第02講平面向量的數(shù)量積（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2024年新Ⅱ卷，第3題,5分數(shù)量積的運算律已知數(shù)量積求模垂直關(guān)系的向量表示模長的相關(guān)計算2023年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第13題,5分數(shù)量積的運算律向量的模長運算2022年新Ⅱ卷，第4題,5分數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2021年新I卷，第10題,5分數(shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律無2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。知識講解1．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積|a||b|cosa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模時，一定要先求出a2再進行開方．考點一、求平面向量的數(shù)量積1．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實數(shù)3．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（

）A． B． C． D．1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．52．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．3．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，，則（

）A． B． C．9 D．18考點二、辨析數(shù)量積的運算律1．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（上?！じ呖颊骖}）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與垂直 D．5．（22-23高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．考點三、模長綜合計算1．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（

）A．2 B． C．2或 D．3或4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知向量，向量滿足，且，則（

）A． B．5 C． D．251．（2024·陜西榆林·二模）若向量，則（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知向量，，，則的最小值為.3．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為，且，，則（

）．A． B． C．4 D．24．（2024·湖南長沙·三模）平面向量滿足：，，，且，，則.考點四、夾角綜合計算1．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．64．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．1．（2024·山東日照·三模）已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.3．（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·上?！つM預(yù)測）已知向量，，滿足，，且，則．考點五、垂直綜合計算1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件2．（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．1．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江臺州·二模）已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A．-1 B．-2 C．1 D．23．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知向量，，若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（

）A．， B．，C．， D．，考點六、求投影向量1．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題1．（湖南·高考真題）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．64．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A．28 B．29 C．30 D．32一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·北京大興·三模）已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量，則（

）A． B．2 C． D．34．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．二、填空題8．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，則m的值為.10．（2024·重慶·三模）已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則.一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（

）A．0 B． C． D．2．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）曲線C的方程為，直線l與拋物線C交于A，B兩點.設(shè)甲：直線l與過點；乙：（O為坐標(biāo)原點），則（

）A．甲是乙的必要不充分條件 B．甲是乙的充分不必要條件

C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為8．（2024·新疆·三模）已知點，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為9．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（

）A．在上的投影向量為B．C．D．若，則三、填空題10．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點，則的最小值為.1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．4．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則．5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．16．（2022·全國·高考真題）已知向量．若，則．7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．8．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．29．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為10．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．11．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則.12．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則．13．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件14．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為；的最小值為．15．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．16．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.17．（2021·全國·高考真題）（多選）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．18．（2020·全國·高考真題）設(shè)向量，若，則.19．（2020·全國·高考真題）設(shè)為單位向量，且，則.20．（2020·全國·高考真題）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．21．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則；．22．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為．23．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．24．（2020·全國·高考真題）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．25．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．第02講平面向量的數(shù)量積（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2024年新Ⅱ卷，第3題,5分數(shù)量積的運算律已知數(shù)量積求模垂直關(guān)系的向量表示模長的相關(guān)計算2023年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第13題,5分數(shù)量積的運算律向量的模長運算2022年新Ⅱ卷，第4題,5分數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2021年新I卷，第10題,5分數(shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律無2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。知識講解1．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積|a||b|cosa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模時，一定要先求出a2再進行開方．考點一、求平面向量的數(shù)量積1．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.2．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實數(shù)【答案】【分析】根據(jù)向量線性運算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.【詳解】，，解得.故答案為：3．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.【詳解】由已知有，，，所以．已知是AC的中點，則，，所以，則．故選：D．1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】，即，，，，，.故答案為：.3．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，，則（

