第1頁/共1頁溫州市普通高中2024屆高三第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由條件可知，結(jié)合求得，從而代入得解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以；又，所以，即，所以，所以.故選：C.2.平面向量，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，由于，所以，解得，故選：A3.設(shè)為同一試驗中的兩個隨機(jī)事件，則“”是“事件互為對立事件”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對立事件概率的性質(zhì)可以說明條件是必要的，容易給出反例說明條件不是充分的.【詳解】若互為對立事件，根據(jù)對立事件概率公式可直接得到，故條件是必要的；若試驗基本事件含3種及以上，其中表示概率為的兩個不同事件，則不互為對立事件，此時，故條件不是充分的.故選：B.4.已知，和的展開式中二項式系數(shù)的最大值分別為和，則（）A. B.C. D.的大小關(guān)系與有關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知，，再用組合數(shù)的定義驗證.【詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，最大的二項式系數(shù)出現(xiàn)在正中間的1項或正中間的2項.即，，所以，從而.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由兩角和正弦和已知條件解得，進(jìn)而得，再利用兩角和與差的正弦、余弦公式簡化所求式子即可求解.【詳解】因為，故由兩角和正弦公式得，故兩邊平方得，即，故.故選：B.6.已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個數(shù)不可能是（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點）與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點．故選：C．7.已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)焦點三角形的邊長關(guān)系，利用余弦定理即可求解.【詳解】由可知，設(shè)，則，,,則由余弦定理可得化簡可得，故，（舍去），又,所以，化簡可得，故，故選：D8.數(shù)列的前項和為，則可以是（）A.18 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】易通過，可得，也可求得，但此數(shù)列存在不確定的首項，所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為，與選項中的四個數(shù)進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)一定不能為負(fù)整數(shù)，所以只能選C.【詳解】由可得：且，由上式又有：，還有，兩式相減得：，兩邊同時除以得：，由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差為1，所以，由此數(shù)列的奇數(shù)項公式為，又由，所以可以判斷一定不能為負(fù)整數(shù)，即只能有，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（）A.30° B.45° C.75° D.90°【答案】AD【解析】【分析】過點作，求得直線與所成角的范圍為或，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】過點作，從兩對角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對稱性，可得或.故選：AD.10.已知是關(guān)于的方程的兩個根，其中，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)虛根成對原理得到，即可判斷A，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算判斷B，利用韋達(dá)定理判斷C、D.【詳解】因為是關(guān)于的方程的兩個根且，所以，即，故A正確；，，所以，故B錯誤；因為，所以，故C正確；又，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的值域是，則下列命題正確的是（）A.若，則不存在最大值 B.若，則的最小值是C.若，則的最小值是 D.若，則的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的最值取得條件，周期性及單調(diào)性檢驗各選項即可判斷.【詳解】當(dāng)時，，，，當(dāng)足夠大時，包含完整周期，故A正確；為使更小，只包含一個最大、最小值點，所以，解得，，所以時，，驗證成立，故B正確；C項：若，當(dāng)取最小值時，周期最大，且，故，故，故C正確；D項：若，取最小值時，周期最大，，當(dāng)，此時，D錯誤．故選：ABC．非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性計算可得.【詳解】因為且，所以，解得.故答案為：13.定義在上的函數(shù)滿足：，則____________.【答案】##0.5【解析】【分析】依次賦值，得；賦值，得；最后賦值即可求解.【詳解】由題賦值，得，所以由，得；賦值，得，所以；賦值，得.故答案為：.14.過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，點，沿軸將坐標(biāo)系翻折成直二面角，當(dāng)三棱錐體積最大時，____________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三棱錐的體積公式求解．【詳解】由于直線過焦點，且與拋物線交于兩個不同的點，故設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，消去得，，所以，所以，當(dāng)，即時，三棱錐體積最大．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15.由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，由已知條件證明出，即可得證平面.（2）先求平面與平面的法向量和，再由，結(jié)合二面角夾角范圍和圖形即可求解.【小問1詳解】如圖，取中點，連接，，則由題意且，故四邊形是平行四邊形，所以且，故且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由題意可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意，又，所以，，即，所以，，，，設(shè)平面一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的大小為.16.