第3課時(shí)完全平方公式的認(rèn)識教師備課素材示例●情景導(dǎo)入請同學(xué)們探究下列問題：一位老人非常喜歡孩子．每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人都要拿出糖果招待他們．來一個(gè)孩子，老人就給這個(gè)孩子一塊糖，來兩個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子兩塊糖，來三個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子三塊糖……(1)第一天有a個(gè)男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(2)第二天有b個(gè)女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(3)第三天這(a＋b)個(gè)孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(4)這些孩子第三天得到的糖果總數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個(gè)多？多多少？為什么？[生](1)第一天老人一共給了這些孩子a2塊糖；(2)第二天老人一共給了這些孩子b2塊糖；(3)第三天老人一共給了這些孩子(a＋b)2塊糖；(4)孩子們第三天得到的糖果總數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)比較，應(yīng)用減法，即(a＋b)2－(a2＋b2).[師]我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，現(xiàn)在遇到了兩個(gè)數(shù)的和的平方，該怎樣處理呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)情境中領(lǐng)會完全平方公式的內(nèi)涵．建議：將(a＋b)2轉(zhuǎn)化成(a＋b)(a＋b)計(jì)算出結(jié)果，進(jìn)一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征．●歸納導(dǎo)入自主探究：計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝__p2＋2p＋1__；(2)(m＋2)2＝__(m＋2)(m＋2)__＝__m2＋4m＋4__；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝__p2－2p＋1__；(4)(m－2)2＝__(m－2)(m－2)__＝__m2－4m＋4__；(5)(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；(6)(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__．【歸納】兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍．【教學(xué)與建議】教學(xué)：采用自主探究的教學(xué)方法，讓學(xué)生領(lǐng)會完全平方公式的內(nèi)涵．建議：學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)公式后教師可進(jìn)一步要求學(xué)生類比平方差公式的驗(yàn)證過程來驗(yàn)證完全平方公式．●置疑導(dǎo)入問題：我校在1月份開展衛(wèi)生評比活動，下面是七年級(1)班和(2)班向?qū)W校提出的申請：(1)哪位同學(xué)能把(1)班與(2)班的要求通過圖形畫出來呢？(2)通過圖形可發(fā)現(xiàn)七年級(1)班與(2)班的要求一樣嗎？(3)那么七年級(1)班與(2)班新衛(wèi)生區(qū)的面積如何表示呢？(4)由此你可以得出什么結(jié)論？(a＋b)2≠a2＋b2；(5)那么(a＋b)2到底等于什么呢？這就是我們這節(jié)課所要探討的問題．【教學(xué)與建議】教學(xué)：讓學(xué)生分角色對話，結(jié)合圖形，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣．建議：采用一問一答的方式，讓學(xué)生積極思考，認(rèn)真完成．·命題角度1直接運(yùn)用完全平方公式計(jì)算完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，口訣記憶為：首平方，尾平方，2倍之積在中央．【例1】計(jì)算(2x－y)2的結(jié)果是(A)A．4x2－4xy＋y2B．4x2－2xy＋y2C．4x2－y2D．4x2＋y2【例2】計(jì)算：(2a＋b)2.解：(2a＋b)2＝(2a)2＋2·2a·b＋b2＝4a2＋4ab＋b2.·命題角度2綜合利用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算整式乘除的法則比較多，準(zhǔn)確地掌握各運(yùn)算法則的結(jié)構(gòu)特征才能靈活運(yùn)用．【例3】下列計(jì)算正確的是(C)A．a(chǎn)2·a3＝a6B．(x＋y)2＝x2＋y2C．(a5÷a2)2＝a6D．(－3xy)2＝9xy2【例4】下列計(jì)算錯(cuò)誤的是(C)A．x3÷x2＝xB．a(chǎn)3·a2＝a5C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2·命題角度3綜合運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算(1)對于三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的多項(xiàng)式乘法計(jì)算，如果具備乘法公式的特點(diǎn)，仍然可以用平方差公式或完全平方公式；(2)在此變形過程中，要運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，正確添加括號，確定好a和b兩項(xiàng)，套用公式計(jì)算．【例5】為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列變形正確的是(C)A．[x－(3y＋1)]2B．[x＋(3y＋1)]2C．[x＋(3y－1)][x－(3y－1)]D．[(x－3y)＋1][(x－3y)－1]【例6】計(jì)算：(x－y－z)2＝__x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz__．·命題角度4利用乘法公式化簡求值整式的化簡求值問題應(yīng)注意：(1)運(yùn)用公式時(shí)，括號前是負(fù)號的，去括號時(shí)要注意變號；(2)結(jié)果中有同類項(xiàng)的一定要合并同類項(xiàng)．【例7】先化簡，再求值：(1)(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝eq\f(1,3)，y＝1；解：原式＝y(tǒng)2－3xy.