2013年中考二次函數(shù)壓軸題精選

1、（綿陽(yáng)市2013年）如圖，二次函數(shù)產(chǎn)加+法+c的圖象的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-2）,交

x軸于A、8兩點(diǎn),其中A（-1,0）,直線(xiàn)/：x=m（加>1）與x軸交于。。

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；

（2）在直線(xiàn)/上找點(diǎn)夕（P在第一象限），使得以P、

。、B為頂點(diǎn)的三角形與以4、C、。為頂點(diǎn)的三角形

相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含〃?的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，在拋物線(xiàn)上是否存在第

一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使是以P為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形？如果存在，清求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）①二次函數(shù)y=￡x2+bx+c圖象的頂點(diǎn)C的坐

標(biāo)為（0,-2）,c=-2、-；=0,b=0,

點(diǎn)A（T,0）、點(diǎn)B是二次函數(shù)y=ax2-2的圖象與x軸的交點(diǎn)，a-2=0,a=2.二次函數(shù)的解析

式為y=2x2-2；

②點(diǎn)B與點(diǎn)A（T,0）關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）；

（2）NB0C=NPDB=90°,點(diǎn)P在直線(xiàn)x=m上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,p）,0B=l,0C=2,DB=m-1,DP=|p|,

①當(dāng)△BOCS/\PDB時(shí)，/荒，，P=?或p=,

utDDZm-1乙L

m—11-m

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,—）或（m,—7—）；

乙乙

②當(dāng)△B0Cs/\BDP時(shí)，KH，9=T~T，P=2nr2或p=2-2m,

UCDl'LIpI

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,2m-2）或（m,2-2m）；

m—11-m

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,-5-）、（m,—5—）、（01，2m-2）或（m,2-2m）；

（3）不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q。

點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)y=2x2-2上，

令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,2x2-2）,x>],過(guò)點(diǎn)Q作QE_L直線(xiàn)1,

垂足為E,△BPQ為等腰直角三角形，PB=PQ,ZPEQ=ZPDB,

NEPQ=NDBP,△PEQg/XBDP,QE=PD,PE=BD,

①當(dāng)P的坐標(biāo)為（m,—）時(shí),

與x>l矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿(mǎn)足題設(shè)條件;

1-ni

②當(dāng)P的坐標(biāo)為(m,—）時(shí),

一

2

口尸--

與x>l矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿(mǎn)足題設(shè)條件;

③當(dāng)P的坐標(biāo)為（m,2ir-2）時(shí)，

“C9

tm-x=2m-2m二;75

^x2-2-（2m-2）=m-1,Ix=-77

與x>l矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿(mǎn)足題設(shè)條件;

④當(dāng)P的坐標(biāo)為(m,2-2m)時(shí),

5

m=l

18

7

x=l

6

與x>l矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿(mǎn)足題設(shè)條件;

綜上所述，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q。

如

圖,

矩

形

0A

BC

在

平

面

直

角

坐

標(biāo)

系

xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4,OC=3,若拋物線(xiàn)的頂

點(diǎn)在BC邊上，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)0,A兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為E,根據(jù)題意0A=4,003,得：E(2,3),

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a(x-2)2+3,

將A(4,0)坐標(biāo)代入得；0=4a+3,即a=-且

4

則拋物線(xiàn)解析式為y=-乜(x-2)2+3=-&?+3x；

(2)設(shè)直線(xiàn)AC解析式為y=kx+b(kxO),

將A(4,0)與C(0,3)代入得：件13。,

1b二3

解得：4,

b=3

故直線(xiàn)AC解析式為y=-旨+3,

3

產(chǎn)一下+3

與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立得:

y=--|x2+3x

則點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,8)；

4

(3)存在，分兩種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如答圖1所示:

DMIIAN,DM=AN,

4

/.Ni(2,0),N2(6,0)；

過(guò)點(diǎn)D作DQ±x軸于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)M作MP±x軸于點(diǎn)P,可得△ADQ2△NMP,

MP二DQ=2NP=AQ=3,

4

將yN,尸-X代入拋物線(xiàn)解析式得：-2-&2+3x,

444

解得：XM=2-H或XM=2+V7?

/.XN=XM-3=~*>/7-1或W-1?

