2015年河南省鄭州市高考數(shù)學二模試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個符合題目要求.

1.（5分）（2015?鄭州二模）設(shè)i是虛數(shù)單位，好數(shù)則|z仁（）

1+1

A.1B.^2C.V3D.2

2.（5分）（2015?鄭州二模）集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={xeZ|x2-5x+4<0},

貝ij?u（AUB）=（）

A.{0,1,3,4}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{0}

3.（5分）（2015?鄭州二模）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平

均數(shù)也相同，則圖中的m、n的比值工二（）

n

A.1B.1C.2D.2

398

4.（5分）（2015?鄭州二模）某校開設(shè)A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學從中選

3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）

A.3種B.6種C.9種D.18種

5.（5分）（2015?鄭州二模）如圖,y=f（x）是可導函數(shù),直線L：y=kx+2是曲線y=f（x）

在x=3處的切線，令g（x）=xf（x）,g'（x）是g（x）的導函數(shù)，則g，（3）=（）

A.-1B.0C.2D.4

6.（5分）（2015?鄭州二模）有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：

pi：sinx=siny?x+y=n或x=y；

p2：?xGR,sin2—+cos2—=1；

22

p3：x,yGR,cos（x-y）=cosx-cosy；

P4：?xe[0,爭Jl+c：s2x=cosx.

其中真命題是（）

A.pl,p2B.p2?p3C.pl?p4D.p2,p4

'2x-y>0

7.（5分）（2015?鄭州二模）若實數(shù)x、y滿足，y>x且z=2x+y的最小值為4,則實數(shù)

V〉-x+b

b的值為（）

A.1B.2C.&D.3

2

8.（5分）（2015?鄭州二模）如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面

積為（）

A.8nB.16nC.32nD.64n

x+3,

9.（5分）（2015?鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=<函數(shù)g<x）=f（x）-2x

X2+6X+3,x<a

恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（)

A.[-1,3)B.[-3,-1]C.[-3,3)D.[-I)

10.(5分)(2015?鄭州二模)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知sin

(B+A)+sin(B-A)=2sin2A,且cC=—,則△ABC的面積是()

3

A."B.挺C.返D.瀉集

46346

II.（5分）（2015?鄭州二模）如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,E為邊AB的中點，將△ADE

沿直線DE翻折成△AiDE,若M為線段AC的中點，則在AADE翻折過程中，下面四個

命題中不正確的是（）

A.|BM|是定值

B.點M在某個球面上運動

C.存在某個位置，使DE_LAiC

D.存在某個位置，使MBII平面AiDE

22

12.（5分）（2015?鄭州二模）己知雙曲線工-三=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別是

2,2

ab

Fi,F2,過F2的直線交雙曲線的右支于P,Q兩點,若|PFi|=|FF〃且3|PF2|二2|QF2|,則該

雙曲線的離心率為（）

A.1B.勻C.2D.衛(wèi)

533

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）（2015?鄭州二模）己知點A（-1,1）、B（0,3）、C（3,4）,則向量屈在菽

方向上的投影為.

14.（5分）（2015?鄭州二模）已知實數(shù)m是2和8的等比中項，則拋物線產(chǎn)iw?的焦點坐

標為.

15.（5分）（2015?鄭州一模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值是.

16.（5分）（2015?鄭州二琪）己知偶函數(shù)尸f（X）對于任意的xW[0,—）滿足？（x）cosx+f

2

（x）sinx>0（其中f（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式中成立的有.

（1）血（--）<f（―）

34

（2）&f（-2E）>f（--）

34

（3）f（0）<V2f（）

4

（4）f（—）<V3f（—）

63

三、解答題（共8小題，滿分70分）

17.（12分）（2015?鄭州二模）已知等差數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，ai=l,且a3,a4+4,au

2

成等比數(shù)列.

（I）求an的通項公式；

（D）設(shè)bn=--—，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

anan+l

18.（12分）（2015?鄭州二模）如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，四邊形AA1C1C是邊長

為2的菱形，平面ABC_L平面AAiCiC,ZA|AC=6O\ZBCA=90°.

（I）求證：AiB±ACi；

（D）已知點E是AB的中點，BC=AC,求直線ECi與平面ABBIAI所成的角的正弦值.

