7.4.1二項(xiàng)分布

人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)與n重伯努利試驗(yàn)，提升邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入考慮下面的事件：（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.（2）某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.（3）一批產(chǎn)品的次品率為5%,有放回地隨機(jī)抽取20件.這些事件有什么相同的特征？新課學(xué)習(xí)伯努利試驗(yàn)的概念在實(shí)際問(wèn)題中,有許多隨機(jī)試驗(yàn)與鄭硬幣試驗(yàn)具有相同的特征,它們只包含兩個(gè)可能結(jié)果.例如，檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性或陰性等.我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).新課學(xué)習(xí)n重伯努利試驗(yàn)的概念將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：（1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.重復(fù)意味著各次試驗(yàn)成功的概念相同新課學(xué)習(xí)思考一下：下面3個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)?如果是,那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么？對(duì)于每個(gè)試驗(yàn)，定義"成功"的事件為A

，那么A的概率是多大？重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少?（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.（2）某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.（3）一批產(chǎn)品的次品率為5%,有放回地隨機(jī)抽取20件.隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)P(A)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)1是拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣0.5102是某飛碟運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊0.833是從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件0.9520新課學(xué)習(xí)思考一下：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1,2,3)，用如圖的樹(shù)狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果.32212110試驗(yàn)結(jié)果X的值新課學(xué)習(xí)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)共有23=8種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個(gè)結(jié)果都是3個(gè)相互獨(dú)立事件的積.由概率的加法公式和乘法公式得思考一下：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？新課學(xué)習(xí)思考一下：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？為了簡(jiǎn)化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011，110，101，這三個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為0.82×0.2，并且與哪兩次中靶無(wú)關(guān).新課學(xué)習(xí)思考一下：如果連續(xù)射擊4次,類比上面的分析,表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫(xiě)出中靶次數(shù)X的分布列？表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有：中靶次數(shù)X的分布列為新課學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布的概念一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p).由二項(xiàng)式定理，容易得到新課學(xué)習(xí)例1

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

分析:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn).因此，正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.設(shè)A=“正面朝上”，則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(10,0.5).恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于X=5，于是新課學(xué)習(xí)（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.新課學(xué)習(xí)例2

圖中是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2,..,10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列.分析:小球落入哪個(gè)格子取決于在下落過(guò)程中與各小木釘碰撞的結(jié)果.設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果，且概率都是0.5.在下落的過(guò)程中，小球共碰撞小木釘10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn).小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右落下的次數(shù)，因此X服從二項(xiàng)分布.新課學(xué)習(xí)

因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過(guò)程中共碰撞小木釘10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列為X的概率分布圖如圖所示：新課學(xué)習(xí)例3

甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？分析:判斷哪個(gè)賽制對(duì)甲有利，就是看在哪個(gè)賽制中甲最終獲勝的概率大.可以把“甲最終獲勝”這個(gè)事件，按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個(gè)求概率;也可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”的概率.新課學(xué)習(xí)解法一：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2:0或2:1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3:0，3:1或3:2.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為新課學(xué)習(xí)解法二：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則

X~B(3,0.6).甲最終獲勝的概率為采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù),則X~B(5,0.6).甲最終獲勝的概率為因?yàn)?/p>

p2>p1,所以5局3勝制對(duì)甲有利.實(shí)際上,比賽局?jǐn)?shù)越多,對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.新課學(xué)習(xí)思考一下：為什么假定賽滿3局或5局，不滿足甲最終獲勝的概率？從比分上看:3局2勝的比分應(yīng)為2:0或2:1,對(duì)"2:0",若設(shè)賽滿3局,則第3局甲無(wú)論勝、負(fù)總體都是甲勝,故這個(gè)"2:0"可分為"3:0"與"2:1"兩種情況;對(duì)"2:1"本身就賽滿3局,故p1=P(X=2)+P(X=3).從甲獲勝對(duì)應(yīng)的概率值上看:2:0對(duì)應(yīng)概率0.62=(0.6+0.4)×0.62=0.63+0.62×0.4,2:1對(duì)應(yīng)概率為對(duì)5局3勝可定賽滿5局與此類似.新課學(xué)習(xí)歸納：一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：1.明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；2.確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；3.設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p).新課學(xué)習(xí)思考一下：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，那么X的均值和方差各是什么？我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有100×0.5=50次正面朝上.根據(jù)均值的含義，對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X，我們猜想E(X)=np.先考察n較小的情況.（1）當(dāng)n=1時(shí)，X服從兩點(diǎn)分布，分布列為

P(X=0)=1-p,P(X=1)=p.均值和方差分別為

E(X)=p,D(X)=p(1-p).（2）當(dāng)n=2時(shí)，X的分布列為P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2.均值和方差分別為E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).新課學(xué)習(xí)歸納：對(duì)均值進(jìn)行證明：新課學(xué)習(xí)歸納：對(duì)方差進(jìn)行證明：又新課學(xué)習(xí)歸納：對(duì)方差進(jìn)行證明：因此

D(X)=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=np(1-p)新課學(xué)習(xí)思考一下：二項(xiàng)分布在實(shí)際問(wèn)題中有什么應(yīng)用？二項(xiàng)分布的應(yīng)用非常廣泛.例