N3(-V7-1*0)'N4(幣7,0).

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N1(2,0),N2(6,()),N3(-I,0),N4

(V?-0).

3、（2013陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函靈敏的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?l,0）、B（3,

）兩點(diǎn).

0?-

（1）寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為D,與y軸交于點(diǎn)C,2卜

它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E,連接AD、DE和DB,1一

當(dāng)△A0C與ADEB相似時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。一4~?一~?-----1——一~?

解：⑴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：-223A

x=2o一/K?

（2）VA（1,0）、B（3,0）,所以設(shè)》=。（工一1）（工一3）即），=0￥--4〃穴+3。

（第24題圖）

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a,當(dāng)x=2時(shí)，y=-a

AC(0,3a),D(2,-a)/.0C=|3a|,

VA(1,0)、E(2,0),

/.0A=l,EB=1,DE=}-a|=|a|

在△AOC與ADEB中，

VZA0C=ZDEB=90°

Anr)F

，當(dāng)上二——時(shí)，△AOCS/XDEB

OCEB

?,?,二四時(shí)，解得。=走或。=—立

13ali33

AnFR

當(dāng)以=￡￡時(shí)，^AOCs/XBED

OCDE

??.上二」時(shí)，此方程無(wú)解，

13al\a\

綜上所得：所求二次函數(shù)的表達(dá)式為:

y=—x2--V3x+=--x2+—V3x-V3

3333

4、(2013年濰坊市壓軸題)如圖，拋物線(xiàn)y=ad+/u+c關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，與坐標(biāo)軸

交于A、B、C三點(diǎn)、,且AB=4,點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)是一次函數(shù)

)，二入一2心工0)的圖象，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若直線(xiàn)平分四邊形。8。。的面積，求k的值.

(3)把拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于M、N兩

點(diǎn)，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P,使得不論〃取何值，直線(xiàn)PM與PN總是關(guān)于)，

軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：⑴因?yàn)閽佄锞€(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=I對(duì)稱(chēng)，AB=4,所以A(-l,0),B(3,0),

a-b+c=0

由點(diǎn)D(2,1.5)在拋物線(xiàn)上，所以＜,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

4a十2Z?十c=1.5

J]Q

乂----=1,即/尸-2&代入上式解得〃=-0.5力=1,從而c=1.5,所以y=-----x2+x+—.

2a22

I3

(2)由(1)知)，=一一x2+X+-,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

22

73

令人>2=1.5,得I與CD的交點(diǎn)F(——,一)，

2k2

2

令h?2=0,得/與x軸的交點(diǎn)E(—,0),

k

-

根據(jù)S網(wǎng)邊形OEFCS四邊電EBDF得：OE+CFDF+BE,

2727I1

即：.+力=(3-1)+(2-《),解得左=2,

k2kk2k5

i3i

(3)由(1)知y=+x+/=-/(x-l)2+2,

所以把拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式為)，=/

假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P((),t),1>(),使直線(xiàn)PM與PN關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)M、N分別向

y軸作垂線(xiàn)MMI、NNL垂足分別為MI、NI，因?yàn)镹MPO/NPO,所以RtAMPMi^RtANPNi,

PM,

所以一西......................(1)

不妨設(shè)M(XM}M)在點(diǎn)N(x%yN)的左側(cè)，因?yàn)镻點(diǎn)在y軸正半軸上,

貝|J(1)式變?yōu)椤?-——，又YM=kXM-2,yN=kxN-2,

5f-yN

所以(t+2)(XM+XN)=2kXMXN.....(2)

把y=kx-2(kW0)代入)，=一^/中，整理得x2+2kx-4=0,

所以XM+XN=-2k,XMXN=-4,代入(2)得t=2,符合條件，

故在y軸上存在一點(diǎn)P(0,2),使直線(xiàn)PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

5、(2013?新疆壓軸題)如圖，已知拋物線(xiàn)產(chǎn)ax?+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的

直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C,其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0),C點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)在(1)中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)

D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)E是(1)中拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線(xiàn)AC的下方，試求4ACE的最大

面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).