當(dāng)x＝eq\f(1,3)，y＝1時(shí)，原式＝12－3×eq\f(1,3)×1＝1－1＝0；(2)(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝eq\f(1,2).解：原式＝4ab.當(dāng)a＝－2，b＝eq\f(1,2)時(shí)，原式＝4×(－2)×eq\f(1,2)＝－4.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算．2．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力．▲重點(diǎn)理解公式的本質(zhì)，并會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算．▲難點(diǎn)會用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、推導(dǎo)、猜想等．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)1．計(jì)算：(1)(m＋5)2；(2)(3＋2x)2.解：(1)原式＝(m＋5)(m＋5)＝m2＋10m＋25；(2)原式＝(3＋2x)(3＋2x)＝9＋12x＋4x2.2．如圖，最大正方形的面積可用兩種形式表示：①__(a＋b)2__，②__a2＋2ab＋b2__，由于這兩個(gè)代數(shù)式都表示該大正方形的面積，所以應(yīng)相等，即__(a＋b)2__＝__a2＋2ab＋b2__．◆活動2實(shí)踐探究交流新知【探究1】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2問題1：觀察下列算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？(m＋5)2＝(m＋5)(m＋5)＝m2＋5m＋5m＋25＝m2＋2×5m＋25＝m2＋10m＋25.(3＋2x)2＝(3＋2x)(3＋2x)＝9＋3×2x＋3×2x＋4x2＝9＋2×3×2x＋4x2＝9＋12x＋4x2.問題2：再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)．問題3：你能用自己的語言敘述公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2嗎？兩個(gè)數(shù)和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)積的2倍．問題4：你能用圖形解釋這一公式嗎？(a＋b)2＝ab＋a2＋b2＋ab＝a2＋2ab＋b2.兩個(gè)數(shù)和的平方用字母表示為(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.【探究2】(a－b)2＝a2－2ab＋b2問題1：(a－b)2＝？你是怎樣做的？方法1：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2.方法2：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.問題2：分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并用語言來描述完全平方公式．【歸納】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是二項(xiàng)式(兩數(shù)和或差)的平方；右邊是兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)乘積的2倍．語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例【例1】利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x－3)2；(2)(4x＋5y)2；(3)(mn－a)2.【方法指導(dǎo)】引導(dǎo)學(xué)生利用公式特點(diǎn)寫出解答過程，規(guī)范解答過程．解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·3＋32＝4x2－12x＋9；(2)原式＝(4x)2＋2·4x·5y＋(5y)2＝16x2＋40xy＋25y2；(3)原式＝(mn)2－2·mn·a＋a2＝m2n2－2amn＋a2.【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．【方法指導(dǎo)】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值．解：因?yàn)?6x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，所以m＋1＝±60，所以m＝59或－61.【例3】閱讀下列材料并解答后面的問題：對完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危鏰2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，從而使某些問題得到解決．例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19.問題解決：(1)填空：(a＋b)2＝(a－b)2＋________；(2)已知a＋eq\f(1,a)＝6，則a2＋eq\f(1,a2)＝________；(3)已知a－b＝2，ab＝3，分別求a2＋b2，a4＋b4的值．【方法指導(dǎo)】(1)應(yīng)用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2來解決；(2)利用a＋eq\f(1,a)＝6，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)＝a2＋2·a·eq\f(1,a)＋eq\f(1,a2)＝a2＋eq\f(1,a2)＋2求出a2＋eq\f(1,a2)；(3)靈活運(yùn)用完全平方公式的變式求代數(shù)式的值．解：(1)4ab(2)34(3)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝22＋2×3＝10，a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2(ab)2＝102－2×32＝82.◆活動4隨堂練習(xí)1．下列各式中哪些不可以運(yùn)用完全平方公式計(jì)算(B)A．(a＋b)(a＋b)B．(x＋y)(－y＋x)C．(ab－3x)(－3x＋ab)D．(－m－n)(m＋n)2．指出下列各式中的錯(cuò)誤，并加以改正：(1)(2a－1)2＝2a2－2a＋1；(×)改正：(2a－1)2＝4a2－4a＋1；(2)(2a＋1)2＝4a2＋1.(×)改正：(2a＋1)2＝4a2＋4a＋1.3．若a＋b＝7，求a2＋2ab＋b2的值．解：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝72＝49.4．課本P21隨堂練習(xí)T1、T2.◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)【學(xué)生活動】1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些困