）A． B． C．9 D．18【答案】C【分析】將把與用來表示，進而利用平面向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】，，.故選：C.考點二、辨析數(shù)量積的運算律1．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當(dāng)時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.2．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量運算法則，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷.【詳解】若，則，因為為非零的平面向量，所以，或，所以甲不是乙的充分條件，反過來，，能推出，所以甲是乙的必要條件.綜上可知，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.故選：B3．（上?！じ呖颊骖}）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運算的運算法則判斷．【詳解】選項A是向量加法的結(jié)合律，正確；選項B是向量數(shù)量積運算對加法的分配律，正確；選項C是數(shù)乘運算對向量加法的分配律，正確；選項D．根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數(shù)量積運算沒有結(jié)合律存在．D錯．故選：D．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與垂直 D．【答案】C【分析】利用平面向量的運算求解.【詳解】選項A：因為是三個非零的平面向量，且相互不共線，所以不會同時與垂直，所以與不會同時為0，所以，故A錯誤；（注意向量的數(shù)量積為一個常數(shù)）選項B：，由于，（點撥：向量夾角的取值范圍是）所以，故B錯誤；選項C：因為，且由A知與不相等，所以與垂直，（點撥：若兩向量的數(shù)量積為0，則兩向量垂直）故C正確；選項D：因為是非零向量，且不共線，所以設(shè)，從而，在中，兩邊之差小于第三邊，所以，（提示：不共線，所以中的等號不成立）故D錯誤．故選:C.5．（22-23高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】ACD【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A，由分配律可判斷B，由相反向量可判斷C，由向量垂直可以判斷D.【詳解】對于A，若，則不一定有，A錯誤；對于B，根據(jù)分配律即可得到，B正確；對于C，若，則可能，那么，C錯誤；對于D，若，則有，那么就不一定有，D錯誤.故選：ACD考點三、模長綜合計算1．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.3．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（

）A．2 B． C．2或 D．3或【答案】D【分析】根據(jù)條件將兩邊平方，然后利用數(shù)量積的運算律計算即可.【詳解】，即，解得或.故選：D.4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知向量，向量滿足，且，則（

）A． B．5 C． D．25【答案】B【分析】由，利用向量數(shù)量積運算和向量的模即可求解.【詳解】由于向量，可得，由，得，故，得，得或(舍去)．所以故選：B1．（2024·陜西榆林·二模）若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，從而可得，從而可求解.【詳解】若，則，即，解得.故A正確.故選：A.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知向量，，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運算和復(fù)數(shù)模的坐標(biāo)表示得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【詳解】，所以.當(dāng)時等號成立.故答案為：.3．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為，且，，則（

