變異度指標(biāo)PowerPoint統(tǒng)計學(xué)問題的提出某采購員采購一批燈泡，有甲、乙和丙三家企業(yè)的燈泡可供選擇，經(jīng)過調(diào)查三家企業(yè)燈泡壽命（單位：小時）如下：甲：980、990、1000、1010、1020

乙：800、900、1000、1100、1200

丙：700、850、1000、1150、1300

問：應(yīng)該選擇那一家企業(yè)的燈泡呢？為什么？

數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢

(位置)離中趨勢

(分散程度)離中趨勢數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征離中趨勢的各測度值是對數(shù)據(jù)離散程度所作的描述反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，因此也稱為離中趨勢從另一個側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度數(shù)據(jù)的特征和測度

（本節(jié)位置）數(shù)據(jù)的特征和測度分布的形狀離散程度平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位差全距偏度集中趨勢第一節(jié)變異度指標(biāo)的意義一、變異度指標(biāo)的概念

變異度指標(biāo)又稱標(biāo)志變動度指標(biāo)，是綜合反映總體各單位標(biāo)志值及其分布的差異程度的指標(biāo)。如：7個人的工資分別為：320元，320元，400元，400元，500元，500元，2000元。平均工資為634.29元（平均指標(biāo)，反映集中趨勢）最高和最低之差為1680元（變異度指標(biāo)，內(nèi)部差異，反映離中趨勢）

三、變異度指標(biāo)的種類1、全距、四分位差2、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、離散系數(shù)3、偏度、峰度一、全距

(概念要點及計算公式)1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2.離散程度的最簡單測度值3.易受極端值影響7891078910未分組數(shù)據(jù)

R

=最大標(biāo)志值–最小標(biāo)志值.=組距分組數(shù)據(jù)R

最高組上限-最低組下限4.計算公式為二、四分位差1、四分位差是四分位數(shù)中間兩個分位數(shù)之差四分位差Q=第三個四分位數(shù)Q3—第一個四分位數(shù)Q12、優(yōu)缺點：計算簡單，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略和不全面，實用價值甚小。三、平均差

(概念要點及計算公式)1.各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差的絕對值的算術(shù)平均數(shù)2.優(yōu)點：能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度3.缺點：由于采用絕對值運算，數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實際中應(yīng)用較少4.計算公式為未分組數(shù)據(jù)（不加權(quán)）組距分組數(shù)據(jù)（加權(quán)）平均差

（計算過程及結(jié)果）某車間50名工人日加工零件數(shù)平均差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)|Xi-X||Xi-X|fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合計—50—312【例】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算工人日加工零件數(shù)的平均差方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(概念要點)1.標(biāo)準(zhǔn)差，又稱均方差，是總體各單位標(biāo)志值對算術(shù)平均數(shù)的離差的平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。2. 最常用的變異指標(biāo)3.優(yōu)點：反映了各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的平均差異；且計算簡單，易于數(shù)學(xué)處理方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差4681012

x=8.3總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(計算公式)未分組數(shù)據(jù)（不加權(quán)）組距分組數(shù)據(jù)（加權(quán)）未分組數(shù)據(jù)（不加權(quán)）組距分組數(shù)據(jù)（加權(quán)）方差的計算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!自由度

(degreeoffreedom)自由度是指附加給獨立的觀測值的約束或限制的個數(shù)；從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個數(shù)；當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個觀測值的約束個數(shù)就是1個，因此只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)不能自由取值；按著這一邏輯，如果對n個觀測值附加的約束個數(shù)為k個，自由度則為n-k。自由度

(degreeoffreedom)樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x

=5。當(dāng)

x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值為什么樣本方差的自由度是n-1呢？因為在計算離差平方和時，必須先求出樣本均值

x

，而

x則是附加給離差平方和的一個約束，因此，計算離差平方和時只有n-1個獨立的觀測值，而不是n個樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，當(dāng)用樣本方差s2去估計總體方差σ2時，它是σ2的無偏估計量標(biāo)準(zhǔn)差

（計算過程及結(jié)果）某車間50名工人日加工零件數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)(Xi-X)2(Xi-X)2fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計—50—3100.5【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差可用于度量投資的風(fēng)險投資平均獲利標(biāo)準(zhǔn)差短期國庫券長期國庫券股票5.34％6.12％14.62％2.96％10.73％16.32％美國近50多年來三種投資年獲利的算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差下面的兩個直方圖，分別反映了200種商業(yè)類股票和200種高科技類股票的收益率分布。在股票市場上，高收益率往往伴隨著高風(fēng)險。但投資于哪類股票，往往與投資者的類型有一定關(guān)系。你認(rèn)為該用什么樣的統(tǒng)計測度值來反映投資的風(fēng)險？如果選擇風(fēng)險小的股票進(jìn)行投資，應(yīng)該選擇商業(yè)類股票還是高科技類股票？相對變異程度：離散系數(shù)甲品種乙品種平均每公頃產(chǎn)量（千克）標(biāo)準(zhǔn)差（千克）1200057014250630離散系數(shù)

