PAGE1-2.2獨立性檢驗2.3獨立性檢驗的基本思想2.4獨立性檢驗的應用學習目標核心素養(yǎng)1.了解獨立性檢驗的基本思想方法．(重點)2．了解獨立性檢驗的初步應用．(難點)1.借助了解獨立性檢驗的思想，提升學生數學抽象的核心素養(yǎng)．2．通過獨立性檢驗的分析應用，培育學生數據分析的核心素養(yǎng).1．獨立性檢驗設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A)1；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B)1，有下面2×2列聯(lián)表：ABB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數據；b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數據；c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數據；d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數據．2．獨立性檢驗的基本思想在2×2列聯(lián)表中，令χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，當數據量較大時，在統(tǒng)計中，用以下結果對變量的獨立性進行推斷：(1)當χ2≤2.706時，沒有充分的證據判定變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的；(2)當χ2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(3)當χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(4)當χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)．1．在一項中學生近視狀況的調查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時用什么方法最有勸服力()A．平均數與方差 B．回來分析C．獨立性檢驗 D．概率C[推斷兩個分類變量是否有關的最有效方法是進行獨立性檢驗，故選C.]2．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值eq\f(a,a＋b)與________相差越大，兩個分類變量有關系的可能性越大．eq\f(c,c＋d)[依據2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，則|ad－bc|就越大，那么兩個分類變量有關系的可能性就越大．]3．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關的數據如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100由表中數據直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關：________(填“是”或“否”)．是[因為在20至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，兩者相差較大，所以，經直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關的．]2×2列聯(lián)表【例1】在對人們飲食習慣的一次調查中，共調查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請依據以上數據作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)推斷二者是否有關系．思路點撥：eq\x(對變量進行分類)→eq\x(求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計算\f(a,a＋b)與\f(c,c＋d)的值，作出推斷)[解]2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計7054124將表中數據代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.明顯二者數據具有較為明顯的差距，據此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關系．利用2×2列聯(lián)表的關鍵及留意事項1．作2×2列聯(lián)表時，關鍵是對涉及的變量分清類別．留意應當是4行4列，計算時要精確無誤．2．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關系時，首先要依據題中數據獲得2×2列聯(lián)表，然后依據頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．1．在一項有關醫(yī)療保健的社會調查中，發(fā)覺調查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜愛吃甜食的為117人，女性中喜愛吃甜食的為492人，請作出性別與喜愛吃甜食的列聯(lián)表．[解]作列聯(lián)表如下：喜愛甜食狀況性別喜愛甜食不喜愛甜食總計男117413530女492178670總計6095911200獨立性檢驗【例2】在500人身上試驗某種血清預防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為該種血清能起到預防感冒的作用.未感冒感冒總計運用血清258242500未運用血清216284500總計4745261000思路點撥：獨立性檢驗可以通過2×2列聯(lián)表計算χ2的值，然后和臨界值比照作出推斷．[解]假設感冒與是否運用該種血清沒有關系．由列聯(lián)表中的數據，求得χ2的值為χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.χ2≈7.075>6.635，查表得P(χ2>6.635)＝0.01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認為該種血清能起到預防感冒的作用．獨立性檢驗的一般步驟1．