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：函數(shù)存在唯一的極大值點，且.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，無極小值.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點，由單調(diào)性證明.【小問1詳解】函數(shù)，定義域為，，，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值為，無極小值.【小問2詳解】由（1）可知，且，，所以根據(jù)零點定理，使，使，即時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，所以存在唯一極大值點，即，又因為，所以，即，得證!17.已知直線與雙曲線相切于點.（1）試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應(yīng)的的值存在，并求出相應(yīng)的的值；（2）過點與垂直的直線分別交軸于兩點，是線段的中點，求點的軌跡方程.【答案】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）【解析】【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由求得與的函數(shù)關(guān)系，再由的值求出相應(yīng)的的值；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求直線的斜率，得直線的斜率和方程，求出兩點的坐標(biāo)，表示出分點的坐標(biāo)，由在雙曲線上，得點的軌跡方程.【小問1詳解】由，消去得，由，得，當(dāng)時，不存在；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.【小問2詳解】設(shè)，則，，對C求導(dǎo)可得，則，有，所以，令，得，所以；令，得，所以，所以，即，則，所以，得，，即P的軌跡方程是18.現(xiàn)有張形狀相同的卡片，上而分別寫有數(shù)字，將這張卡片充分混合后，每次隨機(jī)抽取一張卡片，記錄卡片上的數(shù)字后放回，現(xiàn)在甲同學(xué)隨機(jī)抽取4次.（1）若，求抽到的4個數(shù)字互不相同的概率；（2）統(tǒng)計學(xué)中，我們常用樣本的均值來估計總體的期望.定義為隨機(jī)變量的階矩，其中1階矩就是的期望，利用階矩進(jìn)行估計的方法稱為矩估計.（?。┯浢看纬榈降臄?shù)字為隨機(jī)變量，計算隨機(jī)變量的1階矩和2階矩；（參考公式：）（ⅱ）知甲同學(xué)抽到的卡片上的4個數(shù)字分別為3，8，9，12，試?yán)眠@組樣本并結(jié)合（?。┲械慕Y(jié)果來計算的估計值.（的計算結(jié)果通過四舍五入取整數(shù)）【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）（?。└鶕?jù)階矩的定義、期望公式及等差數(shù)列求和公式計算可得；（ⅱ）首先求出樣本數(shù)據(jù)的階矩及階矩，結(jié)合（?。┑闹械慕Y(jié)果得到方程組，解得即可.【小問1詳解】依題意可得抽到的個數(shù)字互不相同的概率；小問2詳解】（?。┮李}意的可能取值為，，，，且（且），所以，依題意的可能取值為，，，且（且），所以；（ⅱ）依題意樣本數(shù)據(jù)，，，為期望（平均數(shù)）為，則，，，為期望（平均數(shù)）為，所以，消去得，整理得，解得（負(fù)值已舍去），又，，所以.19.對于給定的一個位自然數(shù)（其中，），稱集合為自然數(shù)的子列集合，定義如下：{且，使得}，比如：當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，寫出集合；（2）有限集合的元素個數(shù)稱為集合的基數(shù)，一般用符號來表示.（?。┮阎?，試比較大小關(guān)系；（ⅱ）記函數(shù)（其中為這個數(shù)的一種順序變換），并將能使取到最小值的記為.當(dāng)時，求的最小值，并寫出所有滿足條件的.【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）由自然數(shù)的子列集合，即可求解；（2）（i）由，根據(jù)子列集合的定義，進(jìn)行列舉，分別求得，和，即可求解；（ii）根據(jù)題意，得到加強(qiáng)命題轉(zhuǎn)化為，等號成立的條件是，當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起的情形，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，作出證明即可.【小問1詳解】解：由自然數(shù)的子列集合，可得：自然數(shù)，可得【小問2詳解】解：（i）由，可得，即，，即，，即，所以.（ii）加強(qiáng)命題如下：若由個數(shù)字構(gòu)成題中的自然數(shù)（其中，一位整數(shù)，本題即為的情形），則所求，等號成立的條件是，當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起的情形，證明：①當(dāng)時，，顯然成立；②設(shè)當(dāng)時，命題成立，即，當(dāng)時，相當(dāng)于在原來字符串的基礎(chǔ)上增加了個，注意到此時時的每一種排列，此時匹配上到個排列，都能構(gòu)成時的一種排列，再結(jié)合不含有時的任何元素個排列，則我們有，而當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起時，成立，則當(dāng)時，命題也成立，由①②知，成立.記，顯然，下面證明：是所有中最小的，從而（其中）設(shè)（其中為的一種順序變換）即只需證取得最小值時，當(dāng)且僅當(dāng)里所有相同的數(shù)字必相等，根據(jù)對稱性，以為例，即只需證明即可，記，證明，構(gòu)造集合到集合的一種對應(yīng)關(guān)系，使得，其中中含有個，個，個，根據(jù)定義，存在唯一的對應(yīng)，即，反過來，，設(shè)（其中，個，個，個），設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個，設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個，設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個，將，，，從小到大排列得到新的角標(biāo)，則取，根據(jù)子列集合的定義，可知，因為里含有個，個，個（但是相同的數(shù)字不一定相鄰）這個在的作用下，柯達(dá)伊與對應(yīng)，即.綜上所述，對于集合中的任