19.（12分）（2015?鄭州二模）某商場每天（開始營業(yè)時）以每件150元的價格購入A商品

若干件（A商品在商場的保鮮時間為10小時，該商場的營業(yè)時間也恰好為10小時），并開

始以每件300元的價格出售，若前6小時內(nèi)所購進的商品沒有售完，則商店對沒賣出的A

商品以每件100元的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗，4小時內(nèi)完全能夠把A商品低價處理完

畢，且處理完后，當天不再購進A商品）.該商場統(tǒng)計了100天A商品在每天的前6小時內(nèi)

的銷售量，制成如下表格（注：視頻率為概率）.（其中x+y=70）

前6小時內(nèi)的銷售量t（單位：件）456

頻數(shù)30xy

（I）若某該商場共購入6件該商品，在前6個小時中售出4件.若這些產(chǎn)品被6名不同的

顧客購買,現(xiàn)從這6名顧客中隨機選2人進行回訪，則恰好一個是以30（）元價格購買的顧客,

另一個以100元價格購買的顧客的概率是多少？

（n）若商場每天在購進5件A商品時所獲得的平均利潤最大，求x的取值范圍.

22

20.（12分）（2015?鄭州二模）設(shè)橢圓C：^-+^-=1(a>b>0),Fi、F2為左右焦點，B為

2,2

ab

短軸端點，且Sc=4,離心率為亞，O為坐標原點.

△BF32

（I）求橢圓C的方程；

（D）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M、N,

口滿足I而+而=1而-而I?若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.

21.（12分）（2015?鄭州二模）己知函數(shù)f（x）=ax+ln（x-1）,其中a為常數(shù).

（I）試討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（U）若時，存在x使得不等式|f（x）|?一^421nx+bx成立,求b的取值范圍.

1-ee-12x

22.（10分）（2015?鄭州二模）如圖,已知圓O是△ABC的外接圓,AB=BC,AD是BC

邊上的高，AE是圓O的直徑.過點C作圓O的切線交BA的延長線于點F.

（I）求證：AC?BC=AD?AE；

（H）若AF=2,CF=2W，求AE的長.

23.（2015?鄭州二模）在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為

xW^cosa+sin。

,9（a為參數(shù)），若以直角坐標系中的原點O為極點，x

尸2?sin。cosCl-2sina+2

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為psin（9+—）罵（t為參數(shù)）.

42

（I）求曲線M和N的直角坐標方程；

（H）若曲線N與曲線M有公共點，求t的取值范圍.

24.（2015?鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=|3x+2|.

(I)解不等式f(x)<4-|x-l|;

(II)已知m+n=l(m,n>0),若|x-a|-f(x)<—+—(a>0)恒成立，求實數(shù)a的取值范

nn

圍.

2015年河南省鄭州市高考數(shù)學二模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個符合題目要求.

1.（5分）（2015?鄭州二模）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=Z,則|z|二（）

1+i

A.1B.&C.無D.2

【考點】復(fù)數(shù)求模.

【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出.

二

【解答】解:?_22iQ-i)(1-i)=i+l,

1+i(1+i)(1-i)

貝憫=近

故選：B.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2015?鄭州二模）集合U={0,I,2,3,4},A={l,2},B={xGZ|x2-5x+4<0）,

則？u（AUB）=（）

A.{0,1,3,4}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{0}

【考點】交、并、補集的混合運算.

【專題】集合.

【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整數(shù)解確定出B,求出A與B的并集,

找出全集中不屬于并集的元素，即可求出所求

【解答】解：集合B中的不等式x2-5X+4C0,

變形得：（x-I）（x-4）<0,

解得：l<x<4,

AB={2,3},

vA={1,2},

「.AUB={1,2,3},

...集合U={0,1,2,3,4},

/.?u（AUB）={0,4}.

故選：C.

【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握交、并、補集的定義是解本題的關(guān)

犍.

3.（5分）（2015?鄭州二模）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平

均數(shù)也相同，則圖中的m、n的比值工=()

n

A.1B.1C.2D.2

398

【考點】莖葉圖.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)莖葉圖，利用中位數(shù)相等，求出m的值，再利用平均數(shù)相等，求出n的值即

可.