解：(I),拋物線(xiàn)丫=2*2+5乂+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C(4,3),

a+b+3=0a=l

.,16a+4b+3=3,解得&-4,

所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=x2?4x+3；

(2).點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

.,?點(diǎn)D為AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)△BCD的周長(zhǎng)最小,

設(shè)直線(xiàn)AC的解折式為y=kx+b(k*0)>

/k+b=0

則，4k+b=3

rk=l

解得上二-1,

所以，直線(xiàn)AC的解析式為y=x-I,

?/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.??拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=2-1=1,

???拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)D(2,I),使△BCD的周長(zhǎng)最小;

(3)如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線(xiàn)AC平行線(xiàn)的直線(xiàn)為丫=乂+!11,

y=x+in

?2

聯(lián)立，ly=x_4X+3

消掉y得，x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4x1x(3-m)=0,

即01=-二時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，4ACE的面積最大,

4

53

此時(shí)x=—,y=-----,

2.4

53

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一，-一)，

24

設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為F,則F(衛(wèi)，0),

4

139

AF=M-1=一，

44

V直線(xiàn)AC的解析式為y=x-1,

/.ZCAB=45°,

???點(diǎn)F到AC的距離為2x1-2”,

428

22

又「AC=73+(4-1)=3^

.?3ACE的最大面積=x3后生②與，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(工，-

8824

6、(2013涼山州壓軸題)如圖，拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+c(awO)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐

標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

JA

(2)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸1在邊0A(不包括O、A兩點(diǎn))

上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交

AC于點(diǎn)M,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,2

請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)PC,則在CD上方的拋

物線(xiàn)部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂

點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的

值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解答：解：(1)二?拋物線(xiàn)丫=2乂2-2ax+c(a*0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)1點(diǎn)c(6,4),

7

6a+c=0

X-J，

c=4

..?拋物線(xiàn)的解析式為y=-X2+X+4；

(2)設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,

A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

k=-^

b=0

S'解得3,

b=4

直線(xiàn)AC的解析式為y=-x+4.

?.?點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,

M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-m+4),

,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-X2+X+4上，

.,?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-m2+m+4),

PM=PE-ME=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+4m,

即PM=-m2+4m(0<m<3)；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)PC,在CD上方的拋物線(xiàn)部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、

F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似.理由如下：由題意，可得AE=3-m,EM=-m+4,CF=m,

PF=-m2+m+4-4=-m2+jn.

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：①若aPFO△AEM,則PF：

AE=FC：EM,

即(-nf+m)：(3-m)=m：(-m+4),

m#0且mw3,

?m-23

16

???△PFd△AEM,/.ZPCF=ZAME,

???ZAME=ZCMF,/.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中,,/ZCMF+ZMCF=90°,

ZPCF+NMCF=90°,即/PCM=9()°,

二△PCM為直角三角形；

②若△CFPsAAEM,則CF：AE=PF：EM,

即m：(3-m)=(-m2+m)：(-m+4),

mwO且mH3,

m=l.

△CFPs△AEM,/.ZCPF=ZAME,

,/ZAME=ZCMF,ZCPF=ZCMF.

CP二CM,

/.△PCM為等腰三角形.

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.此時(shí)m的值為里或1,△PCM為直

16

角三角形或等腰三角形.

7、（2013?曲靖壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、

B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=-x2+bx+c.點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD±x

軸于點(diǎn)C,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積.

（3）連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC桿似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不

存在，說(shuō)明理由.

解：(1)在直線(xiàn)解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0,得y=4；令y=0,得x=-4,

/.A(-4,0),B(0,4).

???點(diǎn)A(-4,0),B(0,4)在拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c上，

.-16-4b+c=0

??4，

Lc=4

解得：b=-3,c=4,

???拋物線(xiàn)的解析式為:y=-x2-3x+4.

(2)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),則OC=-m,AC=4+m.

OA=OB=4,ZBAC=45°,

△ACD為等腰直角三角形，??.CD=AC=4+m,

：CE=CD+DE=4+m+4=8-+m,

「?點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,8+m).

.??點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x2-3x+4上，

/.8+m=-m2-3m+4,解得m=-2.

/.C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,

S四邊形CAEB=S^ACE+S梯形OCEB-SABco=i<2x6+A(6+4)x2--x2x4=12.

222

(3)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),MOC=-m,CD=AC=4+m,BD=V2OC=-

則D(m,4+m).

