試題PAGE1試題清單09集合及其運算（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數(shù)零點的概念1、函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標.

這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點2、已學基本初等函數(shù)的零點①一次函數(shù)只有一個零點；②反比例函數(shù)沒有零點；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個零點1；⑤冪函數(shù)當時，有一個零點0；當時，無零點?！厩鍐?2】函數(shù)零點存在定理及其應用1、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數(shù)零點的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程的實數(shù)解;②數(shù)形結合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點；②數(shù)形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數(shù)；③數(shù)形結合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).【清單03】二次函數(shù)的零點問題一元二次方程的實數(shù)根也稱為函數(shù)的零點.當時，一元二次方程的實數(shù)根、二次函數(shù)的零點之間的關系如下表所示：的實數(shù)根（其中）方程無實數(shù)根的圖象的零點函數(shù)無零點【清單04】區(qū)間中點對于區(qū)間，其中點【清單05】二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷的把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點的初始區(qū)間，驗證；（2）求區(qū)間的中點（3）計算;①若（此時)，則就是函數(shù)的零點；②若（此時)，則令；③若（此時)，則令；（4）判斷是否達到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復2--4【清單06】常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：【考點題型一】求函數(shù)的零點核心方法：令（注意零點不是點，零點是數(shù)）【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.【變式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù)的零點為（

）A． B． C．0 D．1【變式1-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個零點為，則=【考點題型二】求函數(shù)零點個數(shù)【例2】（23-24高一下·貴州遵義）函數(shù)的零點個數(shù)為.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·河北石家莊）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（24-25高一上·北京）函數(shù)的零點有個．【考點題型三】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間核心方法：零點存在性定理【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一下·四川達州·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一下·海南·階段練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【考點題型四】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍（核心考點）核心方法：圖象法【例4】（24-25高二上·寧夏·期中）定義為a，b的最大值，函數(shù)的最小值為c．函數(shù)，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為．【變式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【考點題型五】根據(jù)零點（根）所在區(qū)間求參數(shù)核心方法：零點存在性定理【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是.【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習）若函數(shù)的零點在區(qū)間，內(nèi)，則．【考點題型六】用二分法求函數(shù)的零點的近似值核心方法：二分法【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，則第二次還需計算函數(shù)值（

）A． B． C． D．【變式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函數(shù)的零點，經(jīng)過若干次運算后函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，當（為精確度）時，函數(shù)零點的近似值與真實零點的誤差的取值范圍為（

）A． B． C． D．【考點題型七】指數(shù)函數(shù)模型【例7】（24-25高一上·江蘇常州·期中）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．6 B．7 C．10 D．11【變式7-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習）核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡.已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過（

）年.（）A．155 B．159 C．162 D．166【變式7-2】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，g及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他大約經(jīng)過小時才能駕駛.（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【考點題型八】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型【例8】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出來的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為．黃海是我國東部中強地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的（

）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【變式8-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國5G技術領先世界，其數(shù)學原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【變式8-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（

