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一、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用【例1】如圖所示,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別是直線AB和

雙曲線.直線AB與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為C,CD垂直x軸于點(diǎn)D,OD=2

OB=4OA=4.求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

分析:由已知三條線段之間的關(guān)系,可求得A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),由此利

用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.解:由已知OD=2OB=4OA=4,得A(0,-1),B(-2,0),D(-4,0).設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b,∵點(diǎn)A,B在一次函數(shù)圖象上,∴

即

則一次函數(shù)解析式是y=-

x-1.設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

,又∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上,則1=

,得m=-4.故反比例函數(shù)解析式是y=-

.點(diǎn)撥:反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題常涉及特殊線段、三角形面

積等條件,這些幾何圖形的邊長(zhǎng)常常與某些點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān).這類題體

現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特色.∵點(diǎn)C在一次函數(shù)圖象上,∴當(dāng)x=-4時(shí),y=1,即C(-4,1).1.(2011·重慶潼南中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b

(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=

(m≠0)的圖象相交于A,B兩點(diǎn).求:(1)根據(jù)圖象寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),并分別求出反比例函數(shù)和一次

函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)圖象寫出:當(dāng)x為何值時(shí),一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值?跟蹤訓(xùn)練

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解:(1)由圖象可知:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,

),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-1).

二、反比例函數(shù)中的開放題【例2】如圖所示,點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線AB

交雙曲線y=

于點(diǎn)B.連接OB,BO的延長(zhǎng)線與雙曲線y=

的另一個(gè)交點(diǎn)為D,作DC垂直于x軸,垂足為C,連接BC,AD.問:四邊形ABCD的面

積是否為一個(gè)常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù)的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:由反比例函數(shù)y=

的k的幾何意義可知,S△AOB=

|k|.又因?yàn)檎壤瘮?shù)與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以O(shè)A=OC.所以△OCB與△AOB等底等高,其面積相等.故S△OCB=

|k|.同理,S△OCD=S△AOD=

|k|.從而,S四邊形ABCD=2|k|=2×3=6.所以,四邊形ABCD的面積是一個(gè)常數(shù),值為6.點(diǎn)撥:本題屬于一道結(jié)論探究型的開放題,綜合考查同學(xué)們的觀察、

類比、歸納、綜合運(yùn)用知識(shí)能力以及探索能力等.本題中,由反比例

函數(shù)y=

的k的幾何意義溝通了反比例函數(shù)與面積之間的關(guān)系,以此為突破口,通過(guò)推理,可得出正確的結(jié)論.2.老師在一直角坐標(biāo)系中畫了一個(gè)反比例函數(shù)的圖象和正比例函數(shù)

y=-x的圖象,請(qǐng)同學(xué)們觀察有什么特點(diǎn),并說(shuō)出來(lái).同學(xué)甲:與直線y=-x

有兩個(gè)交點(diǎn);同學(xué)乙:圖象上任意一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的積都為5.

請(qǐng)你根據(jù)同學(xué)甲和乙的說(shuō)法寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式:

.解析:設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

,由同學(xué)甲所述的與直線y=-x有兩個(gè)交點(diǎn),知k<0;由同學(xué)乙所述的圖象上任意一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離

的積都為5,所以|k|=5,故k=-5.因此,反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-

.答案:y=-

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