???△ACD為等腰直角三角形，△DBE和4DAC相似

A△DBE必為等腰直角三角形.

i)若/BED=90°,則BE=DE,

BE=OC=-m,

DE=BE=-m,

/.CE=4+m-m=4,

E(m,4).

.??點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x2-3x+4上，

4=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意，舍去)或m=-3,

D(?3,1)；

ii)若NEBD=90°,貝ijBE=BD=-如口,

在等腰直角三角形EBD中，DE=72BD=-2m,

/.CE=4+m-2m=4-m,

/.E(m,4-m).

.??點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x2-3x+4上，

/.4-m=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意，舍去)或m=-2,

/.D(-2,2).

綜上所述，存在點(diǎn)D,使得ZkDBE和ZkDAC相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(-2,2).11、

8、(2013年臨沂壓軸題)如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)4一1,()),例5,())(((),-?)三點(diǎn).

2

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)”為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為

平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（第26題圖）

解析：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c,

???拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2-2x--.

22

（2）由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,

則P點(diǎn)即為所求.

5攵+。=0,

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為丁=履+6由題意，得，5解得＜

b=——.

2/?=--

.?.直線(xiàn)RC的解析式為y=

拋物線(xiàn)y=—2x—5的對(duì)稱(chēng)軸是為=2,，當(dāng)/=2時(shí)，-X——.

3

，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（3）存在

⑴當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，如圖所示，???四邊形ACNM是平行四邊形，???CN〃x軸，

工點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)，??（點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-*）,???點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4,-』）.

22

（II）當(dāng)存在的點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖所示，作N'H_Lx軸于點(diǎn)H,???四邊形ACMN

是平行四邊形，:,AC=MN,/NMH=4CAO、

ARtACAO/NH=OC.

??,點(diǎn)C的坐標(biāo)為((),一N力=3,即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,

222

**._x"-2.x—=_，即_4x—10=0

222

解得內(nèi)=2+舊,々=2—舊.

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2-J聞3和(2+V14,-).

22

綜上所述，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，

分別為(4,-3).,(2+V14,-),(2-V14,-)

222

9、（2013?寧波壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0.4）,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?4,0）,點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y

軸交于點(diǎn)D,連結(jié)BD.過(guò)P,D,B三點(diǎn)作OQ與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,延長(zhǎng)DQ交OQ

于點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.

（1）求直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB（不包括A,B兩點(diǎn)）上時(shí).

①求證：ZBDE=ZADP；

②設(shè)DE=x,DF=y.請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B,D,F為頂點(diǎn)的直角三角形，滿(mǎn)足兩條