）．A． B． C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運算求出所求向量的模．【詳解】由得，，又，則．故選：D.4．（2024·湖南長沙·三模）平面向量滿足：，，，且，，則.【答案】/【分析】結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)求出、和，利用即可求出答案.【詳解】因為，所以，因為，，，，所以，，因為，，所以.故答案為：.考點四、夾角綜合計算1．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.2．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由且，不共線，再用向量的坐標(biāo)運算求解即可得答案.【詳解】因為，，所以；因為向量，的的夾角為銳角，所以有，解得.又當(dāng)向量，共線時，，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)向量的夾角范圍求參數(shù)的范圍問題，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算和向量共線的坐標(biāo)表示，是中檔題.1．（2024·山東日照·三模）已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的運算、向量的模的計算公式以及向量的數(shù)量積求夾角即可求解.【詳解】因為和是單位向量，所以又因為，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.2．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.【答案】/【分析】先求得的表達式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】，令，則，所以，當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．故答案為：3．（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法則可得，兩邊同時平方可得，由平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為平面四邊形中，點分別為的中點，所以，所以，由可得：，兩邊同時平方可得：，所以，解得：，所以.故選：A.4．（2024·上?！つM預(yù)測）已知向量，，滿足，，且，則．【答案】/0.8【分析】根據(jù)已知條件依次求出、、，接著求出、和即可結(jié)合向量夾角余弦公式求解.【詳解】由題，故即，，；，故即，，；，故即，，，所以，且，，所以.故答案為：.考點五、垂直綜合計算1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.2．（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.3．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．1．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】對于A，因為，所以不垂直，故A錯誤；對于B，因為，所以不垂直，故B錯誤；對于C，因為，所以不垂直，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：D2．（2024·浙江臺州·二模）已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因為，，所以，，因為，所以，解得.故選：D3．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選：B.4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知向量，，若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)向量同向及數(shù)量積為0分別建立方程求解.【詳解】當(dāng)時，由可知與方向相同，得，解得；當(dāng)時，，即，解得．故選：C考點六、求投影向量1．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.【詳解】依題意，，所以在上的投影向量為.故選：A2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊平方求出，然后由投影向量公式可得.【詳解】因為，，所以，得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C3．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求解.【詳解】在方向上的投影向量為，即，①在方向上的投影向量為，即，②由①②得，又，所以.故選：D4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，再利用投影向量的意義求解作答【詳解】因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，由，可得的角平分線與垂直，所以為等腰三角形，且，又，得，所以，又，所以,所以為等邊三角形，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B.1．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，推理得到，再由投影向量求得，聯(lián)立得到，利用兩向量的夾角公式計算即得.【詳解】因為是單位向量，且，兩邊平方得，，即（*），由在上的投影向量為，可得，所以，即，代入（*）可得，，即，所以，因為，所以．故選：B．2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的模長關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值,得到和的坐標(biāo)，即可利用投影向量的公式進行求解.【詳解】由得.由得.所以.所以，所以在上的投影向量為，故選:D.4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，利用向量數(shù)量積的定義及投影向量的意義求解即得.【詳解】在直角梯形中，且，過作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)點，根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點，則，則在上的投影向量為.故選：C考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題1．（湖南·高考真題）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由有實根，可得，再結(jié)合向量的夾角公式和可求得，從而可求出兩向量的夾角范圍.【詳解】因為關(guān)于的方程有實根，所以，所以，因為均是非零向量，且，所以，因為，所以，故選：B.2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

3．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.【詳解】如圖，設(shè)，，，點在圓上，點在圓上，則，，由可得：，作矩形,則.下證：.設(shè)交于點，連接,因則，同理可得：，兩式左右分別相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故選:C．【點睛】方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出線段的中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，由圖化簡得，只需求的范圍即可，故又轉(zhuǎn)化成求過點的弦長的范圍問題.【詳解】

如圖，取線段的中點，連接，則，由，因直線經(jīng)過點，考慮臨界情況，當(dāng)線段中點與點重合時（此時），弦長最小，此時最長，為，（但此時直線與軸平行，點不存在）；當(dāng)線段中點與點重合時，點與點重合，最短為0（此時符合題意）.故的范圍為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圓的弦想到取其中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，將所求式轉(zhuǎn)化成，而求范圍即求弦的長的范圍即可.2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解．【詳解】設(shè)，（且），則（且），則在線段上，如圖所示，

當(dāng)與重合時，在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為；當(dāng)與重合時，在上的投影向量的長度取得最小值，最大值為；則在上的投影向量的長度的取值范圍是．故選：B.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.【詳解】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，如取時，可使“”成立.所以.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.4．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點為，，連接，，，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．【詳解】由雙曲線方程可知：，可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為（即），半徑為．連接，，，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量即可求得，進而得.【詳解】因為，所以，，故，所以.故選：C.2．（2024·北京大興·三模）已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，即可判斷A；根據(jù)及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可判斷B；表示出，，即可判斷C；根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示判斷D.【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：因為，，顯然，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：D3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】對兩邊平方化簡可得，再對平方化簡后再開方即可.【詳解】由兩邊平方得，，所以，所以，所以，故選：D.4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選：B.5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用轉(zhuǎn)化法求得，再利用兩個向量夾角的余弦公式即可得解.【詳解】因為向量均為單位向量，即，且，，則，兩邊平方可得，即，所以，又，所以與的夾角為．故選：C．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，將兩邊同時平方，即可求解.【詳解】設(shè)向量夾角為，兩邊平方得則，又，即，解得.故選：A.7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運算律，求出的表達式，利用二次函數(shù)的最值即得.【詳解】由可得，因，故時，，即的最小值為.故選：B．二、填空題8．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.【答案】【分析】利用向量的加法結(jié)合數(shù)量積的定義求解.【詳解】故答案為：9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，則m的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算得，結(jié)合得到計算得到答案；【詳解】根據(jù)題意，向量，，因為，所以，則.故答案為：.10．（2024·重慶·三模）已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則.【答案】【分析】借助平面向量的三角形法則，用作為基底，分別表示向量，然后用平面向量的線性運算和數(shù)量積即可得解.【詳解】因為在單位正方形，點是邊上一點，又，所以，，所以.故答案為：一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)向量減法的幾何意義，可得線段OB的中點C滿足，即可求得，的夾角.【詳解】設(shè)，，則為直線OB上的點C與點A之間的距離，由時，取得最小值，得C為線段OB的中點且，由于，所以.故選：B2．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值．【詳解】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，則，故，又，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由可知，，故的最大值為．故選：A．3．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）曲線C的方程為，直線l與拋物線C交于A，B兩點.設(shè)甲：直線l與過點；乙：（O為坐標(biāo)原點），則（

