【例4】如圖，在正方體中，點為線段上的動點，，分別為棱，的中點，若平面，則．【鞏固練習(xí)1】在三棱柱中，點、分別是、上的點，且平面平面，試求的值.【鞏固練習(xí)2】在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為線段AD上靠近A的三等分點，F(xiàn)為線段上一點，當(dāng)平面時，（

）A．3 B．4 C． D．【鞏固練習(xí)3】在三棱柱中，點在棱上，且，點為的中點，點在棱上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【鞏固練習(xí)4】如圖，已知等腰梯形中，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型11】平行的存在性問題（確定動點軌跡）動點軌跡即為兩個平面的交線【例1】如圖，在邊長為的正方體中，點在底面正方形內(nèi)運動，若平面，則動點的軌跡長度為________【例2】如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點，點P在矩形內(nèi)運動（包括邊界），若平面AEF，則動點P的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．【例3】（23-24高三上·北京朝陽·期末）如圖，在正方體中，點是平面內(nèi)一點，且平面，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【鞏固練習(xí)2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，為的中點，是側(cè)面上一點，且平面，則線段的最大值為（）A． B． C． D．4【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點，點是側(cè)面上的動點，且∥截面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）一、如何做截面？作出過EFG三點的截面法一：作平行線并標(biāo)出棱上的交點法二：作延長線并標(biāo)出棱上的交點 二、如何確定截面是否已經(jīng)“搞定”？題目所要求的點是否都用上？你所畫的線是否圍成了一個封閉圖形？這個封閉圖形的邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內(nèi)部)？【例1】（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點.請在正方體的表面完整作出過點的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是，的中點，平面BMN截正方體所得截面為________【例3】（2024·江西贛州·一模）在棱長為1的正方體中，為棱的中點，過且平行于平面的平面截正方體所得截面面積為（

）A． B． C． D．【例4】如圖，正方體的棱長為4，E為的中點，F(xiàn)為線段上的動點，過點A，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面記為S，當(dāng)時，截面S與，分別交于M，N，則.【鞏固練習(xí)1】在正方體中，已知，Q是棱上的動點（可與D、重合）.當(dāng)Q是中點時，畫出過A，Q，的截面；【鞏固練習(xí)2】（多選）如圖，