2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號(hào)填寫在答題卡指定位置，并用鉛筆準(zhǔn)確填涂考號(hào).2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，答題卡由監(jiān)考老師收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.直線的方向向量是（）A B. C. D.3.已知向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.24.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在正四棱錐中，，用一個(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，，，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.6.若圓上存在唯一點(diǎn)，使得，其中，則正數(shù)的值為（）A. B. C. D.7.在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)為底面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡長是（）A B. C. D.8.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A6 B.7 C.8 D.9二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角，，是三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則是直角三角形10.已知，直線，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線和可能相切B.直線過定點(diǎn)C.直線被截得的弦最長時(shí)，直線的方程為D.直線被截得的弦長最小值為11.已知圓：（），這些圓的全體構(gòu)成集合，則（）A.x軸截圓所得的弦長為2B.對(duì)任意正整數(shù)k，圓內(nèi)含于圓C.任意正實(shí)數(shù)m，存，使得圓與直線有交點(diǎn)D.存在正實(shí)數(shù)m，使得A中與直線相交的圓有且僅有2024個(gè)第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程_______13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_____________.14.在邊長為4的正方形中，如圖甲所示，，，分別為，的中點(diǎn)，分別沿，及所在直線把，和折，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到三棱錐，則三棱錐外接球的表面積為_____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的面積.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和直線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.17.如圖，在四棱錐底面，．（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值．18.已知圓過點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱．（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點(diǎn)、，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和否平行？請(qǐng)說明理由．19.已知集合且中元素的個(gè)數(shù)為．若存在，得為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的弱子集；若對(duì)任意的均為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的強(qiáng)子集．（1）請(qǐng)判斷集合和是否為的弱子集，并說明理由；（2）是否存在的強(qiáng)子集？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若，且的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為的子集都是的弱子集，求的最小值．2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號(hào)填寫在答題卡指定位置，并用鉛筆準(zhǔn)確填涂考號(hào).2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，答題卡由監(jiān)考老師收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2.直線的方向向量是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)直線的斜率及方向向量定義判斷即可.【詳解】直線的斜率為12，所以方向向量是.故選：A.3.已知向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】先進(jìn)行向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算，再利用向量垂直的數(shù)量積坐標(biāo)表示求解可得.【詳解】，.因?yàn)椋?，則，解得.故選：D.4.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用直線平行的條件計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩條直線，，兩直線平行，所以“”是“兩條直線，平行”的充分條件；因?yàn)橹本€的斜率存在且為，由兩直線平行，所以的斜率存在且為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程均為，此時(shí)直線重合，故不符合題意，舍去；所以“”是“兩條直線，平行”的充要條件.故選：C.5.在正四棱錐中，，用一個(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，，，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題可得，幾何體為正四棱臺(tái)，求出高，利用臺(tái)體體積公式求解.【詳解】設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為，連接相交于點(diǎn)，連接，則平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，又因?yàn)橛靡粋€(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，所以得到幾何體為正四棱臺(tái)，且，，連接相交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，所以幾正四棱臺(tái)的體積為，故選：B.6.若圓上存在唯一點(diǎn)，使得，其中，則正數(shù)的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，由因?yàn)?，得到，根?jù)題意，轉(zhuǎn)化為兩圓是外切或內(nèi)切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為C0,1，半徑為，設(shè)，則，，因?yàn)椋傻?，化簡得，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏狞c(diǎn)也在圓上，所以兩圓是外切或內(nèi)切，所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對(duì)值，即或，解得或，因?yàn)槭钦龜?shù)，所以.故選：B.7.在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)為底面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡長是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接，由勾股定理求出，即可得到點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓（圓?。┥希覉A心角為，即可求出軌跡長.【詳解】又為底面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓（圓?。┥?，且圓心角為，所以點(diǎn)的軌跡長為.故選：B.8.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】作出關(guān)于直線的對(duì)稱圓，把轉(zhuǎn)化到與直線同側(cè)的，數(shù)形結(jié)合找到取最大值的位置，求出的最大值.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓為圓B，其中設(shè)圓心B坐標(biāo)為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時(shí)圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，所以，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)P，B，A，，F(xiàn)五點(diǎn)共線時(shí)，且在圓B左側(cè)，點(diǎn)F在圓A右側(cè)時(shí)，最大，最大值為故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角，，是三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則直角三角形【正確答案】AC【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以，A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)的外接圓半徑為，，可得，即，所以，C正確；對(duì)D，如在，，，但該三角形不是直角三角形，D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知，直線，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線和可能相切B.