直角邊之比為2：1?如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,

代入（4,0）得：4k+4=0,

解得：k=-1,

則直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=-x+4；

(2)①由已知得：

OB二OC,ZBOD=ZCOD=90°,

又?「OD=OD,

」.△BOD合△COD,

ZBOD=ZCDO,

ZCDO=ZADP,

ZBDE=ZADP,

②連結(jié)PE,

ZADP是aDPE的一個(gè)外角，二ZADP=/DEP+ZDPE,

?「ZBDE是^ABD的一個(gè)外角，「.ZBDE=ZABD+ZOAB,

/ZADP=ZBDE,NDEP二NABD,/.ZDPE=ZOAB,

?「OA=OB=4,ZAOB=90°,ZOAB=45°,「.ZDPE=45°,「.ZDFE=ZDPE=45°,

?「DF是。Q的直徑，「.NDEF=90。，「.△DEF是等腰直角三角形,

DF=&DE,BPy=V2x；

（3）當(dāng)BD：BF=2：I時(shí)，

過(guò)點(diǎn)F作FH_LOB于點(diǎn)H,

/ZDBO+ZOBF=90°,ZOBF+ZBFH=90°,/.ZDBO=ZBFH,

又NDOB二NBHF=90。，..△BOD~△FHB,「.空型典2,/.FH=2,OD=2BH,

HFHEFB

?」nmo=zEOII=Zocr=90°,四邊形OEHI足矩形，

/.OE=FH=2,EF=OH=4-OD,

?/DE=EF,2+OD=4-OD,

解得：OD=，.,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,）,

直線(xiàn)CD的解析式為產(chǎn)x+,由，"百“々得：JX=2,

y=-x+4I尸2

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）；當(dāng)?shù)鋾r(shí)，

BF

連結(jié)EB,問(wèn)（2）①可得：ZADB=ZEDP,

而NADB=ZDEB+ZDBE,ZEDP=ZDAP+ZDPA,

?:（DEP=ZDPA,「.NDBE=ZDAP=45°,「.△DEF是等腰直角三角形,

過(guò)點(diǎn)F作FG_LOB于點(diǎn)G,

同理可得：△BOD-△FGB,/.皿旦=逛=,

GFGBFB

FG=8,OD=BG,

?「NFGO=ZGOE=ZOEF=90°,「.四邊形OEFG是矩形,

/.OE=FG=8,/.EF=OG=4+2OD,

4

/DE=EF,/.8-OD=4+2OD,OD二一，

3

了.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,--）,

3

14

直線(xiàn)CD的解析式為：y=--X-

33

'14

由‘產(chǎn)一百'一,得：［x二&,

y=-x+4I尸4

.,?點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8,-4）,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）或（8,-4）.

10、（2013四川宜賓壓軸題）如圖，拋物線(xiàn)），尸1交x軸的正半軸于點(diǎn)4,交y軸于點(diǎn)&

將此拋物線(xiàn)向右平移4個(gè)單位得拋物線(xiàn)以，兩條拋物線(xiàn)用交于點(diǎn)C.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)以的解析式；

（2）若點(diǎn)P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足NC辦二NO5A,求出所有滿(mǎn)足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo)：

（3）在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)以上，是否存在點(diǎn)。，使得△QOC中。。邊上的高，有最大

值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及/?的最大值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）拋物線(xiàn)y尸1向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-1）,

所以，拋物線(xiàn)X的解析式為”=（x-4）2-1；

(2)A-0時(shí)，＞'=-1,

)=0時(shí)，X2?1=0,解得X|=l,X2=-1，

所以，點(diǎn)A(1,0),B(0,-1),

?..Z084=45。,

y=X2-1-9

聯(lián)立＜,解得.xY-4，.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,3）,

y二（x-4）-11尸3

?「NCPA=^。84,.?.點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（-1,0）,

在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5,0）,

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?1,0）或（5,0）；

（3）存在.

???點(diǎn)C（2,3）,

直線(xiàn)OC的解析式為y=x,

'3

y=^x+b

設(shè)與OC平行的直線(xiàn)尸x+4聯(lián)立，2,

y=（x-4）2-1

消掉y得，2Az-i9x+30-2力=0,

當(dāng)△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△QOC中OC邊上的高。有最大值，

此時(shí)方=工2=乂（-二1^）=12,

24

此時(shí)y=（-1^-4）2-1=--,

416

一.存在第四象限的點(diǎn)0（子，-磊），使得△QOC中0c邊上的高。有最大值,

此時(shí)△=192-4x2x（3。-2b）=0解得b=-3，

16

???過(guò)點(diǎn)Q與OC平行的直線(xiàn)解析式為尸l果.

令y=0,貝Ijx-絲Lo,解得文=3,

1624

設(shè)直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為￡,則E（段:，0）,

24

過(guò)點(diǎn)C作CD_Lx軸于。，根據(jù)勾股定埋，OCy外啟上小心

貝ijsituCOD=^-=^=.

0EV13

11、（2013?廣安壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)產(chǎn)ax?+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、

C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-3,0）,B（0,3）,C（1,0）.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式.

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),

垂足為F,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E,作PD_LAB于點(diǎn)D.

①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，4PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位

置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).（結(jié)

解：(1)...拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(0,3),C(1,0),

9a-3b+c=0a=-1

<c=3解得＜b=-2,所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=?x?-2x+3；

a+b+c=Oc=3

(2)①「A(-3,0),B(0,3),OA=OB=3,

/.△AOB是等腰直角三角形，.?.NBAO=45。，

,/PF±x軸，ZAEF=90°-45°=45°,

又,??PDJ_AB,△PDE是等腰直角三角形，PD越大，ZXPDE的周長(zhǎng)越大,

易得直線(xiàn)AB的解析式為y=x+3,

y=x+m

設(shè)與AB平行的直線(xiàn)解析式為y=x+m,聯(lián)立，9,

y=-_2x+3

消掉y得，x2+3x+m-3=0,

當(dāng)A=32-4X|X(m-3)=0,

即m=&H，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng),

4

此時(shí)x=-日產(chǎn)(冬與

.?.點(diǎn)P(一旦藥時(shí),APDE的周長(zhǎng)最大;

