第三章函數(shù)第13講二次函數(shù)的圖像與性質4大考點精講+專訓3大中考命題點+19大題型探究中考考點考查頻率新課標要求二次函數(shù)的圖像對稱性與增減性★★二次函數(shù)圖像的有關判斷★★二次函數(shù)的圖像變換★★二次函數(shù)的圖像與系數(shù)★★★二次函數(shù)解析式的確定★★★二次函數(shù)與方程結合★二次函數(shù)與不等式結合★01考情透視·目標導航【考情分析1】二次函數(shù)是初中階段的重點內(nèi)容、難點內(nèi)容，也是中考的必考內(nèi)容，對于二次函數(shù)圖像和性質的簡單考查常以非解答題的形式出現(xiàn)，經(jīng)?？疾槎魏瘮?shù)的對稱性、增減性與其解析式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之間的關系.【備考建議】二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2025年各地中考還會考.出題形式多樣，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習.能畫二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖像形狀和對稱軸的關系；會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值.知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.【考情分析2】二次函數(shù)與方程，不等式主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)結合，考查圖像交點個數(shù)與函數(shù)各項系數(shù)間的關系，試題形式多樣，難度一般，單獨命題較少，一般都是問題中的某一部分，,其中函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)與對應的一元二次方程有關，相應不等式也可依靠函數(shù)圖像求解.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三二次函數(shù)的圖像與性質考點二二次函數(shù)的相關概念考點一二次函數(shù)的相關概念二次函數(shù)與方程、不等式考點四1.二次函數(shù)的定義二次函數(shù)的相關概念考點一定義一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0，其中a，b，c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項2.二次函數(shù)的形式一般式，

，

y=ax2+bx+c(a≠0，其中a，b，c是常數(shù))3種特殊形式1)當b＝0時2)當c＝0時3)當b＝0且c＝0時3.二次函數(shù)的常見表達式：二次函數(shù)的相關概念考點一名稱解析式前提條件相互聯(lián)系一般式頂點式交點式

1）以上三種表達式是二次函數(shù)的常見表達式，它們之間可以互相轉化.2)一般式化為頂點式，交點式，主要運用配方法，因式分解等方法.y=ax2+bx+c(a≠0)其中a≠0且a，h，k是常數(shù)y=a(x+h)2+ky=a（x-x1）（

x-x2）(a≠0)當已知拋物線上的無規(guī)律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式.當已知拋物線的頂點坐標（h，k）或對稱軸或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達式.當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1,0）,（x2,0）時，常用交點式求其表達式.二次函數(shù)的相關概念考點一針對練習

A．正比例函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系

B．一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系C．正比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

D．一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系DC

二次函數(shù)的相關概念考點一針對練習

B【解析】3【解析】

03考點突破·考法探究二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三二次函數(shù)的圖像與性質考點二二次函數(shù)的相關概念考點一二次函數(shù)的圖像與性質二次函數(shù)與方程、不等式考點四1.二次函數(shù)的圖像與性質二次函數(shù)的圖像與性質考點二圖像特征二次函數(shù)的圖像是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.基本形式圖像a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點坐標(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)最值a>0開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.增

減

性a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.易錯拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大(或減小)是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍.2.二次函數(shù)的圖象變換二次函數(shù)的圖像與性質考點二1）二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k

平移口訣向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n

下減2.二次函數(shù)的圖象變換二次函數(shù)的圖像與性質考點二①二次函數(shù)圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關.②根據(jù)平移規(guī)律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數(shù)項加減平移單位.③涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式，因為二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式.④求函數(shù)圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.⑤對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.補

充：2.二次函數(shù)的圖象變換二次函數(shù)的圖像與性質考點二2）二次函數(shù)圖象的對稱變換變換方式變換后口訣關于x軸對稱x不變，y變-y關于y軸對稱y不變，x變-x關于原點對稱x變-x，y變-y二次函數(shù)的圖像與性質考點二針對練習

4A

A

新拋物線

2二次函數(shù)的圖像與性質考點二針對練習

C【解析】∵y=x2-2x=(x-1)2-1，∴圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1，-1)，當x=-1時，y=3，∴(-1，3)關于對稱軸對稱的點坐標為(3，3)，∵當x=-1時，函數(shù)取得最大值；