【解答】解：根據(jù)莖葉圖，得；

乙的中位數(shù)是33,

.?.甲的中位數(shù)也是33,即m=3；

甲的平均數(shù)是藐=」(27+39+33)=33,

甲3

乙的平均數(shù)是二二1(20+n+32+34+38)=33,

x乙4

n=8；

?.?ir_3?

n8

故選：D.

【點評】本題考查了中位數(shù)與平均數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題目.

4.(5分)(2015?鄭州二模)某校開設(shè)A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學從中選

3n.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()

A.3種B.6種C.9種D.18種

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】排列組合.

【分析】兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；

A類選修課選2門，B類選修課選1門，寫出組合數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果

【解答】解：可分以下2種情況：①A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C2k32種

不同的選法；

②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C22c種不同的選法.

???根據(jù)分類計數(shù)原理知不同的選法共有C2,C32+C22C3,=6+3=9種.

故要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有9種.

故選：C

【點評】本小題主要考查分類計數(shù)原理、組合知識，以及分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)(2015?鄭州二模)如圖,y=f(x)是可導函數(shù)，直線L：y=kx+2是曲線y=f(x)

在x=3處的切線，令g(x)=xf(x),gz(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)=()

A.-1B.0C.2D.4

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】導數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】先從圖中求出切線過的點，再求出直線L的方程，利用導數(shù)在切點處的導數(shù)值為

切線的斜率，最后結(jié)合導數(shù)的概念求出g'(3)的值.

【解答】解：???直?線L：產(chǎn)kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線，

f(3)=1,

又點(3,1)在直線L上，

3k+2=l,從而k=一］，

3

f(3)=k=-i

3

g(x)=xf(x),

gz(x)=f(x)+xf(x;

則g，⑶=f(3)+3f(3)

=l+3x(-1)

3

=0,

故選：B.

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，曲線在切點處的導數(shù)值為曲線的切線的斜率.

6.(5分)(2015?鄭州二模)有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：

pi：sinx=siny?x+y=n或x=y；

p2：?xGR,sin2—+cos2-^=l；

22

p3：x,yER,cos(x-y)=cosx-cosy；

P4：?xG[0,亨,Jl+c；s2x=cosx.

其中真命題是()

A.pl,p2B.p2，p3C.pl,p4D,p2,p4

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】二角函數(shù)的求值；簡易邏輯.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及周期性，可判斷/；根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)

系，可判斷P2;根據(jù)兩角差的余弦公式，可判斷P3;根據(jù)二倍解的余弦公式，及根式的運

算性質(zhì)，可判斷P4.

【解答】解:pi：Ssinx=siny?x+y=n+2kRsKx=y+2kn,keZ,故錯誤;

P2：根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系，可得：？xWR,sin2R+cos2E=l,故正確；

22

p3：x,y€R,cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny,與cosx-cosy不一定相等，故錯誤；

p4：?xe[0,=|cosx|=cosx,故正確.

故選：D.

【點評】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，全(特)稱命題，三角函數(shù)，屬于基

礎(chǔ)題.

'2x-y>0

7.(5分)(2015?鄭州二模)若實數(shù)x、y滿足，y>x且z=2x+y的最小值為4,則實數(shù)

V〉-x+b

b的值為()

A.1B.2C.&D.3

2

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】作出不等式組對于的平面區(qū)域，根據(jù)z=2x+y的最小值為4,利用數(shù)形結(jié)合即可得

到結(jié)論.

【解答】解：作出不等式組對于的平面區(qū)域如圖：

z=2x+y的最小值為4,艮|J2x+y=4,

且y=-2x+z,貝I」直線y=-2x+z的截距最小時，z也取得最小值，

則不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域在直線y=-2x+z的上方，

由產(chǎn)尸4,,解得卜二1,

2x-y=0y=2

即A（1,2）,

此時A也在直線y:-x+b上，

即2=-1+b,

解得b=3,

故選：D

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)

鍵.

8.（5分）（2015?鄭州二模）如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面

積為（）

A.8nB.16nC.32nD.64n

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與

以俯視圖為底面，以4為島的直二棱柱的外接球相同，進而可得該幾何體外接球的表面積.