）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB【考點題型九】擬合函數(shù)模型的應用題【例9】（24-25高一上·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【變式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工藝品售賣店，為了更好地進行工藝品售賣，進行了銷售情況的調(diào)查研究．通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去一個月（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間第天的函數(shù)關系近似滿足，（），日銷售量（單位：件）與時間第天的部分數(shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)求的值；(2)給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述在過去一個月內(nèi)日銷售量與時間第天的變化關系，并求出該函數(shù)解析式及定義域；(3)設在過去一個月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【變式9-2】（24-25高三上·上?！て谥校┎枋侵腥A民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠，歷史悠久，文化底蘊深厚，是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關.經(jīng)實驗表明，用的水泡制，待茶水溫度降至時，飲用口感最佳.東雅中學利用課余時間開設了活動探究課《中國茶文化》，某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)椋F(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少.【考點題型十】零點個數(shù)問題（解答題）【例10】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)的解析式為(1)畫出這個函數(shù)的圖象，并解不等式；(2)若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有兩個公共點，直接寫出的范圍．【變式10-1】（18-19高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上有最大值，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【變式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當時，.(1)求的解析式；(2)若關于的方程在上恰有兩個不相等的根，求的取值范圍；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【考點題型十一】零點代數(shù)和問題【例11】（24-25高一上·江蘇·期中）記函數(shù)的兩個零點為，．(1)若，，求m的取值范圍；(2)若，求的最值．【變式11-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，(1)求的表達式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設四個交點的橫坐標分別為，，，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式11-2】（23-24高一上·重慶·期中）函數(shù)，其中為常數(shù)，有這5個不同的實數(shù)解，并且有．(1)在坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并求的取值范圍（用表示）；(2)若，求的最小值．【考點題型十二】函數(shù)與方程綜合【例12-1】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若方程有兩個不等實根，，且，求的取值范圍.【例12-2】（23-24高一上·江蘇泰州·期中）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，且，滿足，則稱為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；（直接寫出結論）(2)已知函數(shù)，試判斷為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足的的值，若不是，請說明理由；(3)若為其定義域上的“弱奇函數(shù)”.求實數(shù)取值范圍.【變式12-1】（24-25高一上·上海徐匯·期中）利用數(shù)形結合，構造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.(1)已知函數(shù),若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍.(2)設，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：a的取值范圍.①對于任意，的值為或；②關于的方程無實數(shù)解．(3)已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù).【變式12-2】（24-25高一上·上海·期中）已知.(1)若，證明：，并指出等號成立的條件;(2)已知，設關于的方程的兩個非零實數(shù)根為，問是否存在，使得對任意以及恒成立，若存在請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·遼寧撫順·期中）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·期中）某花店銷售某品種鮮花，當每束鮮花的售價為50元時，花店每天可以賣出18束鮮花；當每束鮮花的售價每降低1元時，花店當天可以多賣出1束鮮花．要使得該店該品種鮮花的日銷售額最大，則每束鮮花的售價應為（

