第1章三角形的證明3線段的垂直平分線第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其判定定理北師版

八年級數(shù)學（下）導入新課

如圖，A，B表示兩個倉庫，要在A，B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？分析：線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的一條對稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A，B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成，AB探究新知探究【線段垂直平分線的性質(zhì)】已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC＝BC，P是MN上的任意一點．求證：PA＝PB.證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA＝PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．ABCMNP歸納總結(jié)

定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.即到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．想一想探究新知探究【線段垂直平分線的判定】已知：如圖，線段AB，點P是平面內(nèi)一點，且PA＝PB.求證：點P在AB的垂直平分線上．證法一：過點P作已知線段AB的垂線PC，垂足為C.∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，∴AC＝BC，即點P在AB的垂直平分線上．CABP證法二：取AB的中點C，過點P，C作直線．CABP∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴點P在AB的垂直平分線上．應(yīng)用舉例例1ABCO【分析】線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用．證明：∵AB＝AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上)．同理，點O在線段BC的垂直平分線上，∴直線AO是線段BC的垂直平分線(兩點確定一條直線)．

如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.例2【分析】由AD＝

AB，AB＝AC和AD＋AC＝24cm，可求出AD＝BD＝8cm，AC＝16cm.由BD＋BC＝20cm得BC＝12cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周長．ADEBC

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交AC于點E，若AD＋AC＝24cm，BD＋BC＝20cm，求△BEC的周長．∴AD＝BD＝

AB.∵AB＝AC，∵AD＋AC＝24cm，ADEBC解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝

AC.∴AD＝BD＝8cm，AC＝16cm.∵BD＋BC＝20cm，∵DE垂直平分線段AB，∴BC＝12cm.∴EA＝EB，∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).即△BEC的周長為28cm.隨堂練習1．如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECABECDC2．如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AB＝5，BD＝4，則AC＝____，CD＝____，AD＝____．ADBC5433．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE為AB的垂直平分線，則∠1＝______，∠C＝______，∠3＝______，∠2＝______；若△ABC的周長為16cm，BC＝4cm，則AC＝______cm，△BCE的周長為______cm.123ABCDE40°70°30°80°610