【解答】解：由己知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，

其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，

如圖所示：

由底面底邊長為4,高為2,故底面為等腰直角三角形，

可得底面外接圓的半徑為：r=2,

由棱柱高為4,可得球心距為2,

故外接球半徑為：R=亞奇=2加，

故外接球的表面積S=47U<2=32TI,

故選：C

【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的

形狀.

x+3,

9.（5分）（2015?鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=<函數(shù)g（x）=f（x）-2x

X2+6X+3,x<a

恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-1,3）B.[-3,-I]C.[-3,3）D.[-1,1）

【考點】函數(shù)零點的判定定理；分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

-x+3xa

【分析】化簡g（x）=f（x）-2x=|'，而方程?x+3=0的解為3,方程X2+4X+3=0

XT4X+3,x4a

'3>a

的解為-I,-3；從而可得從而解得.

-34a

'x+3,x>a

【解答】解：???￡(x)

X2+6X+3,x<a

g(x)=f(x)-2x

-x+3,x>a

x2+4x+3,x<a

而方程-x+3=0的解為3,方程X2+4X+3=0的解為-1,-3；

若函數(shù)g(x)=f(x)-2x恰有三個不同的零點，

'3>a

則<-l<a,

-34a

解得，?14aV3

實數(shù)a的取值范圍是［-1,3).

故選：A.

【點評】本題考查了分段函數(shù)的化簡與函數(shù)零點的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.(5分)(2015?鄭州二模〉在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,己如sin

(B+A)+sin(B-A)=2sin2A,且c=J^,C=—,則△ABC的面積是()

3

A.2.4返D.”或掛

46346

【考點】兩角和與差的正弦函數(shù).

【專題】解三角形.

【分析】依題意，可求得B?A二空-2A,利用兩角差的正弦可求得sin(2A-冗)—_一1，

362

又AE(0,")，可求得A=d或A=21,分類討論即可求得△ABC的面積

362

【解答】解：.??在△ABC中，C=—,

3

B=-？2L-A,B-A=-^2E-2A,

33

sin(B+A)+sin(B-A)=2sin2A

sinC+sin(N兀-2A)=2sin2A>

3

UPsinC+^-^cos2A+iin2A=2sin2A,

22

整理得：J^sin(2A--)=sinC=YX

62

/.sin(2A-—)=」，又AW(0,空)，

623

2A-或2A-兀二5兀,

6666

解得A=2L或A=2L,

62

當時，B=—,tanC=—=—=V3?解得

62aa3

SAABC=-^icsinB=—

2236

當A=~^時，B=—,同理可得SAABC=1亞；

266

故選：B

【點評】本題主要考查正弦定理、兩角和差的正弦、余龍公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中

檔題

11.（5分）（2015?鄭州二模）如圖,矩形ABCD中，AB=2AD,E為邊AB的中點,將△ADE

沿直線DE翻折成△AIDE,若M為線段AIC的中點，則在4ADE翻折過程中，下面四個

命題中不正確的是（）

A.|BM|是定值

B.點M在某個球面上運動

C.存在某個位置，使DE_LAiC

D.存在某個位置，使MBII平面AiDE

【考點】平面與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】取CD中點F,連接MF,BF,則平面MBFII平面A1DE,可得D正確；由余弦定

理可得MB?=MF2+FB2-2MF?FB?COS/MFB,所以MB是定值，M是在以B為圓心，MB

為半徑的圓上，可得A,B正確.AiC在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直，

可得C不正確.

【解答】解：取CD中點F,連接MF,BF,則MFIIDAi,BFIIDE,.,.平面MBFII平面

AIDE,

MBII平面AIDE,故D正確

由NA1DE=NMFB,MF」AiD二定值，F(xiàn)B二DE二定值，

2

由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF?FB?cosNMFB,所以MB是定值，故A正確.

,/B是定點，「.M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，故B正確，

???AiC在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直，

.?.存在某個位置，使DEJLAC不正確.

故選：C.

【點評】掌握線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理及線面角、二面角的定義及求法是解

題的關(guān)鍵.