）A．16元 B．18元 C．32元 D．34元3．（24-25高一上·江西·期中）單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環(huán)境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關系，其中為安全距離，為車速.當安全距離取40m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（

）A．110 B．116 C．119 D．1224．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（24-25高三上·河南·期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖象上存在關于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知是上的偶函數(shù)，對于任意的，都有成立，且，當且時，都有成立.現(xiàn)給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)；④方程在上有4個根.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·陜西榆林·期中）定義域和值域均為?a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解C．方程有且僅有5個解 D．方程有且僅有1個解三、填空題11．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若關于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.12．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為．四、解答題13．（24-25高一上·山東·期中）某物流基地今年初用49萬元購進一臺大型運輸車用于運輸.若該基地預計從第1年到第n年花在該臺運輸車上的維護費用總計為萬元，該車每年運輸收入為23萬元.(1)該車運輸幾年開始盈利?（即總收入減去成本及維護費用的差為正值）(2)若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當年平均盈利達到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算?請說明理由.14．（24-25高一上·陜西西安·期中）設函數(shù)，(1)在坐標系中畫出函數(shù)的圖象；(2)討論方程，解的情況.15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）雞蛋在冰箱冷藏的環(huán)境下，可以有效減緩雞蛋內(nèi)部的變化速度，延長其保質(zhì)期．已知新鮮雞蛋存儲溫度（單位：攝氏度）與保鮮時間（單位：小時）之間的函數(shù)關系式為．新鮮雞蛋在存儲溫度為8攝氏度的情況下，其保鮮時間約為432小時；在存儲溫度為6攝氏度的情況下，其保鮮時間約為576小時．(1)新鮮雞蛋在存儲溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時間約為多少小時；(2)已知新鮮雞蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保證新鮮雞蛋的保鮮時間不少于40天，則超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設置應該不高于多少攝氏度？（結果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：16．（24-25高三上·上?！て谥校檠芯恳环N浮游植物的生長規(guī)律，某科研團隊在一個面積為8000平方米且保持各項指標均穩(wěn)定的實驗池塘中開展研究，一開始在此池塘投放了一定覆蓋面積的該植物，觀察實驗得到該植物覆蓋面積（單位：平方米）與所經(jīng)過月數(shù)的下列數(shù)據(jù)：023442563156為了描述該植物覆蓋面積（單位：平方米）與經(jīng)過的月數(shù)的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①；②；③.(1)試判斷以上哪個函數(shù)模型更適合植物覆蓋面積與經(jīng)過的月數(shù)的關系，并求出該模型的函數(shù)解析式：(2)約經(jīng)過幾個月，該植物能覆蓋整個池塘？(3)經(jīng)過4個月的研究，在掌握該植物生長規(guī)律后，科研小組開始改善池塘生態(tài)，現(xiàn)有兩種方案：方案一：加入能抑制該植物生長的某種物質(zhì)，使其覆蓋面積與經(jīng)過的月數(shù)的關系變?yōu)?；方案二：?月底集中打撈一次，使其覆蓋面積減少到4平方米，植物增長速度不變.請比較這兩種方案的植物覆蓋面積增長狀況，并說明理由.17．（24-25高一上·遼寧大連·期中）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當時，；(1)求函數(shù)的解析式；(2)作出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(3)若方程有個相異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合．清單09集合及其運算（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數(shù)零點的概念1、函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標.