24

一9

②拋物線(xiàn)y=-x2-2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=--------=—=-

2X(-1)

(i)如圖1,點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQJ?對(duì)稱(chēng)地于Q,

圖1

在正方形APMN中，AP=PM,NAPM=90。,

ZAPF+ZFPM=90°,ZQPM+ZFPM=90°,

/.ZAPF=ZQPM,

'/APF=/QPM

???在4APF和^MPQ中，-/AFP二NMQP二90°，

AP=PM

/.△AP於△MPQ(AAS),

PFnPQ,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n(n<0),則PQ=-I-n,

即PF=-1-n,

..?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,-1-n),

點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-x2-2x+3上，

/--n2-2n+3=-1-n?

整理得,n2+n-4=0,

解得n廠(chǎng)一15（舍去）,…一伍

22

_1_n__1_T_VTLT+5

22

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（_1_何__迎；

22

（ii）如圖2,點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)Q,

???ZPAF+ZFPA=90°,ZPAF+NQAN=90°,ZFPA=ZQAN,

乂???ZPFA=NAQN=90°,PA=AN,「.△APF空△NAQ,/.PF=AQ,

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x,-x2-2x+3）,

則有?x2?2x+3=?1-（-3）=2,_

解得x=5a-1（不合題意，舍去）或x二-亞-1,

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-加-1，2）.

綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（二1一返,二I小叵）,

22

當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■沈?1,2）.

12、（2013?紹興壓軸題）拋物線(xiàn)y=（x-3）（x+1）與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).

（1）求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）連結(jié)BD,CD,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E.

①若線(xiàn)段BD上一點(diǎn)P,使NDCP=NBDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

②若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M,作MNJ_CD,交直線(xiàn)CD于點(diǎn)N,使/CMN;NBDE,求點(diǎn)M的坐

標(biāo).

解：（1）??,拋物線(xiàn)產(chǎn)（x-3）（x+1）與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

當(dāng)y=0時(shí)，（x-3）（x+1）=0,

解得x=3或-I,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.

y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3=（x-1）2-4,

二頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,-4）；

（2）①如右圖.

,拋物線(xiàn)y=（x-3）（x+1）=x??2x?3與與y軸交于點(diǎn)C,

7?C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）.

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）.

連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CH_LDE于H,則H點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-3）,

/.CH=DH=1,

/.ZCDH=ZBCO=ZBCH=45%

CD=V2*CB=3&，△BCD為直角二角形.

分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R.

---ZBDE=ZDCP=ZQCR,

ZCDB=ZCDE+ZBDE=45°+ZDCP,

ZQCO=ZRCO+ZQCR=45°+ZDCP,

ZCDB=ZQCO,

「.△BCD-△QOC,

.OC_CE_1

0QCB3

/.OQ=3OC=9,即Q(-9,0).

???直線(xiàn)CQ的解析式為y=-gx-3,

宜線(xiàn)BD的解析式為y=2x-6.

9

-1Q

7

由方程組，，解得《

_24'

y=2x-6y=T

.??點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2

7

②（I）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí).

若點(diǎn)N在射線(xiàn)CD上，如備用圖1,延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG_Ly軸干點(diǎn)G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN-△DBE,

?.■CN_BE_―1,

mDE2

MN=2CN.

設(shè)CN=a,貝ijMN=2a.

---ZCDE=ZDCF=45°,

CNF,△MGF均為等腰直角三角形，

...NF二CN=a,CF=V^>，

MF=MN+NF=3a,

MG=FG=返

2

/.CG=FG-FC=X,

2

M(色Z-3+返1).

22

代入拋物線(xiàn)y二(x-3)(x+1),解得廣邛，

M(1-型；

39

若點(diǎn)N在射線(xiàn)DC上，如備用圖2,MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MGJ_y軸于點(diǎn)G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN~△DBE,

?.■CN―_BE―_1,

mDE2

MN=2CN.