22

12.（5分）（2015?鄭州二模）已知雙曲線當-三=|（a>0,b>0）的左、右焦點分別是

2,2

ab

F],F2,過F2的直線交雙曲線的右支于P,Q兩點,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|二2|QF2|,則該

雙曲線的離心率為（）

A.」B.勻C.2D.衛(wèi)

533

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】先作出圖形，并作出雙曲線的右準線I,設(shè)P至J1的距離為d,根據(jù)雙曲線的第二

定義即可求出Q至1的距離為微小過Q作?的垂線QQi，而過P作QQi的垂線PM,交x

2

a

c——-d5c--

軸于N,在^PNIQ中有——臺—=1這樣即可求得d=------根據(jù)已知條件及雙曲

56

2d

2c-2ac

線的定義可以求出|PF2|=2C-2a,所以根據(jù)雙曲線的第二定義即可得到-----”二二進一

5c-二

c

步可整理成5(￡)2-12(￡)+7=0＞這樣解關(guān)于￡的方程即可.

aaa

【解答】解：如圖，1為該雙曲線的右準線，設(shè)P到右準線的距離為d；

過P作PPiJJ,QQi±l,分別交1于Pi,Qi；

IPF2IIQF2I

3IPF2I-2IQF2I;

IPPIriQQiT

d23

iQQi用小

2

c一—a一dj一

INF2|c2

過P作PMJ_QQ1,垂直為M,交x軸于N,則:

|MQ|-1,飛；

2d

s5a2

5c-----

A解得d=------

6

...根據(jù)雙曲線的定義，|PFi|-|PF2|=2a,|PF2|=2C-2a；

2c-2ac

二根據(jù)雙曲線的第二定義，-----二二二二

5c-二

c

T

整理成：5(-)2-12(-)+7=0：

aa

.?.解得￡」，或￡二1(舍去)；

a5a

即該雙曲線的離心率為工

5

故選A.

【點評】考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準線方程，雙曲線的焦距、焦點的概念，以及對

雙曲線的定義的運用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關(guān)系.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.（5分）（2015?鄭州二模）已知點A（-1,1）、B（0,3）、C（3,4）,則向量AB在AC

方向上的投影為2.

【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】首先分別求出標，血的坐標，然后利用向量的數(shù)量積公式求投影.

【解答】解：由已知得到語（1,2）,AC=（4,3）,

所以向量標在位方向上的投影為毀二AJ1CL2:

lACl5

故答案為：2.

【點評】本題考查了有向線段的坐標表示以及利用向量的數(shù)量枳求向量的投影:屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2015?鄭州二模）已知實數(shù)m是2和8的等比中項,則拋物線y=mx?的焦點坐

標為（0,±_L）.

16-

【考點】拋物線的簡單性質(zhì).

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由等比中項概念求得m的值，代入拋物線方程，分m=4和m=-4求得拋物線的焦

點坐標.

【解答】解:,,,實數(shù)m是2和8的等比中項,

/.m2=16?m=±4,

由y=mx2,得/2二y,

m

若m=4,則乂2,丫，即2p」，RhL焦點坐標為（0,—）；

4y421616

若m=-4,則乂2二一工，即2P=工，衛(wèi)」?，焦點坐標為（0,-—

4421616

.,?拋物線y=mx2的焦點坐標為：（0,±JL）.

故答案為：（0,土工）.

16

【點評】本題考查了等比中項的概念，考查了拋物線的簡單兒何性質(zhì)，屬中檔題.

15.（5分）（2015?鄭州二模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S俏是-1-吏,

2-

【考點】程序框圖.

【專題】三角函數(shù)的求值；算法和程序框圖.

【分析】模擬程序框圖的運行過程，得出該程序運行后輸出的是

s=coJL+COS空+COS型+COS"+co￡￡+…+co/l4兀的值,由此求出結(jié)果即可.

444444

【解答】解：模擬程序框務(wù)的運行過程，如下；

n=l,s=0,s=0+cos—

42

,V2冗一比.

n=2,*2015?,否,S-十+LU3-----；

222

7r

n=3,n>2015?，否,s=—+cos^=0；

24

n=4,n>20157,否,s=0+cosn=-I；

-5兀.V2

n=5,n>2015?,否,S=-1+COS—_=-1--^-=;

42

s=-1-及+cos12S=-1-2/2.

n=6,*2015?,否,

222

n=7,n>2015?,否,S=-1--+COS~I；

24

n=8,n>20157,否,s=-l+cos2n=0：

s=0+cos9冗二亞;...；

n=9?*2015?,否,

42

s的值是隨n的變化而改變的，且周期為8,

又2015=251x8+7,此時終止循環(huán),

輸出的s值與n=6時相同，為s=-1-乂^.