這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點2、已學基本初等函數(shù)的零點①一次函數(shù)只有一個零點；②反比例函數(shù)沒有零點；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個零點1；⑤冪函數(shù)當時，有一個零點0；當時，無零點。【清單02】函數(shù)零點存在定理及其應用1、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數(shù)零點的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程的實數(shù)解;②數(shù)形結合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點；②數(shù)形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數(shù)；③數(shù)形結合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).【清單03】二次函數(shù)的零點問題一元二次方程的實數(shù)根也稱為函數(shù)的零點.當時，一元二次方程的實數(shù)根、二次函數(shù)的零點之間的關系如下表所示：的實數(shù)根（其中）方程無實數(shù)根的圖象的零點函數(shù)無零點【清單04】區(qū)間中點對于區(qū)間，其中點【清單05】二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷的把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點的初始區(qū)間，驗證；（2）求區(qū)間的中點（3）計算;①若（此時)，則就是函數(shù)的零點；②若（此時)，則令；③若（此時)，則令；（4）判斷是否達到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復2--4【清單06】常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：【考點題型一】求函數(shù)的零點核心方法：令（注意零點不是點，零點是數(shù)）【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.【答案】【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、求函數(shù)的零點、對數(shù)的運算【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，或，求解即可.【詳解】令，則，或，解得，或，則函數(shù)的零點是.故答案為：.【變式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù)的零點為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【知識點】指數(shù)函數(shù)的判定與求值、求函數(shù)的零點【分析】利用零點的定義求解.【詳解】令，解得，故選:C.【變式1-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求函數(shù)的零點、指數(shù)函數(shù)圖像應用、對數(shù)函數(shù)圖象的應用、冪函數(shù)圖象的判斷及應用【分析】利用數(shù)形結合思想來作圖分析零點大小.【詳解】由函數(shù)零點可知：，，利用數(shù)形結合，構造三個函數(shù)它們與的交點橫坐標就是對應的三個零點.由圖可知：，故選：D.【變式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個零點為，則=【答案】/【知識點】求函數(shù)的零點【分析】由零點定義可得答案.【詳解】令，得的零點為1與，則.故答案為：【考點題型二】求函數(shù)零點個數(shù)【例2】（23-24高一下·貴州遵義）函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】【知識點】求函數(shù)的零點【分析】根據(jù)零點的定義，結合分段函數(shù)的性質(zhì)，分情況建立方程，可得答案.【詳解】當時，令，則，解得，故為函數(shù)的零點；當時，令，則，解得，故為函數(shù)的零點.故答案為：.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·河北石家莊）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)的零點、求對數(shù)函數(shù)的定義域【分析】AD選項，滿足奇函數(shù)定義且存在零點；B選項，由函數(shù)定義域可知不是奇函數(shù)；C選項，函數(shù)無零點.【詳解】A選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且，存在零點，A正確；B選項，定義域為，定義域不關于原點對稱，故不是奇函數(shù)，B錯誤；C選項，與軸無交點，故無零點，C錯誤；D選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且，D正確.故選：AD【變式2-2】（24-25高一上·北京）函數(shù)的零點有個．【答案】1【知識點】求函數(shù)的零點、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】令解方程，即可得解；【詳解】解：因為，令，即，解得故函數(shù)有1個零點；故答案為：1【考點題型三】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間核心方法：零點存在性定理【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】我們將通過計算區(qū)間端點的函數(shù)值的正負來判斷函數(shù)在哪個區(qū)間存在零點.【詳解】因為在上均單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，對A，可得.因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故A錯誤；對B，因為在上單調(diào)遞減，則，則，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，故在上存在零點，故B正確；對C，因為，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故C錯誤；對D,計算，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故C錯誤；故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·四川達州·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷零點所在的區(qū)間、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)零點存在性定理可得到答案.【詳解】因為和均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·海南·階段練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【知識點】零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】先驗證函數(shù)的單調(diào)性，再代入驗證，由零點存在定理得到零點所在區(qū)間.【詳解】當時，設，則，故在0,+∞上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為2,3.故選：C.【考點題型四】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍（核心考點）核心方法：圖象法【例4】（24-25高二上·寧夏·期中）定義為a，b的最大值，函數(shù)的最小值為c．函數(shù)，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為．【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、對數(shù)函數(shù)圖象的應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像可得的值，再將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可得范圍.【詳解】由題意，在同一坐標系下畫出，的圖象，由圖可知，，所以，則，由函數(shù)有三個零點得方程有三個解，所以函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個交點，如圖所示：當時，在上單調(diào)遞減，在?1,0上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，且，當時，在0,+∞上單調(diào)遞增，因此當時，函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個交點，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、對勾函數(shù)求最值、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】令，由題意可得y=gx的圖象與的圖象有解，畫出y=gx的圖象，數(shù)形結合即可求解.【詳解】設，則.因為方程有解，所以y=gx的圖象與的圖象有解.當時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，且.作出函數(shù)y=gx

