-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）挑戰(zhàn)壓軸【典型例題】1．（2020·湖北黃石市·）定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1，點C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點C是線段AB的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點P是DE的三等分點，求DP的長．（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動；點Q從點B出發(fā)，先向點A方向運動，當(dāng)與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm，設(shè)運動時間為t秒．①若點P點Q同時出發(fā)，且當(dāng)點P與點Q重合時，求t的值．②若點P點Q同時出發(fā)，且當(dāng)點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．【答案】（1）當(dāng)DP為短的部分時，DP：PE=1：2，可得DP=5當(dāng)DP為長的部分時，DP：PE=2：1，可得DP=10（2）①當(dāng)點P與點Q重合時，t+2t=15，即t=5.②當(dāng)點P是線段AQ的三等分點時,AQ=15-2t或或或解得t=3或t=或t=10.【點睛】本題考查的知識點是線段的計算，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握線段的計算.【專題訓(xùn)練】解答題1．（2020·宜興外國語學(xué)校七年級月考）如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個點，點O為原點，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個單位，線段AB的長度為2個單位，且B、C兩點之間的距離為13個單位，請解答下列問題：（1）點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點B以每秒2個單位的速度向右勻速運動t秒運動到線段CD上，且BC的長度是3個單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個單位的速度向右勻速運動，線段CD以每秒3個單位的速度向左勻速運動，把線段CD的中點記作P，求出點P與線段AB的一個端點的距離為2個單位時運動的時間．【答案】（1）∵點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是11，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣8，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10；（2）B運動到CD上時，走過的路程為2t，減去BC的距離即為此時BC的長度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由題意得，線段CD的中點P的位置為8，分三種情況討論：①當(dāng)點P在點B右側(cè)2個單位時，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②當(dāng)點P在點B左側(cè)2個單位時，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此時P與A重合；③當(dāng)點P在點A左側(cè)2個單位時，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；綜上，當(dāng)t=2.8或3.6或4時，點P與線段AB的一個端點的距離為2個單位．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．2．（2018·浙江七年級月考）已知：如圖1，點、、依次在度線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點沿進(jìn)時針方向以每秒的速度前轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為（0秒≤≤60秒）．（1）用含的代數(shù)式表示下列各角的度數(shù)：______，______．（2）在運動過程中，當(dāng)0秒秒時，達(dá)到，求的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線是由射線．射線、射線中的其中兩條組成的角（指大于而不超過的角）的平分線？如果存在，請直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或360-6t，故答案為：3t，6t或360-6t；

（2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°，

∴3t+6t+45°=180°，

∴t=15s

若OA，OB相遇后，∠AOB=45°，

∴3t+6t-45°=180°，

∴t=25s

∴t為15秒或25秒時，∠AOB=45°；（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

①OB平分∠AOM時，∵，∴，解得：t=24；

②OB平分∠MON時，∵，即∠BOM=90°，∴6t=90，或6t-180=90，

解得：t=15，或t=45；③OB平分∠AON時，∵，∴，解得：t=12；

綜上，當(dāng)t的值分別為12、15、24、45秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．【點睛】本題主要考查角的計算和角平分線性質(zhì)的運用，一元一次方程的應(yīng)用．OB為角平分線時分類討論是解題的關(guān)鍵和難點．3．（2020·江蘇南京市·七年級期中）（概念提出）數(shù)軸上不重合的三個點，若其中一點到另外兩點的距離的比值為n（n≥1），則稱這個點是另外兩點的n階伴侶點．如圖，O是點A、B的1階伴侶點；O是點A、C的2階伴侶點；O也是點B、C的2階伴侶點．（初步思考）（1）如圖，C是點A、B的階伴侶點；（2）若數(shù)軸上兩點M、N分別表示－1和4，則M、N的階伴侶點所表示的數(shù)為；（深入探索）（3）若數(shù)軸上A、B、C三點表示的數(shù)分別為a、b、c，且點C是點A、B的n階伴侶點，請直接用含a、b、n的代數(shù)式表示c．【答案】解：（1）∵O是點A、B的1階伴侶點；O是點A、C的2階伴侶點；O也是點B、C的2階伴侶點，∴OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，∴AC=3BC，∴C是點A、B的3階伴侶點；故答案是：3（2）設(shè)表示的數(shù)為x,由題意有：①|(zhì)x+1|=|x-4|，解得，x=1或x=-11，②|x-4|=|x+1|，解得，x=2或x=14，綜上所述，M、N的階伴侶點所表示的數(shù)為－11，1，2，14；（3）①當(dāng)n＝1時，c＝．②當(dāng)n＞1時，無論a＞b或a＜b，均有下列四種情況：點C在點A、B之間且靠近點B時，c＝a＋(b－a)；點C在點A、B之間且靠近點A時，c＝a＋(b－a)；點C在點A、B之外且靠近點B時，c＝a＋(b－a)；點C在點A、B之外且靠近點A時，c＝a－(b－a)．【點睛】本題主要考查新定義“n階伴侶點”，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，結(jié)合分類討論思想解決問題．4．（2020·長沙市雅禮實驗中學(xué)七年級月考）一副直角三角板（含45°的直角三角尺和含30°，60°的直角三角尺），如圖1放置（∠C=30°，∠D=45°），PA，PB與直線MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，求∠DPC的度數(shù)；（2）如圖2，若三角尺PAC由圖1位置繞點P逆時針以2°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時三角尺PBD由圖1位置繞P點逆時針以1°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，在兩個三角尺旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PC旋轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩個三角尺都停止轉(zhuǎn)動．①當(dāng)t為何值時，PC平分∠DPN？②過A點作AH垂直MN于點H，在旋轉(zhuǎn)過程中若∠DPM≠0，則的值是否會發(fā)生變化，若不變求其值，若變化，請說明理由．【答案】解：（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，∴∠DPC=180°-45°-60°=75°，故答案為：75°；（2）①由題意可得：t秒時，∠DPM=（45-t）°，∠APN=2t°，∠CPN=（2t+60）°∴∠DPN=180°-（45-t）°=（135+t）當(dāng)，PC平分∠DPN時，∴，解得t=5即t為5時，PC平分∠DPN②由題意可得：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點D在直線MN上方時，∠DPM=；當(dāng)點D在直線MN下方時，∠DPM=；∴∠DPM=當(dāng)∠APH≤90°時，當(dāng)∠APH＞90°時，∴∴即為定值，

