第1章三角形的證明1等腰三角形第3課時等腰三角形的判定與反證法北師版

八年級數(shù)學(xué)（下）舊知回顧填空．(1)等腰三角形的兩底角_______．(2)等腰三角形________________、________________及_________________互相重合．(3)等腰三角形兩底角的平分線_________．(4)等邊三角形的三個內(nèi)角都__________，并且每個內(nèi)角都是_________．相等底邊上的高線底邊上的中線頂角的平分線相等相等60°導(dǎo)入新課ABC

前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？已知：在△ABC

中∠B

=∠C，求證：AB

=

AC.ABC證明：作

AD⊥BC

于點(diǎn)D，D∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB

≌△ADC（AAS），∴AB=AC.探究新知探究已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC.證明一：如圖，作頂角的平分線AD，則∠1＝∠2.在△ABD和△ACD中，【等腰三角形的判定】ABCD12∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．證明二：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝∠ADC＝90°.ABC在△ABD和△ACD中，∵∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．D歸納總結(jié)這一定理可以簡述為：等角對等邊.ABC幾何語言：∵∠B=∠C

（已知）∴AB=AC（等角對等邊）定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形.探究新知探究

在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么，這兩個角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？【反證法】

如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等．

假設(shè)AB＝AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C＝∠B，但已知條件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.ABC歸納總結(jié)“反證法”的一般步驟：(1)假設(shè)：假設(shè)結(jié)論的反面正確；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，通過推理得出矛盾；(3)結(jié)論：說明假設(shè)不成立，從而得到原命題的結(jié)論正確．

先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．應(yīng)用舉例例1

已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD

與CA

相交于點(diǎn)E.求證：△AED

是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD

≌△DCA（SSS）.∴∠ADB=∠DAC，∴AE=ED（等角對等邊）.∴△AED

是等腰三角形.例2如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，求證：△AEF是等腰三角形．【方法指導(dǎo)】根據(jù)角平分線和余角的性質(zhì)，可得相等的角，再根據(jù)等角對等邊得到等腰三角形．ABCDEF123證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，∴∠1＝∠C(同角的余角相等)．又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF(等角對等邊)，∴△AEF是等腰三角形．ABCDEF123例3用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C不能有兩個角是直角．【分析】利用“反證法”的一般步驟：(1)假設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論來證明．證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角都是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°，于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立，所以，一個三角形中不能有兩個角是直角．隨堂練習(xí)1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，則AC的長為(

)A．2B．3C．4D．5A．30°B．45°

C．60°D．90°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B為圓心，BC的長為半徑畫圓弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD的度數(shù)為(

)BBABCD3．用反證法證明三角形中必有一個內(nèi)角不小于60°，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中(

)A．有一個內(nèi)角小于60°B．每個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60°D．每個內(nèi)角都大于60°B4.如圖，在△ABC

中，BD

平分∠ABC，交AC

于點(diǎn)D，過點(diǎn)D

作BC

的平行線，交AB

于點(diǎn)E，請判斷△BDE的形狀，并說明理由.解：△BDE

是等腰三角形.∵BD

平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴△BDE

是等腰三角形.5.已知五個正數(shù)的和等于1，用反證法證明：這五個數(shù)中至少有一個大于或等于.15

證明：假設(shè)這五個數(shù)是a1，a2，a3，a4，a5全部小于

，那么這五個數(shù)的和

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

就小于

1.這與已知這五個數(shù)的和等于1

相矛盾.因此假設(shè)不成立，原命題成立，即這五個數(shù)中至少有一個大于或等于

.15156.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．AB