由圖可得，y=gx的圖象與的圖象有解，則.故選:D.【變式4-2】（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【知識點】根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)判別式、零點存在性定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識確定正確答案.【詳解】對于函數(shù)，，當，即時，沒有零點，不符合題意.當，即或時，當時，，零點為，，符合題意.當時，，零點為，，不符合題意.當，即或時，有兩個不相等的零點，至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，則需或，解得，，另外若，則，零點為或，不符合題意.若，則，零點為或，，符合題意.綜上所述，的取值范圍是：.故選：C【考點題型五】根據(jù)零點（根）所在區(qū)間求參數(shù)核心方法：零點存在性定理【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】根據(jù)零點定義，轉(zhuǎn)化為與在上有交點，求出值域即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即與在上有交點，又，在上單調(diào)遞增，故時，則，設，則，由可得，即與在上有交點，則.故答案為：【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】根據(jù)題意將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象公共點問題進而求解答案即可.【詳解】因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以，即在上有且只有一個實根，所以與的函數(shù)圖象在時有一個公共點，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D【變式5-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習）若函數(shù)的零點在區(qū)間，內(nèi)，則．【答案】【知識點】根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理計算可得；【詳解】解：因為，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)在上有唯一零點，所以；故答案為：【考點題型六】用二分法求函數(shù)的零點的近似值核心方法：二分法【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，則第二次還需計算函數(shù)值（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】根據(jù)二分法，可得答案.【詳解】由題意，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，由于，則第二次需計算，故選：C．【變式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】用二分法求近似解的條件【分析】逐一分析各個選項的函數(shù)是否有零點，零點兩側符號是否相反即可得解.【詳解】對于A，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，所以可用二分法求零點，故A能用二分法求零點；對于B，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，所以可用二分法求零點，故B能用二分法求零點；對于C，不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，但函數(shù)值在零點兩側都是正的，故C不能用二分法求零點；對于D，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，所以可用二分法求零點，故D能用二分法求零點.故選：C.【變式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函數(shù)的零點，經(jīng)過若干次運算后函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，當（為精確度）時，函數(shù)零點的近似值與真實零點的誤差的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】理解二分法求零點的原理，二分法是不斷將區(qū)間一分為二，根據(jù)函數(shù)值的正負來確定零點所在的子區(qū)間.然后根據(jù)已知條件，分析近似值與真實零點的誤差范圍.【詳解】因為函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，設真實零點為，那么.已知，那么，.由于，所以，.所以近似值與真實零點的誤差的取值范圍是.故選：B.【考點題型七】指數(shù)函數(shù)模型【例7】（24-25高一上·江蘇常州·期中）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】B【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)題意列式求得，從而得到關于的不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】依題意，當時，，解得，所以，由得，所以，則，故，所以的最小整數(shù)值為.故選：B.【變式7-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習）核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡.已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過（