2

故答案為：

2

【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，也考查了余弦函數(shù)求值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

16.（5分）（2015?鄭州二模）已知偶函數(shù)y=f（x）對于任意的x曰0,—）滿足f（x）cosx+f

2

（x）sinx>0（其中/（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式中成立的有（2）（3）

（4）.

⑴（-￡）<f（親

（2）V2f（-—）>f（-—）

34

（3）f（0）<V2f（）

4

（4）f（—）<V3f（—）

63

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】運用g'（X）='（X）cosx；f（X）一亞>0,構(gòu)造函數(shù)g（X）=f（X）是單

cosxcosx

調(diào)遞增，旦是偶函數(shù)，

根據(jù)奇偶性，單調(diào)性比較大小.運用得出加f（2L>f（工），可以分析（1）,（2）,

34

根據(jù)單調(diào)性得出g（―）>g（0）,g（―）>g（2L）,判斷（3）（4）.

436

【解答】解：偶函數(shù)y=f（x）對于任意的x€[0,—）滿足r（x）cosx+f（x）sinx>0

2

/.g(x)=f(X)，/、f'(x)cosx+f(x)sinx、八

g(x)=------------------------------------------

cosxcosx

/.xe[0,2L）,g（x）=f（X）是單調(diào)遞增,且是偶函數(shù),

2cosx

./冗、/冗、,兀、,打、

??g<--）=g（-），g（-—）=g（—），

3344

???g（?<g（?,

f（2）f（4）

.__1_<__

,,返工，

22

即抽（2￡>f（―）,

34

（1）化簡得出加f（-—）=V2f（―）<f（―），所以（1）不正確.

334

（2）化簡J*（-—）>f（-2L）,得出亞f（2L）>f（2L）,所以（2）正確.

3434

又根據(jù)g(x)單調(diào)性可知：g(吃)>g(0),--y=—>￡-^2_,

~2

/.f(0)<V2f(―)>

4

.??偶函數(shù)產(chǎn)f(x)

.?.即f(0)<V2f(

4

所以(3)正確.

f（4）f（等）

3、6

?.?根據(jù)g(x)單調(diào)性可知g(―)>g(2L),

36

2T

（―）>f（―）.

36

所以（4）正確.

故答案為：（2）（3）（4）

【點評】本題考查了運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)，偶函數(shù)性質(zhì)，判斷函數(shù)值

的大小比較，關(guān)鍵根據(jù)式子確定是哪個函數(shù)值，屬于中檔題.

三、解答題（共8小題，滿分70分）

17.（12分）（2015?鄭州二模）已知等差數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，ai=l,且a3,a4+Mau

2

成等比數(shù)列.

（I）求an的通項公式；

（口）設(shè)b產(chǎn)一—，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

anan+l

【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法.

【分析】（I）由題意知?：2=a3an,從而可得公差，所以

41

(II)將bn=列項為g(」），求和即得Tn的值.

(3n-1)(3n+2)33n-13n+2

【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0,

J,an成等比數(shù)列,

a3

,,a4

(a.+j，~=a3aii,

???(J+3d)2=(l+2d)(l+10d),即44d2-36d-45=0,

解得d="—(舍去),

22

3n-l

所以％

2

4411

(II)因為bn=——-——:(3n-1)(3n+2)3(3nT3n+2），

anan+l

所以數(shù)列｛bn｝的前n項和「尸苗（A--工+…4一」-二^）二一迎

3283n-l3n+23n+2

【點評】本題考查數(shù)列的通項公式及求前n項和，解題時要認真審題，仔細解答，采用裂項

相消法是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.

18.（12分）（2015?鄭州二模）如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,四邊形AAiCiC是邊長

為2的菱形，平面ABC_L平面AAICIC,ZAiAC=60°,ZBCA=90°.

（I）求證：AiB±ACi；

CD）已知點E是AB的中點，BC=AC,求直線ECi與平面ABBiAi所成的角的正弦值.

【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】空間位置關(guān)系與亞離：空間角.

【分析】（I）首先利用面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直，進一步得出線線垂直.

（ED根據(jù)兩兩垂直的關(guān)系，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進一步利用向量的

夾角余弦公式求出線面的夾角的正弦值.