依據樣本數據列2×2列聯(lián)表．2．計算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的值．3．將χ2的值與臨界值進行比較，若χ2大于臨界值，則認為X與Y有關，否則沒有充分的理由說明這個假設不成立．2．“十一”黃金周前某地的一旅游景點票價上浮，黃金周過后，統(tǒng)計本地與外地來的游客人數，與去年同期相比，結果如下：本地外地總計去年140728424249今年133120653396總計273849077645能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為票價上浮后游客人數與所處地區(qū)有關系？[解]依據獨立性檢驗的基本步驟，假設票價上浮后游客人數與所處地區(qū)沒有關系．因為χ2＝eq\f(7645×1407×2065－2842×13312,4249×3396×2738×4907)≈30.35＞6.635.所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為票價上浮后游客人數與所處地區(qū)有關系．獨立性檢驗的綜合應用[探究問題]1．當χ2＞3.841時，我們有多大的把握認為事務A與B有關？[提示]由臨界值表可知當χ2＞3.841時，我們有95%的把握認為事務A與B有關．2．在探討打鼾與患心臟病之間的關系中，通過收集數據、整理分析數據得到“打鼾與患心臟病有關”的結論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的．我們是否可以判定100個心臟病患者中肯定有打鼾的人？[提示]這是獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“打鼾與患心臟病有關”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關的可能性為99%.依據概率的意義可知100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有．【例3】為了解某市創(chuàng)建文明城市過程中，學生對創(chuàng)建工作的滿足狀況，相關部門對某中學的100名學生進行調查，其中有50名男生對創(chuàng)建工作表示滿足，有15名女生對創(chuàng)建工作表示不滿足．已知在全部100名學生中隨機抽取1人，其對創(chuàng)建工作表示滿足的概率為eq\f(4,5).是否有足夠的證據說明，學生對創(chuàng)建工作的滿足狀況與性別有關？思路點撥：解決本題首先依據對工作滿足的概率，確定對工作滿足的男女生人數，再畫出2×2列聯(lián)表，最終依據2×2列聯(lián)表計算χ2，并進行推斷．[解]由題意得2×2列聯(lián)表如下：滿足不滿足總計男生50555女生301545總計8020100χ2＝eq\f(100×50×15－30×52,80×20×55×45)≈9.091＞6.635，所以我們有99%的把握認為學生對創(chuàng)建工作的滿足狀況與性別有關．獨立性檢驗應用時的關鍵要點1．解決此類問題的關鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并代入公式求出χ2的值，然后推斷得出結論，由于數據較多，在計算上簡單出錯應引起留意．2．獨立性檢驗仍舊屬于用樣本估計總體，由于樣本抽取具有隨機性，因而作出的推斷可能正確，也可能錯誤，有95%(或99%)的把握說事務A與B有關，則推斷結論為錯誤的可能性僅為5%(或1%)．3．有兩個變量x與y，其一組觀測值如下2×2列聯(lián)表所示：yxy1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數，則a取何值時，有95%的把握認為x與y之間有關系？[解]由題意χ2＝eq\f(65[a30＋a－20－a15－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(6565a－3002,20×45×15×50)＝eq\f(1313a－602,5400).∵有95%的把握認為x與y之間有關系，∴χ2>3.841，∴eq\f(1313a－602,5400)>3.841，a>7.7或a<1.5.又a>5,15－a>5，∴7.7<a<10.又a∈N，∴a＝8或a＝9.1．利用2×2列聯(lián)表推斷兩變量之間是否獨立的步驟第一步：依據調查結果和數據，列出所要探討的兩個變量之間的2×2列聯(lián)表．其次步：計算總和，即變量A、B的總數．第三步：求頻率．第四步：推斷．2．獨立性檢驗的基本思想是：要確認兩個變量有關系這一結論成立的可信程度，首先假設結論“兩個變量沒有關系”成立，在該假設下我們構造的統(tǒng)計量χ2應當很小，假如用觀測數據計算的統(tǒng)計量χ2很大，則在肯定程度上說明假設不合理．由χ2與臨界值的大小關系，作出推斷.1．對分類變量X與Y的統(tǒng)計量χ2的值說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關系”的把握性越小D．χ2越大，“X與Y無關系”程度越大B[χ2越大，X與Y越不獨立，所以關聯(lián)越大；相反，χ2越小，關聯(lián)越小．]2．為了探討中學學生對鄉(xiāng)村音樂的看法(喜愛和不喜愛兩種看法)與性別的關系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經計算χ2≈8.01，則認為“喜愛鄉(xiāng)村音樂與性別有關系”的把握性約為()χ2≥k0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B．1%C．99% D．99.9%C[因為χ2>6.635，所以有99%以上的把握認為“喜愛鄉(xiāng)村音樂與性別有關系”．]3．以下關于獨立性檢驗的說法中，正確的是________．①獨立性檢驗依據小概率原理；②獨立性檢驗得到的結論肯定正確；③樣本不同，獨立性檢驗的結論可能有差異；④獨立性檢驗不是推斷兩分類變量是否相關的唯一方法．①③④[獨立性檢驗得到的結論不肯定正確，故②錯，①③④正確．]4．(2024·全國卷Ⅰ)某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿足的概率；(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2