設(shè)CN=a,則MN=2a.

ZCDE=45。，

CNF,△MGF均為等腰直角三角形，

NF=CN=a,CF=&a,

/.MF=MN-NF=a,

MG=FG=%,

2

CG=FG+FC=盟Ii,

2

M(返，-3+盟％.

22

代入拋物線(xiàn)y=(x-3)(x+1),解得a=5優(yōu)，

7.M(5,12)；

<n)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí).

ZCMN=ZBDE<45°,

/.ZMCN>45°,

而拋物線(xiàn)左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有/KCNV45。，

.,?點(diǎn)M不存在.

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（工--）或（5,12）.

39

13、(2013?嘉興壓軸題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=(x-m)2-的

頂點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為B,連結(jié)AB,AC±AB,交y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使

AD=AC,連結(jié)BD.作AElIx軸，DElly軸.

（I）當(dāng)m=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長(zhǎng)？

（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,y）,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)，

與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P,當(dāng)n】為何值時(shí)，以，A,B,D,P為頂

y=(x-2)2+1,得：y=2,

(2)延長(zhǎng)EA,交y軸于點(diǎn)F,

AD=AC,ZAFC=ZAED=90°,ZCAF=ZDAE,

.△AFC=△AED,AF=AE,

,點(diǎn)A(m,-點(diǎn)B(0,m),

.AF=AE=|m|,BF=m-(-m~+m)=m~,

,ZABF=900-ZBAF=ZDAE,ZAFB=ZDEA=90°,

.△ABF-△DAE,

12

.BF_AE即:"hrl

AFDEIndDE

「.DEM.

(3)①???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m~+m),

.,?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,-m2+m+4),

x=2m,y=-m~+m+4,

/.y=-?(工)2++%

2

了.所求函數(shù)的解析式為：y=--1X2+X+4,

16

②作PQ_LDE于點(diǎn)Q,5!UDPQ蘭△BAF,

（I）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)（如圖I）,

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3m,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：（-nr+m+4）-（m2）=-m2+m+4,

把P（3m,-nr+m+4）的坐標(biāo)代入y=?~^x2+x+4得：

-m2+m+4=--x（3m）2+x（3m）+4,

16

解得：m=0（此時(shí)A,B,D,P在同一直線(xiàn)上，舍去）或m=8.

CD）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)（如圖2）,

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：（-m2+m+4）+（m2）=m+4,

把P（m,m+4）的坐標(biāo)代入y=-，^?+x+4得：

m+4=--nr+m+4,

16

解得：m=0（此時(shí)A,B,D,P在同一直線(xiàn)上，舍去）或m=-8,

綜上所述：m的值為8或-8.

14、（2013荷澤壓軸題）如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是

一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)ycAj+bx+c的圖象上，且該二次

8

函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形.

（1）試求b,c的值，并寫(xiě)出該二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從A到D,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：①當(dāng)P

運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，有PQJLAC?

②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？

令y=0,得x=4,所以點(diǎn)C(4,0),

???△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，.??B點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),

又■.?四邊形ABCD是平行四邊形，」.D點(diǎn)坐標(biāo)為(8,3),

將點(diǎn)B(-4,0)、點(diǎn)D(8,3)代入二次函數(shù)y=x，bx+c,可得＜?如+c0

、8+8b+c二3

c=-3

故該二次函數(shù)解析式為：尸X??X-3.

(2)①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)/t秒時(shí)，PQ±AC,此時(shí)AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

???PQ_LAC,△APQs△CAO,.?.里幽，即二^2^,解得：t=&.

ACAO49

即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離A點(diǎn)普個(gè)單位長(zhǎng)度處，有PQ_LAC.

②S四邊形PDCQ+SAAPQ=SAACD?且SAACD=X8X3=12,

「?當(dāng)^APQ的面積最大時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

設(shè)△APQ底邊AP上的高為h,作QHJ_AD于點(diǎn)H,由AAQHSCAO可得：=-

解得：h=(5-t),

/.SAAPQ=1X(5-l)=—(-t2+5t)=-—(t-)2+—,

10108

當(dāng)l=時(shí)，SAAPQ達(dá)到最大值至，此時(shí)S四邊形PDCQ=12-至=里，

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