(概念要點和計算公式)1. 離散指標(biāo)與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比2. 消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響3. 測度了數(shù)據(jù)的相對離散程度4. 用于對不同數(shù)據(jù)離散程度的比較5.常用計算公式為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)離散系數(shù)

（實例和計算過程）

某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號產(chǎn)品銷售額（萬元）X1銷售利潤（萬元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如下表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的變異程度離散系數(shù)

(計算結(jié)果)X1=536.25（萬元）σ1=309.19（萬元）V1=536.25309.19=0.577σ1

=23.09（萬元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（萬元）結(jié)論：計算結(jié)果表明，V1<V2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度

一項關(guān)于大學(xué)生體重狀況的研究發(fā)現(xiàn)，男生的平均體重為60公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為5公斤；女生的平均體重為50公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為5公斤。請回答問題：是男生的體重差異大還是女生的體重差異大？為什么？偏度與峰度

（本節(jié)位置）數(shù)據(jù)的特征和測度分布的形狀離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位差全距偏度集中趨勢偏度偏度與峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰度左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！偏度

(概念要點)1. 數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度2. 偏態(tài)系數(shù)=0為對稱分布3. 偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布4. 偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布5.計算公式為偏態(tài)

(實例)【例】已知1997年我國農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。試計算偏態(tài)系數(shù)1997年農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)按純收入分組（元）戶數(shù)比重（%）500以下500~10001000~15001500~20002000~25002500~30003000~35003500~40004000~45004500~50005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94戶數(shù)比重(%)252015105農(nóng)村居民家庭村收入數(shù)據(jù)的直方圖偏度與峰度

(從直方圖上觀察)按純收入分組(元)1000500←15002000250030003500400045005000→結(jié)論：1.為右偏分布

2.峰度適中偏態(tài)系數(shù)

（計算過程）表4-10農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計算表按純收入分組（百元）組中值Xi戶數(shù)比重(%)fi(Xi-X)fi3(Xi-X)fi45以下5—1010—1515—2020—2525—3030—3535—4040—4545—5050以上2.57.512.517.522.527.532.537.542.547.552.52.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94-154.64-336.46-144.87-11.840.1823.1689.02171.43250.72320.741481.812927.154686.511293.5346.520.20140.60985.492755.005282.948361.9846041.33合計—1001689.2572521.25偏態(tài)系數(shù)

(計算結(jié)果)根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算得將計算結(jié)果代入公式得結(jié)論：偏態(tài)系數(shù)為正值，而且數(shù)值較大，說明農(nóng)村居民家庭純收入的分布為右偏分布，即收入較少的家庭占據(jù)多數(shù)，而收入較高的家庭則占少數(shù)，而且偏斜的程度較大

峰度峰度

(概念要點)1. 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度2. 峰度系數(shù)=3扁平程度適中3. 偏態(tài)系數(shù)<3為扁平分布4. 偏態(tài)系數(shù)>3為尖峰分布5.計算公式為峰度系數(shù)系數(shù)

(實例計算結(jié)果)代入公式得

【例】根據(jù)表中的計算結(jié)果，計算農(nóng)村居民家庭純收入分布的峰度系數(shù)

結(jié)論：由于=3.4>3，說明我國農(nóng)村居民家庭純收入的分布為尖峰分布，說明低收入家庭占有較大的比重

常用的幾種分布類型偏度和峰度指標(biāo)值曲線類型

偏度

0峰度

3

3

左偏平頂曲線左偏尖頂曲線

偏度

0峰度

3

3

右偏平頂曲線右偏尖頂曲線

偏度

=0峰度

=3

3

3

正態(tài)曲線平頂曲線尖頂曲線

用Excel計算各種指標(biāo)Excel中的統(tǒng)計函數(shù)MODE—計算眾數(shù)MEDIAN—計算中位數(shù)QUARTILE—計算四分位數(shù)AVERAGE—計算平均數(shù)HARMEAN—計算簡單調(diào)和平均數(shù)GEOMEAN—計算幾何平均數(shù)AVEDEV—計算平均差STDEV—計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差STDEVP—計算總體標(biāo)準(zhǔn)差SKEW—計算偏度系數(shù)KURT—計算峰度系數(shù)