）年.（）A．155 B．159 C．162 D．166【答案】B【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】根據(jù)題意列出等量關系，借助換底公式和題目給出的參考量得出結果.【詳解】設氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過年，則，，即年，故選：B.【變式7-2】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，g及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他大約經(jīng)過小時才能駕駛.（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】以時間為自變量，建立指數(shù)型函數(shù)，解即可.【詳解】解：設小時后此駕駛員的血液中酒精含量為，則，即.依題意當，即時才能駕駛，解，得，因為，所以大約經(jīng)過小時才能駕駛.故答案為：【考點題型八】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型【例8】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出來的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為．黃海是我國東部中強地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的（

）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、對數(shù)的運算性質(zhì)的應用【分析】由題意得到方程組，相減后得到，結合給出的參考數(shù)據(jù)，得到.【詳解】由題意得，兩式相減得，而，故，故選：D【變式8-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國5G技術領先世界，其數(shù)學原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應用、運用換底公式化簡計算、對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應的值，再利用對數(shù)運算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.【詳解】由題意，將信噪比從2000提升至10000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.【變式8-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（

）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB【答案】D【知識點】對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，根據(jù)題意得出和，算出，可計算出.【詳解】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，由題意可得，解得，因為，所以，所以，所以一般說話時聲音的等級約為60dB.故選：D【考點題型九】擬合函數(shù)模型的應用題【例9】（24-25高一上·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【答案】(1)最符合，理由見解析；(2)最大車流量為千輛/小時,此汽車的平均速度千米/小時.【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由基本初等函數(shù)模型性質(zhì)并結合表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律可得結論，代入計算可求得；（2）利用基本不等式計算即可得最大車流量為千輛/小時,此時平均速度千米/小時.【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當且僅當時，即時，等號成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時,最大車流量時汽車的平均速度千米/小時.【變式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工藝品售賣店，為了更好地進行工藝品售賣，進行了銷售情況的調(diào)查研究．通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去一個月（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間第天的函數(shù)關系近似滿足，（），日銷售量（單位：件）與時間第天的部分數(shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)求的值；(2)給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述在過去一個月內(nèi)日銷售量與時間第天的變化關系，并求出該函數(shù)解析式及定義域；(3)設在過去一個月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】(1)；(2)且定義域為；(3)441元.【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、對勾函數(shù)求最值【分析】（1）根據(jù)題設有，即可求參數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的增長趨勢確定模型，再由求參數(shù)，即可得解析式和定義域；（3）根據(jù)（1）（2）得，結合相關函數(shù)的單調(diào)性求最小值.【詳解】（1）由題意，，可得；（2）由表格數(shù)據(jù)知：日銷售量隨時間先增后減，顯然①②不符合，所以，選③，則，可得，即，綜上，且定義域為；（3）由題意，所以，當，，當且僅當時取等號，此時最小值為441元；當，在上單調(diào)遞減，此時最小值為元；綜上，的最小值441元.【變式9-2】（24-25高三上·上?！て谥校┎枋侵腥A民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠，歷史悠久，文化底蘊深厚，是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關.經(jīng)實驗表明，用的水泡制，待茶水溫度降至時，飲用口感最佳.東雅中學利用課余時間開設了活動探究課《中國茶文化》，某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少.【答案】(1)選模型②，且(2)(3)約為10℃【知識點】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及增長率，根據(jù)一次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定模型，再結合數(shù)據(jù)求解析式；（2）令，利用指數(shù)與對數(shù)關系及對數(shù)運算性質(zhì)求結果；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，即可確定進行實驗時的室溫.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.（2）令，則.所以泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間為.（3）由，即，所以進行實驗時的室溫約為10℃.【考點題型十】零點個數(shù)問題（解答題）【例10】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)的解析式為(1)畫出這個函數(shù)的圖象，并解不等式；(2)若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有兩個公共點，直接寫出的范圍．【答案】(1)圖象見解析，或(2)或【知識點】畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）根據(jù)解析式畫出圖像，結合圖像即可求解不等式；（2）由圖像即可求解.【詳解】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，當時，，所以恒成立，當時，，所以，當時，，所以，綜上可知，或，所以不等式的解集為或；（2）如圖，與有2個交點，則或.【變式10-1】（18-19高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上有最大值，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）由題，，令，轉(zhuǎn)化為關于的二次函數(shù)求參數(shù)范圍；（2）由（Ⅰ），令，因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以的圖像在上與軸只有一個交點，進而得到答案．【詳解】（1）由題，因為，所以令，對稱軸為，當時，，解得（舍），當時，，解得，所以.（2）由（1），由，令，對稱軸為，因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以的圖像在上與軸只有一個交點，所以，解得，或者，即，解得，當時，與軸在上有兩個交點，故舍去，綜上，或.【變式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當時，.(1)求的解析式；(2)若關于的方程在上恰有兩個不相等的根，求的取值范圍；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】(1)(2)(3)和【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，取相反數(shù)，利用已知的函數(shù)解析式，整理可得答案；（2）整理方程，構造函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論，結合函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.【詳解】（1）當時，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以.（2）方程即，設，由題意知，解得.（3）因為在區(qū)間上的值域恰為，其中且，所以，則，所以或.①當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，，則，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，，所以，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.【考點題型十一】零點代數(shù)和問題【例11】（24-25高一上·江蘇·期中）記函數(shù)的兩個零點為，．(1)若，，求m的取值范圍；(2)若，求的最值．【答案】(1)(2)最小值為4，最大值為5【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的分布可得，進而求解即可；（2）由韋達定理得，進而化簡，令，，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以m的取值范圍為.（2）由韋達定理得，，且，即或，則，且恒成立，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，則，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，則的最小值為4，最大值為5.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，(1)求的表達式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設四個交點的橫坐標分別為，，，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)．【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）作出函數(shù)圖象，由圖象可得滿足題意的不等式，從而求得參數(shù)范圍；（3）由韋達定理（或二次函數(shù)性質(zhì)）得出代入后求得的取值范圍，再由不等式恒成立得的范圍．【詳解】（1）時，，，為奇函數(shù)，則，所以；（2）作出的大致圖象，如圖，要滿足題意，