【點睛】此題主要考查了角的計算，利用數(shù)形結(jié)合得出等式是解題關(guān)鍵，還要理清角之間的關(guān)系．5．（2020·安徽合肥市·七年級期中）如圖，、兩點在數(shù)軸上，這兩點在數(shù)軸對應(yīng)的數(shù)分別為、．點、分別從，兩點同時出發(fā)，在數(shù)軸上運動，它們的速度分別是個單位/秒、個單位/秒，它們運動的時間為秒，點對應(yīng)的數(shù)是．（規(guī)定：數(shù)軸上兩點，之間的距離記為）（1）如果點、在、之間相向運動，當(dāng)它們相遇時，_____，此時點所走的路程為______，點所走的路程為______，則點對應(yīng)的數(shù)是_______；（2）如果點、都向左運動，當(dāng)點追上點時，求點對應(yīng)的數(shù)；（3）如果點、在點、之間相向運動，當(dāng)時，求點對應(yīng)的數(shù)；【答案】解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒時，點P與點Q相遇，由題意得：

2t+4t=16-（-12）

∴6t=28

∴t=

∴此時點所走的路程為，點所走的路程為點P對應(yīng)的數(shù)為：-12+2×=-故答案為：、、、（2）因為個單位，所以追上的時間秒，所以點對應(yīng)的數(shù)為（3）當(dāng)時，分兩種情況：①、相遇前相距個單位，，此時點對應(yīng)的數(shù)為．②、相遇后相距個單位，，此時點對應(yīng)的數(shù)為綜上所述，點對應(yīng)的數(shù)為或．【點睛】本題綜合考查了動點在數(shù)軸上的運動問題，其中涉及到了相遇行程問題，追及行程問題等知識點，具有較強(qiáng)的綜合性．6．（2020·東北師大附中明珠學(xué)校七年級期中）如圖，在正方形中，＝16，動點從點出發(fā)，沿、邊向點以2的速度運動，到達(dá)點停止運動；動點從點出發(fā)沿邊向點以0.5的速度運動，到達(dá)點停止運動，、同時開始運動，用（）表示移動時間．（1）請用含的代數(shù)式表示下列線段的長度：當(dāng)點在上運動時，＝，＝．當(dāng)點在上運動時，＝，＝．（2）當(dāng)點在上運動時，為何值時，能使＝？（3）點能否追上點？如果能，求出值；如果不能，請說明理由．（4）點在上時，當(dāng)為何值時，點和點的距離為2？【答案】解：由題意得：（1）當(dāng)點在上運動時，當(dāng)點在上運動時，如圖，由由故答案為：（2）當(dāng)點在上運動時，所以當(dāng)時，（3）如圖，當(dāng)點在上運動時，當(dāng)時，追上即當(dāng)，點追上點．（4）當(dāng)在的左邊時，當(dāng)在的右邊時，綜上：當(dāng)或時，點和點的距離為2．【點睛】本題考查的是一元一次方程的幾何應(yīng)用，同時考查了行程問題，線段的和差，掌握利用方程解決幾何問題是解題的關(guān)鍵．7．（2020·江蘇南通市·南通田家炳中學(xué)七年級月考）（閱讀理解）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于∠BOD＝∠AOD，稱射線OD是射線OB的伴隨線．（知識運用）（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM＝°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是．（用含α的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．②當(dāng)t為多少秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【答案】解：（1）如圖，射線是OA的伴隨射線，,，同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，,射線OC是∠AOB的平分線，,=，故答案為：（2）射線OD與OA重合時，t＝＝36（秒）①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，則5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，綜上所述，當(dāng)t＝20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：（i）如圖1，OC是OA的伴隨線時，則∠AOC＝∠CO