當x=1時，函數(shù)取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，

1-1

3303考點突破·考法探究二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三二次函數(shù)的圖像與性質考點二二次函數(shù)的相關概念考點一二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系二次函數(shù)與方程、不等式考點四1.圖像與a，b，c的關系二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三字母字母的符號圖像特征備注aa>0開口向上a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，開口越小)．a(chǎn)<0開口向下

bb=0

左同右異中間0a，b同號a，b異號

cc=0圖像過原點

c決定了拋物線與y軸交點的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2-4ac

b2-4ac＞0與x軸有兩個交點

b2-4ac的正負決定拋物線與x軸交點個數(shù)b2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點

二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三【小技巧】通過給x賦值，結合圖像即可判斷特殊函數(shù)值的正負.針對練習

B．D．A．C．

∴拋物線開口向下

D二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三針對練習

D【解析】

故選項??錯誤（否則可得??=0，不合題意）．∵??＜0，??＞0，∴3??-??＜0，故選項??錯誤．

二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三針對練習B

【解析】

∵對稱軸為直線x=-1，且該拋物線與x軸交于點A(1,0)，∴1-(-1)=-1-x，解得x=-3，則9a-3b+c=0，故②錯誤；03考點突破·考法探究二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系考點三二次函數(shù)的圖像與性質考點二二次函數(shù)的相關概念考點一二次函數(shù)與方程、不等式二次函數(shù)與方程、不等式考點四1.二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況二次函數(shù)與方程、不等式考點四求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求ax2+bx+c=0中x的值的問題。此時二次函數(shù)就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)

二次函數(shù)與方程、不等式考點四判別式二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與x軸交點個數(shù)圖像與x軸的交點坐標根的情況△＞0a＞0拋物線二次函y=ax2+bx+c(a≠0)

與x軸交于

（x1，0），（x2,0）（x1＜x2）

兩點一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根

2個交點a＜0△＝0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根

1個交點△＜0拋物線二次函y=ax2+bx+c(a≠0)

與x軸無交點一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）

0個交點1.二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況a＞0a＞0a＜0a＜0二次函數(shù)與方程、不等式考點四2.二次函數(shù)與不等式的關系圖像有兩個交點有1個交點無交點有兩個交點有1個交點無交點判別式△＞0△＝0△＜0△＞0△＝0△＜0ax2+bx+c＞0x＜x1或x＞x2

x≠x1的全體實數(shù)全體實數(shù)x1＜x＜x2

無解無解ax2+bx+c=0x=x1或x=x2

x=x1=x2

無實根x=x1或x=x2

x=x1=x2

無實根ax2+bx+c＜0x1＜x＜x2

無解無解x＜x1或x＞x2

x≠x1的全體實數(shù)全體實數(shù)a＞0a＜0x1＜x2

二次函數(shù)與方程、不等式考點四針對練習

二次函數(shù)與方程、不等式考點四針對練習

D

04題型精研·考向洞悉根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質題型01二次函數(shù)的圖像與性質命題點一根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質求解題型02求二次函數(shù)解析式題型03畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像題型04以開放性試題的形式考查二次函數(shù)的圖像與性質題型05二次函數(shù)的平移變換問題題型0604題型精研·考向洞悉二次函數(shù)的對稱變換問題題型07二次函數(shù)的圖像與性質命題點一根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍題型08二次函數(shù)的最值問題題型09根據(jù)二次函數(shù)的最值求參數(shù)/取值范圍題型10根據(jù)二次函數(shù)的增減性求參數(shù)的取值范圍題型11根據(jù)二次函數(shù)自變量/函數(shù)值的取值范圍求函數(shù)值/自變量的取值范圍題型12命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系?D

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質

BDD

所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數(shù)值越小

解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖象與性質，熟練的利用數(shù)形結合的方法命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質求解

方法指導解：①∵拋物線開口向上，-1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴當x=-1時，y=a-b+c＞0，故①不符合題意；②∵拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,-2)，∴函數(shù)的最小值y<-2，∴ax2+bx+c=-2有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程ax2+bx+c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質求解

C

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質求解

x…035…y…0…

D

yOx

①②④命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型03求二次函數(shù)解析式1）已知拋物線上任意三點坐標，可設y=ax2+bx+c2）已知拋物線上的頂點坐標（h，k），可設y=a(x-h)2+k

方法技巧3）已知拋物線二次函y=ax2+bx+c(a≠0)

與x軸兩個交點坐標（x1，0），（x2,0）（x1＜x2）時，可設y=a(x-x1)(x-

x2)【注意事項】1)二次函數(shù)的解析式求解，最后結果一般寫成一般式或頂點式，不寫成交點式；2)任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-4ac≥0時，拋物線才可以用交點式表示，二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型03求二次函數(shù)解析式

方法指導解題的關鍵：?掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式?