則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；（3）由得，，同理，因為，所以，所以，恒成立，則．【變式11-2】（23-24高一上·重慶·期中）函數(shù)，其中為常數(shù)，有這5個不同的實數(shù)解，并且有．(1)在坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并求的取值范圍（用表示）；(2)若，求的最小值．【答案】(1)作圖見解析，(2)【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）作出函數(shù)的圖象，結合圖象，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)已知求出的值（或關系），將表示出得到.換元令，則.設，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）作出函數(shù)的圖象由圖象可知，當時，直線與y=fx的圖象有5個交點，所以，.（2）當時，.易知為方程，即的較小的解，所以，；為方程，即的解，由韋達定理可知，，，且；為方程的解，；為方程的解，.所以，.因為，所以，.令，則，設，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在處取得最小值，此時有，所以，滿足條件.所以，原式的最小值為.【考點題型十二】函數(shù)與方程綜合【例12-1】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若方程有兩個不等實根，，且，求的取值范圍.【答案】(1)a=?1(2)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關太即可求解；（2）利用方程有兩根可得，，，由已知可得，可求取值范圍.【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以是的兩根，所以，解得；（2）方程有兩個不等實根，，所以，為的兩根，所以，所以，，，又，兩邊平方得，即，，所以，又，所以，所以，同理可得，，所以的取值范圍為.【例12-2】（23-24高一上·江蘇泰州·期中）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，且，滿足，則稱為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；（直接寫出結論）(2)已知函數(shù)，試判斷為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足的的值，若不是，請說明理由；(3)若為其定義域上的“弱奇函數(shù)”.求實數(shù)取值范圍.【答案】(1)既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”(2)不是，理由見解析(3)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、求函數(shù)的零點、函數(shù)新定義【分析】（1）（2）根據(jù)所給定義判斷即可；（3）首先由在上恒成立，求出的取值范圍，依題意存在實數(shù)使得，分、、三種情況討論，分別結合方程有解求出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）對于，則，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以不存在使得，即不是“弱偶函數(shù)”，若存在使得，即，即，又，當且僅當，即時取等號，所以方程無解，故不存在使得，即不是“弱奇函數(shù)”，綜上可得既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”.（2）假設為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，則，若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；從而無解，所以不是其定義域上的“弱奇函數(shù)”.（3）由在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即.因為為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，所以存在實數(shù)使得，當時，則，所以，即，所以，，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)"，所以，又因為，所以；當時，，此時，不成立；當時，則，所以，則，即，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)”，所以，由可知；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：本題屬于新定義問題，對于新定義問題，關鍵是理解所給定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解，分段函數(shù)注意分類討論.【變式12-1】（24-25高一上·上海徐匯·期中）利用數(shù)形結合，構造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.(1)已知函數(shù),若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍.(2)設，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：a的取值范圍.①對于任意，的值為或；②關于的方程無實數(shù)解．(3)已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù).【答案】(1)(2)(3)2或4【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、解含有參數(shù)的一元二次不等式、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)恒成立，分離參數(shù)進行討論即可；（2）根據(jù)函數(shù)的定義，在函數(shù)中給定的自變量，只有唯一確定的與之對應，即可解答；（3）根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關系，即可解答.【詳解】（1）①當時，，則，此時恒成立，故；②當時，，則，若，即令為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故；③當時，若，則，同②符合題意成立；若，則，同①符合題意成立.綜上所述，的取值范圍為.（2）由條件①得，，解得或，所以當時，；當時，，又因為關于的方程無實數(shù)解，所以且,所以.（3）①若函數(shù)有兩個相等的實數(shù)根，則，得，實數(shù)根，令，則，當時，，此時，有2個解；②若函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，則，得，此時兩個實數(shù)根分別是，而，即在時成立，此時，有4個解；綜上所述，集合有2個或4個元素.【點睛】（1）考查絕對值不等式中對參數(shù)進行分類討論；（2）考查函數(shù)自變量與應變量一一對應的關系；（3）考查一元二次方程的根與判別式的關系.【變式12-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?(1)若，證明：，并指出等號成立的條件;(2)已知，設關于的方程的兩個非零實數(shù)根為，問是否存在，使得對任意以及恒成立，若存在請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)或.【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系【分析】（1）利用換元法，代入后利用基本不等式即可證明；（2）由題意可轉(zhuǎn)化為有兩個非零實數(shù)根為，結合韋達定理表示并求出，進而得到，令，利用恒成立得到不等式組,解出即可.【詳解】（1）因為，當時，，令，則，所以，當且僅當時，即時,等號成立.由，得當時等號成立，所以.（2）由可得：，化簡得，所以關于的方程的兩個非零實數(shù)根為，可以轉(zhuǎn)化為有兩個非零實數(shù)根為，所以，所以，因為，所以當時，，若使恒成立，則，所以得，對任意，都有成立.設，，若使對任意，都有成立，則，解得或.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·遼寧撫順·期中）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)零點存在定理，結合選項，即可求解.【詳解】對于函數(shù)，當時,，則，，，，，所以根據(jù)零點存在定理可知，，0,1，2,3內(nèi)不一定包含的零點，內(nèi)一定包含的零點．故選：C.2．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·期中）某花店銷售某品種鮮花，當每束鮮花的售價為50元時，花店每天可以賣出18束鮮花；當每束鮮花的售價每降低1元時，花店當天可以多賣出1束鮮花．要使得該店該品種鮮花的日銷售額最大，則每束鮮花的售價應為（