直線過定點(diǎn)C.直線被截得的弦最長時(shí)，直線的方程為D.直線被截得的弦長最小值為【正確答案】BCD【分析】將直線方程變形后得到，求出恒過的定點(diǎn)，即可判斷B，根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可判斷A；當(dāng)圓心在直線上，故直線被圓截得的弦長為直徑4，為最大弦長，即可判斷C,根據(jù)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直，即可求解最短弦長判斷D．【詳解】變形為，圓心為半徑，對(duì)于B，變形為，故恒過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于A,由于直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和相交，A錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)定點(diǎn)與圓心的連線垂直于時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離最大為，所以所截得的弦長最小為,D正確對(duì)于C，當(dāng)在直線上時(shí)，，解得，直線方程為，故直線被圓截得的弦長為直徑4，為最大弦長，故C正確．故選：BCD．11.已知圓：（），這些圓的全體構(gòu)成集合，則（）A.x軸截圓所得的弦長為2B.對(duì)任意正整數(shù)k，圓內(nèi)含于圓C.任意正實(shí)數(shù)m，存在，使得圓與直線有交點(diǎn)D.存在正實(shí)數(shù)m，使得A中與直線相交的圓有且僅有2024個(gè)【正確答案】ACD【分析】用代入法可得選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，得出圓和的圓心和半徑，判斷兩圓位置關(guān)系即可；對(duì)選項(xiàng)C，分析圓和圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍即可；對(duì)選項(xiàng)D，研究圓與直線的位置關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，將代入：，得，x軸截圓所得的弦長為2，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋汉停海瑘A心距為：，兩圓的半徑差為：，且，顯然，故對(duì)任意正整數(shù)k，圓不可能內(nèi)含于圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由于圓方程，將代入，得圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，由于，，，圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，其中，即集合中的所有圓在軸上的一系列截線段不間斷，故任意正實(shí)數(shù)m，存在，使得圓與直線有交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，圓的圓心為，半徑，圓與直線有交點(diǎn)，只需，即，使得集合A中與直線相交的圓有且僅有2024個(gè)，只需要集合中滿足的個(gè)圓都滿足題意，即只需保證，顯然不等式有解，故D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：萬變不離其宗，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系和求弦長；利用圓心距與兩圓半徑的和差作比較，判斷圓與圓位置關(guān)系.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程_______【正確答案】【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為.13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_____________.【正確答案】【分析】利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案.14.在邊長為4的正方形中，如圖甲所示，，，分別為，的中點(diǎn)，分別沿，及所在直線把，和折，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到三棱錐，則三棱錐外接球的表面積為_____________.【正確答案】【分析】三棱錐外接球等同于補(bǔ)形為長方體的外接球，結(jié)合所給長度即可求解.【詳解】由題可得，,,所以,所以所以三棱錐外接球等同于以同頂點(diǎn)擴(kuò)充為長方體的的外接球，如下圖，設(shè)外接球的直徑為，則有,所以，則外接球的半徑為,所以三棱錐外接球的表面積為,故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，由余弦定理求出；（2）在中，，，由余弦定理列出方程，求出，得到，利用三角形面積公式求出答案.【小問1詳解】設(shè)，則由余弦定理得；【小問2詳解】在中，，，，由余弦定理得，即，解得，又，故，.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和直線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】（1），軌跡方程；（2）或【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和的中點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，求出，設(shè)Px,y，直接法求出點(diǎn)的軌跡方程為；（2）圓心12,0到的距離小于等于半徑，列出不等式，求出答案【小問1詳解】設(shè)，則，解得，故，設(shè)Px,y，則，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】與直線有公共點(diǎn)，則圓心12,0到的距離小于等于半徑，即，解得或，的取值范圍是或.17.如圖，在四棱錐底面，．（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，再證明平面，得到答案.（2）作，垂直為，連接，確定為與平面所成的角，計(jì)算，得到答案.【小問1詳解】，，，則，．中，，故，故，又因?yàn)榈酌?，底面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，底面，故平面平面，另解：平面，平面，故，過做的垂線，垂足為，連接，則，，，，在中，，，即，又，平面，故平面，平面，故平面平面，【小問2詳解】作，垂直為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，故為與平面所成的角，中，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知圓過點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱．（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點(diǎn)、，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）圓與圓外切，理由見解析（2）①最大值為；②平行，理由見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求出圓方程，從而求出圓心距，即可判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）①方法一：令、即，為過點(diǎn)的兩條弦，設(shè)、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為、，弦長分別為，，由垂直關(guān)系可得四邊形是矩形，即，進(jìn)而根據(jù)半弦長，弦心距，圓半徑構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，得到，進(jìn)而由基本不等式，得到的最值，從而求得結(jié)果；方法二：分類討論直線與中有一條直線的斜率不存在和直線與斜率都存在，且互為倒數(shù)，兩種情況下的值，最后綜合討論結(jié)果得到答案.②由已知直線和直線與軸分別交于點(diǎn)、，且，可得直線與斜率都存在，且互為相反數(shù)，可設(shè)，，求出，坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線和的斜率是否相等，即可得到答案.【小問1詳解】由題可得圓圓心為，設(shè)圓心，則，解得則圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故圓的方程為，又兩半徑之和為，圓與圓外切．【小問2詳解】方法一：令、即，為過點(diǎn)的兩條弦，設(shè)、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為、，弦長分別為，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，即，化簡得從而，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線，必有一條斜率不存在）綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為方法二：若直線與中有一條直線的斜率不存在，則，此時(shí)若直線與斜率都存在，且互為負(fù)倒數(shù)，故可設(shè)，即，，點(diǎn)到的距離為，同理可得點(diǎn)到的距離為，，，綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為②直線和平行，理由如下：由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)，，由，得，因?yàn)榈臋M坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，所以，，所以，直線和一定