第13講基本不等式【知識點總結】1.幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當且僅當“”時取“”).特例：同號）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關系式)③(溝通兩積與兩和的不等關系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.【典型例題】例1．（2022·江蘇·高三專題練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習（文））若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例3．（2022·全國·高三專題練習）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8例4．（2022·全國·高三專題練習）若，，，則的取值范圍是（）A．， B． C．， D．例5．（2021·山西大同·高三階段練習（理））已知點在直線上，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4例6．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．例8．（2021·重慶·西南大學附中高三階段練習）已知，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2021·江西·高三階段練習（理））已知、，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)在時取得最小值，則等于（）A．6 B．8 C．16 D．362．（2021·黑龍江·大慶實驗中學高三階段練習（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立；D．如果，，那么．3．（2020·廣東·普寧市第二中學高三階段練習）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-15．（2022·全國·高三專題練習）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值26．（2022·浙江·高三專題練習）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥87．（2022·全國·高三專題練習）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．168．（2022·全國·高三專題練習）設均為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．69．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．（2022·全國·高三專題練習）若對滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習）設，為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題12．（2022·江蘇·高三專題練習）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·浙江·高三專題練習）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.14．（2022·全國·高三專題練習）若，則的最大值是_______15．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最大值是________．16．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.17．（2022·全國·高三專題練習）當時，的最小值為______．18．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且滿足，則的最小值為_________19．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為______．20．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為___________.21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則的最小值為____________．22．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的最小值是________．23．（2022·全國·高三專題練習）設，，為正實數(shù)，滿足，則的最小值是__________．24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是_______．25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實數(shù)滿足，則的