雙曲線必會十大基本題型講與練09雙曲線與平面向量的交匯問題典例分析類型一：以平面向量數量積為條件情境1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線上且，若的內切圓的半徑為（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為A，若，則此雙曲線的漸近線為（

）A． B． C． D．3．以橢圓＋＝1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則（

）A．2 B．4C．1 D．－1類型二：以平面向量數量積為問題情境1．、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點，若，則（

）A． B． C． D．2．已知拋物線與雙曲線有共同的焦點，為坐標原點，在軸上方且在雙曲線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知點，若為雙曲線的右焦點，是該雙曲線上且在第一象限的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（多選題）已知雙曲線，，O為坐標原點，M為雙曲線上任意一點，則的值可以是（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標系中，過方程所確定的曲線C上點的直線與曲線C相切，則此切線的方程.（1）若，直線過點被曲線C截得的弦長為2，求直線的方程；（3）若，，過坐標原點斜率的直線交C于P、Q兩點，且點P位于第一象限，點P在x軸上的投影為E，延長QE交C于點R，求的值.類型三：以平面向量共線向量為條件情境1．已知直線與雙曲線（）交于、兩點，與軸交于點，若，則的值為A． B． C． D．22．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．3．（多選題）已知雙曲線且成等差數列，過雙曲線的右焦點F（c，0）的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，，則直線l的斜率的可能取值為（

）A． B．－ C． D．－類型四：以平面向量共線向量、數量積為條件情境的綜合性問題1．已知為坐標原點，雙曲線：的右焦點為，直線過點且與的右支交于，兩點，若，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標系中，雙曲線的左右焦點分別是和，雙曲線的右支上有A、B在第一象限兩點，滿足，并且，則直線的斜率是（

）A． B． C．2 D．43．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點，若，，則（

）A． B． C．1 D．4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與其左支交于點，若存在，使，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（多選題）已知雙曲線的右頂點、右焦點分別為、，過點的直線與的一條漸近線交于點，直線與的一個交點為，，且，則下列結論正確的是（

）A．直線與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．（其中為坐標原點）6．已知是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點滿足，若.則以為圓心，為半徑的圓的面積為________.類型五：共線向量、數量積與線探索性問題交匯1．設定點，常數，動點，設，，且．（1）求動點的軌跡方程；（2）設直線：與點的軌跡交于，兩點，問是否存在實數使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2．已知雙曲線的離心率為，點在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設過點的直線l與曲線交于M，N兩點，問在x軸上是否存在定點Q，使得為常數？若存在，求出Q點坐標及此常數的值，若不存在，說明理由．類型六：共線向量與定值交匯問題1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，是C上一點．(1)求C的方程；(2)過點的直線與C交于兩點A，B，與直線交于點N．設，，求證：為定值．方法點撥1、平面向量作為解題工具在解析幾何中有廣泛的應用，通過向量形式給出題目條件，體現向量在圓錐曲線中的滲透，也是高考設置綜合題的一個特色，如2020年全國卷ⅠT20，利用向量求橢圓方程，2019年全國卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦長|AB|的值，2018年全國卷ⅢT20(2)，題中給出條件eq\o(FP,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝0，證明|eq\o(FA,\s\up7(→))|，|eq\o(FP,\s\up7(→))|，|eq\o(FB,\s\up7(→))|成等差數列等．解答此類問題除對知識熟練外，還要具備很強的知識間的交匯和遷移變通能力．2、遇到向量數量積問題，想到向量的坐標表示，向量相等的條件，向量數量積的坐標運算公式．如：點B在以線段F1F2為直徑的圓上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上關系可相互轉化．鞏固練習1．已知雙曲線：的右焦點為，是虛軸的一個端點，線段與的右支交于點，若，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，該圓與雙曲線在第一象限的交點為，則（

）A．8 B． C．4 D．3．經過雙曲線的右焦點作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點，設為坐標原點，則等于（

）A． B．1 C．2 D．4．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．45．過雙曲線（，）的右焦點作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點，且滿足，則雙曲線離心率等于（

）A． B． C． D．6．已知是雙曲線：上的一點，，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點、右焦點，點是兩曲線的一個交點，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點（點在軸的上方），且，則的值為（

）A． B． C． D．8．過雙曲線的右焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，垂線交軸于點，且.若的面積為（是坐標原點），則雙曲線的標準方程為A． B．C． D．9．設雙的線（，）的右焦點是F，左?右頂點分別是，，過F做的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若，則雙曲線的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線的左?右焦點分別為、，過的左頂點作一條與漸近線平行的直線與軸相交于點，點為線段上一個動點，當分別取得最小值和最大值時，點的縱坐標分別記為、，則（

）A． B． C． D．11．已知雙曲線，右焦點為，點是直線在第一象限上的動點，直線與雙曲線的一條漸近線在第一象限上的交點為，若，則__________．12．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點，若，，則______.13．設雙曲線的左焦點為，右頂點為.若在雙曲線上，有且只有個不同的點使得成立，則實數的取值范圍是___________.14．在直角坐標系中，雙曲線（）的離心率，其漸近線與圓交軸上方于兩點，有下列三個結論：①；②存在最大值；③．則正確結論的序號為_______.15．雙曲線的左?右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點（P在第二象限，Q在第一象限），則雙曲線C的離心率為______．16．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點(1)求雙曲線方程；(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程．17．已知雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點的坐標為，過的直線與雙曲線交于不同兩點、.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍（為坐標原點）.18．已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點.是它的一條漸近線的一個方向向量.(1)求雙曲線C的方程；(2)設，M為雙曲線右支上動點，當|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；(3)若過點任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點（A，B都不同于點D），求證:為定值.19．點是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求的值；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上的一點，滿足，求的值．20．已知點，，雙曲線C上除頂點外任一點滿足直線RM與QM的斜率之積為4.(1)求C的方程；(2)若直線l過C上的一點P，且與C的漸近線相交于A，B兩點，點A，B分別位于第一、第二象限