【解答】（I）證明：取AC的中點O,連接AQ,

由于平面ABCJL平面AAiCiC,AiOJLAC,

所以：AiO_L平面ABC,

所以：AiO±BC,

乂BC_LAC,

所以：面AiBC

所以：AIB±ACI.

CD）以O(shè)為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz,

A（0,-1,0）,B（2,1,0）,C（0，1,0），Ci（0,2,“）,

則：標二（2,2,0），西二西二（0,1,V3），

設(shè)7=（x,y,z）是平面ABB1A1的法向量,

in*AB=0

所以:

m?BB1=0

求得：m=（一?，V3'-1）,

由E(1,0,0)

求得：EC^=(-1,2,如)，

直線ECi與平面ABBiAi所成的角的正弦值

■

-'〈EC,而EC!i目*m耳A/TO

【點評】本題考查的知識要點：線面垂直與面面垂直與線線垂宜之間的轉(zhuǎn)化，空間直角坐標

系，法向量的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用，主要考查學生的空間想象能力.

19.（12分）（2015?鄭州二模）某商場每天（開始營業(yè)時）以每件150元的價格購入A商品

若干件（A商品在商場的保鮮時間為10小時，該商場的營業(yè)時間也恰好為10小時），并開

始以每件300元的價格出色:，若前6小時內(nèi)所購進的商品沒有售完，則商店對沒賣出的A

商品以每件100元的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗，4小時內(nèi)完全能夠把A商品低價處理完

畢，且處理完后，當天不再購進A商品）.該商場統(tǒng)計了100天A商品在每天的前6小時內(nèi)

的銷售量，制成如下表格（注：視頻率為概率）.（其中x+y=7O）

前6小時內(nèi)的銷售量t（單位：件）456

頻數(shù)30xy

（I）若某該商場共購入6件該商品，在前6個小時中售出4件.若這些產(chǎn)品被6名不同的

顧客購買,現(xiàn)從這6名顧客中隨機選2人進行回訪，則恰好一個是以300元價格購買的顧客,

另一個以10（）元價格購買的顧客的概率是多少？

（口）若商場每天在購進5件A商品時所獲得的平均利潤最大，求x的取值范圍.

【考點】古典概型及其概率計算公式：離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）根據(jù)排列組合，可以求出總的事件的個數(shù)和滿足條件的基本事件的個數(shù)，根據(jù)

概率公式計算即可；

（2）設(shè)銷售A商品獲得利潤為X,則商店每天購進的A商品的件數(shù)取值可能為4件，5件,

6件，分別求出其利潤，根據(jù)題意列出不等式解得即可.

【解答】解：（1）恰好一個是以300元價格購買的顧客，另一個以100元價格購買的顧客的

8

概率是A,貝UP（A）=、Z

I?

匕6

(2)設(shè)銷售A商品獲得利潤為X,(單位，元)，以題意，視頻率為概率，為追求更多的利

潤，

則商店每天購進的A商品的件數(shù)取值可能為4件，5件，6件，

當購進A商品4件時，EX=150x4=600,

當購進A商品5件時，EX=(150x4-50)x0.3+150x5x0.7=690,

當購進A商品6件時，EX=(150x4-2x50)x0.3+(150x5-50)x_5_+150x6x__-=780

100100

-2x>

由題意780?2x<690,解得q45,又知x?100-30=70,

所以x的取值范圍為[45,70].xWN”.

【點評】本題考查了古典概型概率問題，以及數(shù)學期望的問題，屬于中檔題.

22

20.(12分)(2015?鄭州二模)設(shè)橢圓C：當+4=1(a>b>0),臼、F2為左右焦點，B為

212

ab

短軸端點，且S八口匚匚=4,離心率為座，O為坐標原點.

△BF1%2

(I)求橢圓C的方程；

<n)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M、N,

且滿足I而X就=1而i■示I?若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.

【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標準方程.

【專題】計算題；圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【分析】(I)由題意可得方程SAacr=-?2c?b=4,且a2=b?+c2；從而聯(lián)立解

ABF1F22a2

22

出橢圓C的方程為旦+?_=1；

84

(n)假設(shè)存在圓心在原點的圓x2+y2=r2,使得該圓的任意一