）A．甲是乙的必要不充分條件 B．甲是乙的充分不必要條件

C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用巧設(shè)的直線與拋物線聯(lián)立方程組，用坐標(biāo)運算來研究向量積，再分析充要關(guān)系，即可得解.【詳解】因為直線的斜率不可能為0，所以可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去得：，再設(shè)，則，所以，由，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，則，此時甲是乙的充分條件；當(dāng)時，解得或，即直線經(jīng)過點或，此時甲不是乙的必要條件；故選：B.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到，化簡得，代入即可.【詳解】向量滿足，,即,,,故選：A.5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出，再借助平行四邊形定則畫圖可解.【詳解】如圖，設(shè)的中點為，則，所以，，則．設(shè)，由于，則，則．假如的起點均為，運用加法的平行四邊形法作圖求和，對角線對應(yīng)的終點如圖所示，所以．故選：A．6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點（是中點），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因為在矩形中，，，，，所以動點在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A.二、多選題7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質(zhì)，對各個選項逐一判定即可．【詳解】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因為，所以，故C錯誤；在上的投影向量為，故D錯誤；故選：AB．8．（2024·新疆·三模）已知點，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為【答案】ACD【分析】對于A，當(dāng)時，計算即可；對于B，由，即存在實數(shù)，使得，計算得即可；對于C，由得，兩邊平方結(jié)合二倍角公式即可；對于D，由向量的模運算得即可.【詳解】由題意可知，，對于A，當(dāng)時，，所以,即，故，故A正確；對于B，因為，所以存在實數(shù)，使得，即，解得，故或，故B錯誤；對于C，因為，所以，解得，故C正確；對于D，因為，所以，其中，所以當(dāng)時，，故D正確.故選：ACD.9．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（

）A．在上的投影向量為B．C．D．若，則【答案】BD【分析】先對新定義進行理解，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算逐一判斷即可得解．【詳解】對于選項A，在上的投影向量為，故選項A錯誤，對于選項B，，故選項B正確，對于選項C，，顯然時，不成立，故選項C錯誤，對于選項D，由，所以，則，即，故選項D正確，故選：BD．【點睛】思路點睛：對于向量的新定義的運算需正確理解向量的新定義運算，再結(jié)合向量的投影、向量的運算和向量的平行等進行推理運算即可.三、填空題10．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點，則的最小值為.【答案】6【分析】易知正方形與正方形的中心為，然后將涉及到的向量用或來表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當(dāng)為的中點時，，所以故答案為：6；．1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.2．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故答案為：；.3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

4．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B6．（2022·全國·高考真題）已知向量．若，則．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．8．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.9．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時，最大，即求出．【詳解】方法一：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時，最大，此時．故答案為：；．10．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．11．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.12．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則．【答案】.【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.13．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當(dāng)時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.14．（2021·天津·高考真