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型03求二次函數(shù)解析式

解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖象與性質，理解新定義，最小矩形的限制條件方法指導

1．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3，頂點坐標為（-1,4），則下列說法正確的是（

）A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2C．當x<-1時，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型03求二次函數(shù)解析式D-11

3

x…0123…y…00…

①②④

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型04畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應的任務．

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型04畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應的任務．

方法指導解題的關鍵：?掌握數(shù)形結合求一元二次不等式的解集，作二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像（1）解：

D命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型04畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應的任務．(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型04畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像

（1）列表：

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型05以開放性試題的形式考查二次函數(shù)的圖像與性質

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的性質，能根據(jù)增減性和二次函數(shù)圖象與y軸的交點確定系數(shù)的正負

（答案不唯一）．命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型05以開放性試題的形式考查二次函數(shù)的圖像與性質

（答案不唯一）（答案不唯一）

【解析】命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型06二次函數(shù)的平移變換問題

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質，熟練應用平移的規(guī)律確定拋物線解析式

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型06二次函數(shù)的平移變換問題

1方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質，熟練應用平移的規(guī)律確定拋物線解析式?兩點間的距離公式

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型06二次函數(shù)的平移變換問題

D

左平移2個單位向下平移3個單位

2或4

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型07二次函數(shù)的對稱變換問題

B方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的對稱性，與x軸交點問題?兩點間的距離計算公式

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型07二次函數(shù)的對稱變換問題

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖像與對稱性性質?兩點間的距離計算方法A．8 B．9 C．10 D．11B

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型07二次函數(shù)的對稱變換問題

B

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型08根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍

A方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)圖像性質?熟練確定出拋物線的開口方向與對稱軸

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型08根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍

【解析】命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型08根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍

解題的關鍵：?掌握勾股定理，解直角三角形，二次函數(shù)最值求解的相關知識，會綜合運用命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型09二次函數(shù)的最值問題

方法指導

6命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型09二次函數(shù)的最值問題

BDD

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求參數(shù)/取值范圍

解題的關鍵：?運用數(shù)形結合思想和分類討論思想，綜合應用二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征方法指導

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求參數(shù)/取值范圍

B

【解析】命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求參數(shù)/取值范圍

D【解析】

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型11根據(jù)二次函數(shù)的增減性求參數(shù)的取值范圍

解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的圖象和性質，利用點A、B是該二次函數(shù)圖象上的兩點且縱坐標相等得到該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2方法指導

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型11根據(jù)二次函數(shù)的增減性求參數(shù)的取值范圍

【解析】

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型11根據(jù)二次函數(shù)的增減性求參數(shù)的取值范圍【解析】

3

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型12根據(jù)二次函數(shù)自變量/函數(shù)值的取值范圍求函數(shù)值/自變量的取值范圍

x…0123…y…105212…

解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的性質，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：二次函數(shù)的對稱性判斷出對稱軸x=2方法指導

命題點一二次函數(shù)的圖像與性質?題型12根據(jù)二次函數(shù)自變量/函數(shù)值的取值范圍求函數(shù)值/自變量的取值范圍

【解析】

04題型精研·考向洞悉二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)符號題型01二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系命題點二根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子符號題型02函數(shù)圖像綜合題型03命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型01二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)符號

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個C解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系方法指導

命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型01二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)符號

B

命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子符號

方法技巧命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子符號

①②④解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征方法指導

④如圖

命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子符號

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．①②

B．①③ C．②③

D．①②③CD

∴2a-b=0

∵二次函數(shù)頂點在第二象限

在x軸正半軸上在第二象限

命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型03函數(shù)圖像綜合

DC解題的關鍵：?掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)的圖象和性質，利用數(shù)形結合的思想解決問題方法指導

命題點二二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)之間的關系?題型03函數(shù)圖像綜合