）A．16元 B．18元 C．32元 D．34元【答案】D【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】設每束鮮花的售價降低元，由日銷售額，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：設每束鮮花的售價降低元，則花店該品種鮮花的日銷售額:，，故當，即每束鮮花的售價為34元時，花店該品種鮮花的日銷售額最大．故選：D3．（24-25高一上·江西·期中）單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環(huán)境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關系，其中為安全距離，為車速.當安全距離取40m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（

）A．110 B．116 C．119 D．122【答案】B【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.【詳解】由題知當且僅當，即時取“=”，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為116.故選：B.4．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】轉(zhuǎn)化為與y=fx有3個交點，利用數(shù)形結合，即可求解.【詳解】由題意可知，有3個實數(shù)根，即y=fx和有3個交點，畫出函數(shù)y=fx

若與y=fx有3個交點，則.故選：C5．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)解析式直接判斷單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷零點是否存在.【詳解】由在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是1.故選：B6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（1）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】由題意可得，計算即可得解.【詳解】由題意可得，即，即.故選：A.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖象上存在關于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)對稱性，先求出當時關于原點對稱的函數(shù)解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為當時與的圖象有公共點，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題，最后結合圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)定義域可知，，當時，設，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點，即方程在時有解，所以，即在時有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.8．（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知是上的偶函數(shù)，對于任意的，都有成立，且，當且時，都有成立.現(xiàn)給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)；④方程在上有4個根.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)對稱性的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】①在中，令即可判斷①；②由.所以的周期為4，再利用是偶函數(shù)，可得，從而可判斷②；③依題意知，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，利用的周期為4，且是偶函數(shù)，從而可判斷③；根據(jù)可判斷④．【詳解】對于任意x∈R，都有成立，令，則，即，又因為是上的偶函數(shù)，所以，則，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．①，正確；②的周期為4，又是上的偶函數(shù)，所以，故直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，即②正確；③：且時，都有成立則函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，是上的偶函數(shù)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)而的周期為4，函數(shù)在上為減函數(shù)，故③不正確；④，的周期為4，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，在2,4上為減函數(shù)，在0,4上只有一個零點2，則，所以，函數(shù)在上有4個零點，故④正確．故選：C二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、畫出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)指對冪函數(shù)零點的分布求參數(shù)范圍【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，結合圖形和二次函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷選項即可.【詳解】結合函數(shù)的圖象可知，，故A錯誤；

由，可得，故B正確；因為，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，故C正確；因為，所以，故D正確．故選：BCD10．（24-25高一上·陜西榆林·期中）定義域和值域均為?a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解C．方程有且僅有5個解 D．方程有且僅有1個解【答案】ABD【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】根據(jù)復合函數(shù)的零點求解方法，從外到內(nèi)數(shù)形結合分析，即可判斷和選擇.【詳解】對于選項A：由數(shù)形結合可知：令,或或;令,,因為，所以，由數(shù)形結合可知：,都有一個根，故方程有且僅有3個解，故選項A正確;對于選項B：由數(shù)形結合可知：令gx=0,;令，因為，由數(shù)形結合可知：都有3個根，方程有且僅有3個解，故選項B正確;對于選項C:由數(shù)形結合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數(shù)形結合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個解,故選項C錯誤；對于選項D：由數(shù)形結合可知：令gx=0,;令，因為，所以只有1解，故方程有且僅有1個解,故選項D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)，則可得到函數(shù)的零點個數(shù).三、填空題11．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若關于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，結合的性質(zhì)研究臨界情況下參數(shù)值，數(shù)形結合確定參數(shù)范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下：

而恒過定點，當與在處相切時，有僅有一個解，所以，此時，當過時，，此時，結合圖象，知時，交點至少兩個.故答案為：12．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為．【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】畫出函數(shù)圖像，結合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意得圖像段，縮小變量范圍，后將M轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題.【詳解】因為的圖象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時，解得.令，即，解得或.令時，解得.畫出草圖如下：由，，知，，又因為，由函數(shù)的對稱性，此兩點關于對稱，則.令，則，，則，，，對稱軸為，則在單調(diào)遞減..則的取值范圍為.故答案為：.四、解答題13．